随机变量的分布函数

关于随机变量的分布函数第一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

问：在上式中，X,x

皆为变量.二者有什么区别？x起什么作用？F(x)

是不是概率？X是随机变量,x是参变量.F(x)

是r.vX取值不大于x

的概率.第二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

由定义，对任意实数x1<x2，随机点落在区间（x1,x2]的概率为：P{x1<Xx2

}=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)

因此，只要知道了随机变量X的分布函数，它的统计特性就可以得到全面的描述.第三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究随机变量.第四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四二、离散型r.v的分布函数设离散型r.vX

的概率分布列是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…则

F(x)=P(X

x)=

由于F(x)

是X

取的诸值xk

的概率之和，故又称

F(x)

为累积概率函数.第五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四当x<0时，{X

x}=，故F(x)=0例1.，求F(x).当0x<1时，

F(x)=P(X

x)=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解:X012P第六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四当1x<2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)=+=当x2时，

F(x)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1例1.，求F(x).F(x)=P(X

x)解:X012P第七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四故注意右连续下面我们从图形上来看一下.第八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四概率函数图分布函数图画分布函数图X012P第九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

不难看出，F(x)

的图形是阶梯状的图形，在

x=0，1，2处有跳跃，其跃度分别等于P(X=0),P(X=1),P(X=2).第十页，共四十五页，编辑于2023年，星期四三、分布函数的性质(3)F(x)

非降，即若x1<x2，则F(x1)F(x2);(2)F()=F(x)=0

(4)F(x)

右连续，即

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX

的分布函数.也就是说，性质(1)--(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1(1)0≤F(x)≤1,－∞<x<+∞;第十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四试说明F(x)能否是某个r.v

的分布函数.例2.设有函数F(x)

注意到函数F(x)在上下降，不满足性质(1)，故F(x)不能是分布函数.不满足性质(2)，可见F(x)也不能是r.v

的分布函数.或者解：第十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四P66定理3.2.1

例3.3.2

一个班有100名学生其中20岁的有30人，21岁的有40人，22岁的有30人。现从班上任意挑选一名学生，§是学生的的年龄，求§的分布函数第十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例3.2.3在△ABC中任取一点，设§为该点到底边AB的距离。又已知AB上的高位h，求§的分布函数F(x)及F(x)的导数，并画出F(x)的图像。第十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例3.2.4

设§是某台仪器从时刻零开始持续工作的时间。假设在时刻t以前没有损坏，而在时间间隔（t，t+△t）中损坏的条件概率为求§的分布函数为。第十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四3.4连续型随机变量

连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.

下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.第十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四.连续型随机变量、概率密度定义

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在一个非负的函数f(x),对任何实数x，有，则称X为连续型随机变量，同时称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度。

f(x)xoy第十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四由定义知：1.连续型随机变量的分布函数F(x)

是连续函数.2.对f(x)的连续点，有由此F(x)与f(x)可以互推。第十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四概率密度函数的性质1.2.这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件.o

f(x)xy第十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四3．

f(x)xoyx1x2第二十页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

故

X的密度f(x)

在x

这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.

若x是f(x)的连续点，则：=f(x)4.对f(x)的进一步理解:P79中第二十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.

f(x)xo第二十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四若不计高阶无穷小，有：

它表示随机变量X

取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.第二十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四连续型r.v取任一指定值的概率为0.即：a为任一指定值这是因为需要指出的是:由于连续型随机变量的分布函数是连续函数，从而P(X=a)=0.第二十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

P(X=a)=0的充分必要条件是F(x)是连续函数。任意a∈R。由此得，1)对连续型r.vX,有第二十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件并非必然事件称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.可见，由P(A)=0,不能推出由P(B)=1,不能推出B=S第二十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四下面给出几个r.v的例子.

由于连续型r.v唯一被它的密度函数所确定.所以，若已知密度函数，该连续型r.v的概率规律就得到了全面描述.

f(x)xo第二十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四解：例1.

设r.v

X

的密度函数为f(x)求(1)A,(2)F(x),(3)（1）由性质2，A=2.第二十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四对x<-1，F(x)=0对对

x>1，F(x)=1求F(x).解：F(x)=P(X

x)=(2)第二十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四即(3).第三十页，共四十五页，编辑于2023年，星期四大家一起来作下面的练习.求F(x).例2

设由于f(x)是分段表达的，求F(x)时注意分段求.第三十一页，共四十五页，编辑于2023年，星期四=01F(x)第三十二页，共四十五页，编辑于2023年，星期四对连续型r.v，若已知F(x)，我们通过求导也可求出f(x)，请看下例.即第三十三页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例3

设r.vX的分布函数为(1)求X取值在区间(0.3,0.7)的概率；

(2)求X的概率密度.解:(1)P(0.3<X<0.7)=F(0.7)-F(0.3)=0.72-0.32=0.4

(2)f(x)=注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在没意义的点处，任意规定的值.第三十四页，共四十五页，编辑于2023年，星期四几种重要的连续型随机变量均匀分布（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间[a,b]上的均匀分布，记作：X

～U(a,b)第三十五页，共四十五页，编辑于2023年，星期四它的实际背景是：r.vX

取值在区间[a,b]上，并且取值在[a,b]中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比.则X

具有[a,b]上的均匀分布.分布函数为:f(x)≥0,满足概率密度性质。第三十六页，共四十五页，编辑于2023年，星期四若X~U[a,b],

(x1,x2)为[a,b]的任意子区间，则

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；第三十七页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例4.

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X

是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，

X

～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位第三十八页，共四十五页，编辑于2023年，星期四

为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.第三十九页，共四十五页，编辑于2023年，星期四例5.设K在[0，5]上服从均匀分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根的概率。解：K~U[0，5]，有实根等价于