高考数学二轮复习教学案专题06平面向量

2013考纲解读】理解平面向量的看法与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,认识向量线性运算的性质及其几何意义.2．认识平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3．理解平面向量数量积的含义及其物理意义;认识平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【知识络成立】【重点知识整合】1．平面向量的基本看法2．共线向量定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λ·a.若是向量a＝(x，y)，b＝(x，y)，则a∥b的充要条件是xy＝xy也许xy－xy＝0，即用坐标表112212211221示的两个向量平行的充要条件是它们坐标的交织之积相等．当其中一个向量的坐标都不是零时，这个充要条件也可以写为x2y2＝，即对应坐标的比值相等．x1y13．平面向量基本定理关于任意a，若以不共线的向量e1，e2作为基底，则存在唯一的一组实数对λ，μ，使a＝λe1＋μe2.4．向量的坐标运算a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa(λx1，λy1)．5．数量积(1)已知

a，b

的夹角为〈

a，b〉＝

θ(θ∈[0，π])

，则它们的数量积为

a·b＝|

a|·|b|cos

θ，其中|

b|cos

θ叫做向量

b在a方向上的投影，向量的数量积满足交换律、数乘结合律和分配律，但不满足结合律，即a·(b·c)≠(a·b)·c；若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2；(3)两非零向量a，b的夹角公式为cosθ＝a·b＝1212xx＋yy；||||22x22abx1＋y12＋y2(4)|a|2＝a·a.两个向量垂直的充要条件就是它们的数量积等于零．【高频考点打破】考点一直量的有关看法和运算(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意向量都共线，记为0.a同向的单位向量为a(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，与|a|.方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．例1、已知关于x的方程：·x2＋·2x＋＝0(x∈R)，其中点C为直线AB上一点，O是直线AB外一点，则以下结论正确的选项是()A．点C在线段AB上B．点C在线段的延长线上且点B为线段的中点ABACC．点C在线段AB的反向延长线上且点A为线段BC的中点D．以上情况均有可能【方法技巧】解决向量的有关看法及运算问题要注意以下几点正确理解向量的基本看法；正确理解平面向量的基本运算律，a＋b＝b＋a，a·b＝b·a，λa·b＝λ(a·b)与a(b·c)≠(a·b)c；相等向量、相反向量、单位向量、零向量，在看法观察中必然要重视，如有遗漏，则会出现错误.考点二平面向量的数量积1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两个向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值确定．2．求非零向量a，b的夹角一般利用公式cos〈，〉＝a·b先求出夹角的余弦值，ab|a|·|b|a在向量b方向上的投影为a·b尔后求夹角；向量|b|.【方法技巧】a·b(1)正确利用两向量的夹角公式cos〈a，b〉＝|a||b|及向量模的公式|a|＝a·a.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：①a·b＝0，未必有a＝0，或b＝0；②|a·b|≤|a||b|；③a(b·c)与(a·b)c不用然相等.考点三平面向量与三角函数的综合应用经过对向量的运算把问题转变成求三角函数的值、最值或研究三角函数的性质等问题，是高考中经常出现的题型．例3.已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，c＝(－1,0)．求向量b＋c的长度的最大值；π设α＝4，且a⊥(b＋c)，求cosβ的值．[解](1)法一：由已知得b＋c＝(cosβ－1，sinβ)，则|b＋c|2＝(cosβ－1)2＋sin2β＝2(1－cosβ)．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cosβ＝－1时，有|b＋c|max＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.法二：∵|b|＝1，|c|＝1，|b＋c|≤|b|＋|c|＝2.当cosβ＝－1时，有b＋c＝(－2,0)，即|b＋c|＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2.【难点研究】难点一平面向量的看法及线性运算例1、(1)，是不共线的向量，若→＝1＋，→＝＋2(1，λ2∈R)，则，，abABλabACaλbλABC三点共线的充要条件为()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝0(2)设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不相同的四点，→→→若A1A3＝λA1A2(λ∈R)，A1A4→11＝μA1A2(μ∈R)，且λ＋μ＝2，则称A3，A4调停切割A1，A2，已知点C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)调停切割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的选项是()A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C、D可能同时在线段AB上D．C、D不可以能同时在线段

