福建省专升本高等数学试卷解答

2009年福建省专升本高等数学试卷解答单项选择题1．下列四组函数中，相同的是（）A..B.C.D.函数相同函数的定义域和函数解析式均相同选项，的定义域的定义域为选项，，函数解析式不相同选项，和的定义域均为，且选项，，函数解析式不相同答案选2．当时，下列四组函数中为等价无穷小的是（）A..和B.和C.和D.和[答案]B【解析】根据等价无穷小定义，当时，称是等价无穷小，记作选项，，是的低价无穷小；选项，是的等价无穷小；选项，，是的同阶无穷小选项，，是的同阶无穷小答案选3．点是函数的（）A．可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点[答案]A【解析】可化为为可去间断点4．函数在处连续是在该点处可导的（）A．充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不是充分条件，也不是必要条件[答案]B【解析】连续可导，而可导一定连续答案选B5．设函数在点处可导，则值为（）A．B.C.D.[答案]A【解析】根据可导的定义，答案选C6．已知函数，则为（）A.B.C.D.[答案]D【解析】答案选D7．设函数的原函数为，则的导函数为（）A.B.C.D.[答案]D【解析】根据题意知，答案选D8．设函数在上连续，在内可导，且，那么（）A.B.C.D.[答案]D【解析】根据题意，在内可导，并且导数大于零可知，在内是单调递增函数，又在连续答案选D9．在空间直角坐标系中，点与点（）A.关于面对称B.关于面对称C.关于面对称D.关于原点对称[答案]C【解析】二维平面内，若两点关于轴对称，则对称两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数。拓展到三维空间中：又两点只有坐标互为相反数，则说明两点关于平面对称。10．微分方程的阶数为（）A.2B.3C.4D.5[答案]A【解析】根据微分方程阶数的定义：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。而题目中，未知函数最高阶导数为，所以该微分方程阶数为二阶。二、填空题11．已知，其中为常数，则[答案]2【解析】又12．[答案]【解析】，属于型，利用洛必达法则原式=13．已知函数，则[答案]【解析】14．已知函数，则[答案]【解析】15．曲线在处存在倾斜角为的切线[答案]【解析】曲线方程为曲线的切线方程为又已知切线的倾斜角为16．函数在上满足拉格朗日中值定理的点[答案]【解析】在[1,4]内是连续的，在（1,4）内是可导的满足拉格朗日中值定理的条件在（1,4）内至少存在一点，有又17．函数在内的拐点的横坐标为[答案]【解析】是初等函数，必存在二阶导数根据拐点的定义，函数在拐点的一边上凸、在另一边下凸而函数的凸性由其二阶导数和零的大小关系决定由18．[答案]4【解析】原式19．已知向量的模为2，向量的模为1，它们的夹角为，则__[答案]6【解析】又，，原式20．二阶常系数齐次微分方程的通解[答案]【解析】微分方程的特征方程为特征根为二重根通解为（为任意常数）计算题21．求极限【解析】是型，利用洛必达法则又为变上限积分又原式22．已知分段函数，讨论函数在点处的连续性。【解析】分段函数每一段函数均为初等函数，在其定义域上是连续的（当时，是无穷小量，是有有界量，）在处连续。23．设函数由参数方程确定，求。【解析】参数方程为24．设函数由方程确定，求和。【解析】25．求不定积分【解析】令原式将代入，得：原式（为任意常数）26．求定积分【解析】利用分部积分计算得：27．已知直线过空间中的点且与平面及平面都平行，求该直线的对称式方程。【解析】已知两平面和，其法向量和不平行可知，两平面相交又所求直线均要求平行于两已知平面所求直线两平面的交线所求直线的法向量交线的法向量设法向量，，的值可以用平面方程的一次项系数构成的矩阵行列式得到：，，又所求直线过点所求直线的对称式方程为28．求一阶线性微分方程满足初始条件的特解。【解析】是一阶线性非齐次方程利用常数变易法，先求解其齐次线性微分方程：那么非齐次线性方程的通解设为，，代入原方程得：与原方程对比可知通解为（C为任意常数）又初始条件为，那么特解为四、应用题29．将一段长的铁丝切成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形和圆形的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？【解析】设铁丝截成两端的长度分别为（围成正方形）和（围成圆形）正方形的边长为，圆形的半径为（），又要求正方形和圆形的面积之和最小令要最小求的极小值最小值为30．求抛物线与直线所围成的平面图形的面积。【解析】由图像可知，直线与抛物线所围成图形的交点为