专题15 集合的概念（教师版含解析）-2022年初升高数学衔接讲义（第1套）

专题15集合的概念学习学习目标1、通过实例，了解集合的含义2、理解元素与集合的“属于”关系3、针对具体问题，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言(列举法、描述法)刻画集合.知识精讲知识精讲高中必备知识点1：集合的概念(1)含义：一般地，我们把所研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．(2)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等．[知识点拨]集合中的元素必须满足如下性质：(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．高中必备知识点2：元素与集合的关系关系概念记法读法属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈Aa属于集合A不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉Aa不属于集合A[知识点拨]符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换．高中必备知识点3：集合的表示法(1)自然语言表示法：用文字语言形式来表示集合的方法．例如：小于3的实数组成的集合．(2)字母表示法：用一个大写拉丁字母表示集合，如A，B，C等，用小写拉丁字母表示元素，如a，b，c等．常用数集的表示：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR(3)列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(4)描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．典例剖析典例剖析高中必会题型1：集合与元素的含义1．下列各对象的全体，可以构成集合的是___(填序号)①高一数学课本中的难题；②与1非常接近的全体实数；②高一年级视力比较好的同学；④高一年级中身高超过1.70米的同学【答案】④因为①②③所表示的研究对象不能确定，所以不能构成集合，而④符合集合的概念.故答案为：④2．集合中元素的三大特征是________．【答案】确定性、互异性、无序性一定范围内，确定的、不同的对象组成的全体，称为一个集合，组成集合的这些对象就是集合的元素，它具有确定性、互异性、无序性．故答案为：确定性、互异性、无序性．3．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)山东新坐标书业有限公司的优秀员工可以组成集合.(______)(2)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是相等的.(______)(3)由－1，1，1组成的集合中有3个元素.(______)【答案】×√×(1)因为“优秀”没有明确的标准，其不满足集合中元素的确定性，所以不能构成集合.(2)根据集合相等的定义知，两个集合相等.(3)因为集合中的元素要满足互异性，所以由－1，1，1组成的集合有2个元素－1，1.故答案为：(1)×；(2)√；(3)×.4．下列每组对象能构成一个集合是________(填序号).(1)某校2019年在校的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)帅哥；(4)平面直角坐标系内第一象限的一些点；(5)的近似值的全体.【答案】(2)(1)“高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合.(2)任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；(5)“的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能构成集合.故答案为：(2)5．下列说法中能构成集合的是________(填序号)．①2019年参加江苏高考的所有学生；②2019年江苏高考数学试题中的所有难题；③美丽的花；④与无理数无限接近的数．【答案】①因为未规定“难”的标准，所以②不能构成集合；同理“美丽”、“无限接近”都没有规定标准，所以③④不能构成集合；由于①中的对象具备确定性、互异性，所以①能构成集合．故答案为：①本题主要考查集合的概念，属于简单题.高中必会题型2：元素与集合的关系1．用符号“”或“”填空(1)______，______，______(2)___________Q(3)________【答案】(1)是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；(2)是有理数，则；不是有理数，则；(3)故答案为：(1)，，；(2)，；(3)．2．给定集合A，若对于任意，有且，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论：①集合为闭集合；②正整数集是闭集合；③无理数集是闭集合；④集合为闭集合.其中正确的是_________.(填序号)【答案】④①中取，则，故①不成立；②中取，此时，不是正整数，故②不成立；③中取，则，不是无理数，故③不成立；④中取，则，故④成立.故答案为：④3．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．【答案】0或1因为,所以y=0或y=1,所以A={0,1}，又t∈A，得到t=0或1；故答案为：0，1.4．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a＝________.【答案】2或4若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0∉A.故a＝2或4.故答案为：2或45．用适当的符号填空：_____；0_____；______；______【答案】或；0；或；故答案为：，，或，高中必会题型3：集合中元素特性的简单应用1．已知，求实数的值.【答案】因为所以或或解得或由集合元素的互异性可知且所以，2．设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1∉A，(1)若3∈A，求A.(2)证明:若a∈A，则.【答案】(1);(2)证明见解析.(1)因为3∈A，所以，所以，所以，所以.(2)因为a∈A，所以，所以.3．已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1.(1)若-3是集合A中的元素，试求实数a的值；(2)-5能否为集合A中的元素？若能，试求出该集合中的所有元素；若不能，请说明理由.【答案】(1)实数a的值为0或-1；(2)-5不能为集合A中的元素；答案见解析.(1)因为-3是集合A中的元素，所以-3=a-3或-3=2a-1.