AB的延长线上【议论】向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理．

平面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一线性表示，

这个定理的一个极为重要的导出结果是，

若是a，b不共线，那么

λ1a＋λ2b＝μ1a＋μ2b的充要条件是λ1＝μ1且λ2＝μ2.共线向量定理有一个直接的导出结论，即若是→→→OA＝xOB＋yOC，则A，，C三点共线的充要条件是x＋＝1.By【变式研究】(1)以下列图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不相同的两点→→→→14)M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN(m，n>0)，则＋的最小值为(mnA．2B．4D．9(2)设向量a，b满足|a|＝25，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．【答案】(1)C(2)(－4，－2)→→→→→11→1→【剖析】(1)AB＋AC1→MO＝AO－AM＝－AB＝－mAB＋AC，2m22→11→1→11→1→11→1→同理NO＝－nAC＋AB，M，O，N三点共线，故－mAB＋AC＝λ2－nAC＋AB，22222即11λ→＋1λ＋λ→＝0.2－－2－2nmAB2AC难点二平面向量的数量积例2以下列图，P为△AOB所在平面内一点，向量→→OA＝a，OB＝b，且P在线段AB的垂直均分线上，向量→＝.若||＝3，|b|＝2，则c·(－)的值为()OPcaabA．5B．3【答案】C【剖析】设中点为，＝→＝→＋→，所以·(－)＝(→＋→)·→＝→·→＋ABDcOPODDPcabODDPBAODBA→·→＝→1＋)·(－1|2－|5·→＝()＝(|ab|2)＝.DPBAODBA2abab22【议论】平面向量问题的难点就是把平面向量的几何运算与数量积运算的结合，这里要充分利用平面向量的几何运算法规、平面向量的共线向量定理、两向量垂直的条件以及平面向量数量积的运算法规，研究解题的思想．【变式研究】(1)已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有以下四个命题：1θ∈0，2π；p：|a＋b|＞1?32a＋b|＞1?θ∈2π，π；p：|33：|－|＞1?∈0，πθpab3πp4：|a－b|＞1?θ∈3，π.其中的真命题是()A．p1，p4B．p1，p3C．p2，p3D．p2，p4→→(2)在△OAB中，设OA＝a，OB＝b，则OA边上的高等于________．难点三平面向量的共线与垂直的综合运用x2y2例

3

已知椭圆

a2＋b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为

F1、F2，左极点为

A，若|

F1F2|＝2，1椭圆的离心率为e＝2.求椭圆的标准方程；(2)若是椭圆上的任意一点，求→·→的取值范围；PPF1(3)已知直线l：y＝kx＋m与椭圆订交于不相同的两点M，N(均不是长轴的端点)，AH⊥MN，→2→→l恒过定点．垂足为H且AH＝MH·HN，求证：直线由已知得c＝1，a＝2，b＝x2y2【解答】(1)3，∴所求椭圆方程为4＋3＝1.(2)设P(x，y)，又A(－2,0)，F(－1,0)，001→→212＋3x＋5.010000由于(0，y0)在椭圆上，∴－2≤x0≤2，可知f(x12x0＋5在区间[－2,2]上单0)＝0＋3Px4x调递加，∴当x0＝－2时，f(x0)取最小值为0；当x0＝2时，f→→(x0)取最大值为12，∴PF1·PA的取值范围是[0,12]．y＝kx＋，m(3)由x2y222＋8kmx＋2得(3＋4k)x4m－12＝0，4＋3＝12由>0得4k＋3>m.【议论】此题是以观察剖析几何基本问题为主的试题，但平面向量在其中起着重点作用．本题的难点是第三问，即把已知的垂直关系和向量等式转变成→→AM·AN＝0，从而达到使用韦达定理成立直线中参数k，的方程，确定k，的关系，把双参数直线系方程化为单参数直线mm系方程，实现了证明直线系过定点的目的．4【变式研究】已知双曲线的中心在原点，坐标轴为对称轴，一条渐近线方程为y＝3x，右焦点F(5,0)，双曲线的实轴为A1A2，P为双曲线上一点(不相同于A1，A2)，直线A1P、A2P分9别与直线l：x＝5交于M、N两点．求双曲线的方程；→求证：FM·FN为定值．x2y2【解答】(1)依题意可设双曲线方程为a2－b2＝1，则4＝，a3＝3，22xyac＝5，?b＝4，∴所求双曲线方程为9－16＝1.c2＝a2＋b2(2)A(－3,0)、A(3,0)、F(5,0)，12设(，y)，9，y0，→1＝(x＋3，)，→1＝24，y0，PxM5APyAM524∵A1、P、M三点共线，∴(x＋3)y0－5y＝0，∴y0＝524y924y96yx＋3，即M5，5x＋3.同理得N5，－5x－3.→1624y→166y，∴FM＝－，x＋3，FN＝－，－x－35555→→256144y2x2y2y216∴FM·FN＝25－25·x2－9.∵9－16＝1，∴x2－9＝9，∴→·→256·→＝0为定值．＝·＝－＝0，即259252525【历届高考真题】【2012年高考试题】1.【2012高考真题重庆理6】设x,yR，向量a(x,1),b(1,y),c(2,4)且ac,b//c，则ab（A）5（B）10（C）25（D）10【2012高考真题浙江理5】设a，b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|rrrr3.【2012高考真题四川理ab7】设a、b都是非零向量，以下四个条件中，使rr成立|a||b|的充分条件是（）rA、ab