解得或，当a=0时，此时集合A含有两个元素-3，-1，符合要求；当a=-1时，此时集合A中含有两个元素-4，-3，符合要求.综上所述，满足题意的实数a的值为0或-1.(2)若-5为集合A中的元素，则a-3=-5，或2a-1=-5.当a-3=-5时，解得a=-2，此时2a-1=2×(-2)-1=-5，显然不满足集合中元素的互异性；当2a-1=-5时，解得a=-2，此时a-3=-5，显然不满足集合中元素的互异性.综上，-5不能为集合A中的元素.4．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．【答案】存在，a＝－3.∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.5．已知，求的值．【答案】由已知条件得：若a＝0，则集合为{0，﹣1，﹣1}，不满足集合元素的互异性，∴a≠0；若a﹣1＝0，a＝1，则集合为{1，0，0}，显然a≠1；若a2﹣1＝0则a＝±1，由上面知a＝1不符合条件；a＝﹣1时，集合为{﹣1，﹣2，0}；∴a＝﹣1．高中必会题型4：列举法表示集合1．用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3)解：用列举法表示下列集合(1)大于1且小于6的整数，；(2)；所以(3)，由解得，，故表示为，2．用列举法表示下列集合：(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；(3)方程组的解组成的集合B；(4)15的正约数组成的集合N.【答案】(1){－2，－1,0,1,2}(2)M＝{2,3}(3)B＝{(x，y)|(3,2)}(4)N＝{1,3,5,15}(1)，，；(2)解方程和是方程的根，；(3)解方程组得；(4)的正约数有四个数字，．3．用列举法表示下列集合(1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合(2)方程的所有实数解组成的集合【答案】(1)；(2).(1)由大于3且小于10的所有整数组成的集合为；(2)解方程得，所以方程的所有实数解组成的集合为.4．用列举法表示方程的解集为______________.【答案】由得或，所以方程的解集为.故答案为：5．已知P＝{a,b}，又P的所有子集组成集合Q，用列举法表示Q，则Q＝_________.【答案】{∅，{a}，{b}，{a，b}}由P＝{a,b}的子集为：∅，{a}，{b}，{a,b}；即集合Q＝{∅，{a}，{b}，{a,b}}.故答案为：{∅，{a}，{b}，{a，b}}高中必会题型5：描述法表示集合1．用描述法表示下列集合：(1)抛物线y＝x2﹣2x+2的点组成的集合；(2)使有意义的实数x的集合．【答案】(1)；(2)．(1)抛物线y＝x2﹣2x+2的点组成的集合：(2)使有意义的实数x的集合：．2．用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整数的集合．(2)坐标平面内第一象限内的点的集合．(3)大于4的所有偶数．【答案】(1)；(2)；(3)．(1)因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：；(2)第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：；(3)大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：．3．用描述法表示下列集合(1)小于10的所有有理数组成集合；(2)所有奇数组成集合；(3)平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.【答案】(1)；(2)；(3).(1)小于10的所有有理数组成集合；(2)所有奇数组成集合；(3)平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成集合.4．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．【答案】{(x，y)|0≤x≤2且0≤y≤1}【解析】由题意得，图中的阴影部分构成的集合是点集，则且.故答案为且.5．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．【答案】{x|x＝4n+3，n∈N}设该数为x，则该数x满足x＝4n+3，n∈N；∴所求的正整数集合为{x|x＝4n+3，n∈N}．故答案为：{x|x＝4n+3，n∈N}．高中必会题型6：集合表示的综合问题1．(1)用描述法表示下图中阴影部分(含边界)的点构成的集合；(2)用列举法表示集合A＝{x∈N|∈N}.【答案】(1){(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}；(2)A＝{1，7，9}.解：(1)阴影部分的点P(x，y)的横坐标x的取值范围为－1≤x≤3，纵坐标y的取值范围为0≤y≤3.故阴影部分的点构成的集合为{(x，y)|－1≤x≤3，0≤y≤3}.(2)因为x∈N，∈N，当x＝1时，＝1；当x＝7时，＝3；当x＝9时，＝9.所以A＝{1，7，9}.2．把下列集合用另一种方法表示出来：(1)；(2)；【答案】(1){且}；(2).(1)因为集合中的元素都是偶数，所以{且}；(2).3．若集合A={x∣}中只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.【答案】实数k的值为0或1，当时，；当，解：由集合A={x∣}中只有一个元素，即方程只有一个解，①当时，方程为，解得，即；②当时，方程只有一个解，则，即，即方程为，解得，即，综合①②可得：实数k的值为0或1，当时，；当，.4．已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}．(1)试用列举法表示集合且；(2)试用列举法表示集合且．【答案】(1)；(2).由题意，，.(1).(2).且5．用适当的方法表示下列集合：(1)大于2且小于5的有理数组成的集合．(2)24的正因数组成的集合．(3)自然数的平方组成的集合．(4)由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析．(1)用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}．(2)用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．(3)用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．(4)用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．对点精练对点精练1．若由a2，2019a组成的集合M中有两个元素，则a的取值可以是()A．0 B．2019C．1 D．0或2019【答案】C若集合M中有两个元素，则a2≠2019a.即a≠0且a≠2019.

故选：C.2．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a∉N，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;④x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取a=，则-∉N，∉N，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A3．，对任意的，总有()A． B． C． D．【答案】B解：将代入得显然成立，故将代入不等式得，即，显然成立，∴；所以故选：B.4．若集合，，则下列结论正确的是()A． B． C． D．【答案】D因为，所以中元素全是整数，因为，所以，故选：D．5．若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素，(1,2)和(3,4)故选B.6．现有以下说法，其中正确的是①接近于0的数的全体构成一个集合；②正方体的全体构成一个集合；③未来世界的高科技产品构成一个集合；④不大于3的所有自然数构成一个集合．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】D在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．7．下列集合中不同于另外三个集合的是()A．{x|x＝1} B．{x|x﹣1＝0} C．{x＝1} D．{1}【答案】C通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式x＝1；∴C中的集合不同于另外3个集合．故选：C8．下列说法中正确的是()A．班上爱好足球的同学，可以组成集合B．方程x(x﹣2)2＝0的解集是{2，0，2}C．集合{1，2，3，4}是有限集D．集合{x|x2+5x+6＝0}与集合{x2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合【答案】C班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A不正确；方程x(x﹣2)2＝0的所有解的集合可表示为{2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B不正确；集合{1，2，3，4}中有4个元素，所以集合{1，2，3，4}是有限集，选项C正确；集合{x2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，{x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D不正确．故选：C．9．设，集合，则等于()A． B．1 C． D．2【答案】D两个集合相等，则集合中的元素相同，，所以，则，那么，和，所以.故选：D10．已知集合，，则a与集合A的关系是()A． B． C． D．【答案】A解：，，，，故选：．11．用表示集合A中的元素个数，若集合，，且.设实数的所有可能取值构成集合M，则=()A．3 B．2 C．1 D．4【答案】A由题意，，，可得的值为1或3，若，则仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，符合题意若，若仅有一根，必为0，此时a=0，则无根，不合题意，故有二根，一根是0，另一根是a，所以必仅有一根，所以，解得，此时的根为1或，符合题意，综上，实数a的所有可能取值构成集合，故．故选：A．12．已知集合A满足条件:若a∈A,则∈A,那么集合A中所有元素的乘积为()A．-1 B．1 C．0 D．±1【答案】B由题意，当时，，令代入，则，则，则，即，所以，故选B.13．，，，中共有__个元素．【答案】6，，，，，，，，，故集合中共有6个元素.故答案为：6.14．已知集合A是由a﹣2，2a2+5a，12三个元素组成的，且﹣3∈A，求a=________.【答案】解：由﹣3∈A，可得﹣3=a﹣2，或﹣3=2a2+5a，由﹣3=a﹣2，解得a=﹣1，经过验证a=﹣1不满足条件，舍去.由﹣3=2a2+5a，解得a=﹣1或，经过验证：a=﹣1不满足条件，舍去.∴a=.故答案为：﹣.15．用列举法表示集合：______.【答案】∵，，∴.此时，即.16．设a，，若集合，则_______.【答案】2由易知，由两个集合相等定义可知若，得，经验证，符合题意；若，由于，则方程组无解综上可知，，，故.故答案为：217．用适当方法表示下列集合：(1)从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数的集合；(2)方程+|y﹣2|＝0的解集；(3)由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.【答案】(1){1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；(2)；(3){(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}.解：(1)当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.(2)由算术平方根及绝对值的意义，可知：，解得，因此该方程的解集为{(﹣，2)}.(3)首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为{(x，y)|y＝3x2+1，x∈R}.18．求数集中的元素应满足的条件.【答案】由于实数集合，则实数x满足：且且，解得，所以满足的条件是.19．已知1∈{x|x2+px﹣3＝0}，求p的值与集合中的所有元素.【答案】p＝2；集合中的所有元素为：﹣3，1.解：∵x＝1是集合{x|x2+px﹣3＝0}中的元素，∴当x＝