Brrrr、a//bC、a2b

rrrrD、a//b且|a||b|【答案】Cabrr【剖析】A.可以推得为既不充分也不用要条件；ab|a||b|B.可以推得rr|a||b|或ab为必要不充分条件；C．为充分不用要条件；D同B.|a||b|4.【2012高考真题辽宁理3】已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的选项是(A)a∥b(B)a⊥b(C){0,1,3}(D)a+b=ab5.【2012高考真题江西理7】在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段22PAPBCD的中点，则2=PCA．2B．4C．5D．10【答案】D【剖析】将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设A(a,0),B(0,b),a,b0，则D(a,b)，P(a,b),所以PC(a)2(b)2a2b2，22244441616PB(a)2(bb)2a29b2，PA(aa)2(b)29a2b2，所以22441616441616222222PA2PB2222a9b9ab10(ab)10PC10，选PAPB,所以PC2161616161616D.uuuruuur6.【2012高考真题湖南理7】在△ABC中，AB=2，AC=3，ABgBC=1则BC___.A.3B.7C.22D.23uuuruuuruuur【2012高考真题广东理3】若向量BA=（2,3），CA=（4,7），则BC=A．（-2,-4）B．(3,4)C．(6,10)D．(-6,-10)【答案】A【剖析】BCBACA(2,3)(4,7)(2,4)．应选A．8.【2012高考真题广东理8】对任意两个非零的平面向量α和β，定义?≥|b|＞0，a与b的夹角(0,)，且ab和ba．若平面向量a，b满足|a|?4都在会集{n|nZ}中，则ab=A．1235B.1C.D.222【答案】C【解析】因为aba?b|a|coscos2，b?b|b|2bab?a|b|coscos1，a?a|a|且ab和ba都在会集{n|nZ}中，所以ba|b|cos1，|b|1，2|a|2|a|2cos所以ab|a|cos22，由于(0,)，所以1ab2，故有a3．故|b|2cosb42选C．9.【2012高考真题安徽理8】在平面直角坐标系中，O(0,0),P(6,8)uuur，将向量OP按逆uuur时针旋转3后，得向量OQ，则点Q的坐标是（）4(A)(72,2)(B)(72,2)(C)(46,2)(D)(46,2)10.【2012高考真题天津理7】已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，，若BQ?CP3，2则=（A）（B）（C）（D）【答案】A11.【2012高考真题新课标理rrrrr13】已知向量a,b夹角为45，且a1,2ab10；则rb_____12.【2012高考真题浙江理uuuruuur15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC=________.【答案】-16【剖析】法一此题最适合的方法是特例法．假设ABC是以AB＝AC的等腰三角形，如图，AM＝3，BC＝10，AB＝AC＝34．cos∠＝34341008．uuuruuur＝uuuruuur16BAC23417ABACABACcosBAC法二：AB?AC(1BCAM)?(1BCAM)1BC2211023216.AM224413.【2012高考真题上海理12】在平行四边形ABCD中，A3，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、上的点，且满足|BM||CN|，则AMAN|BC||CD|的取值范围是。14.【2012高考真题山东理16】如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始地址在(0,1)，此时圆上一点P的地址在(0,0)，圆在x轴上沿正向转动。当圆转动到圆心uuur位于(2,1)时，OP的坐标为______________.【答案】(2sin2,1cos2)【剖析】由于圆心搬动的距离为2，所以劣弧PA2，即圆心角PCA2,,则PCA2,所以PBsin(2)cos2，22CBcos(2)sin2，所以xp2CB2sin2，yp1PB1cos2，所以2OP(2sin2,1cos2)。【2012高考真题北京理13】已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DECB的值为________，DEDC的最大值为______。rrrrrr16.【2012高考真题安徽理14】若平面向量a,b满足：2ab3，则agb的最小值是_____。【答案】98rrr2r2rr2ab34ab94agb【剖析】r2r2rrrrrrrrrr94ab4ab4agb94agb4agbagb817.【2012高考江苏9】（5分）如图，在矩形ABCD中，AB2，BC2，点E为BCuuuruuuruuuruuur的中点，点F在边CD上，若ABgAF2，则AEgBF的值是▲．【答案】2。【2011年高考试题】(2011年高考四川卷理科4)如图，正六边形ABCDEF中，=()(A)0(B)(C)(D)答案：

D剖析：

uuurBA

uuurCD

uuurEF

uuurDE

uuurCD

uuurEF

uuurCD

uuurDE

uuurEF

uuurCF

.2.(201112)rrrrrrr1年高考全国卷理科设向量a、b、c满足|a|=|b|=1,ab=,，rrrrr2=600ac,bc，则c的最大值等于(A)2(B)3(c)2(D)1【答案】Auuurruuurruuurr【剖析】如图，构造ABa,ADb,ACc,BAD120o,BCD60o，所以A,B,C,D四点共圆，r可知当线段AC为直径时，c最大，最大值为2.二、填空题:1.(2011年高考浙江卷理科14)若平面向量ururur1，ur1，且以向量ur，满足，ururur为邻边的平行四边形的面积为1，则与的夹角的取值范围是。,52【答案】[]661urur1urur121,sin【解析】2sin2,又Q1,，又,52Q[0,],[]66r2.(2011年高考安徽卷理科13)已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且a，rb2，则a与b的夹角为.uruur60ouruur3.(2011年高考重庆卷理科12)已知单位向量ci,cj的夹角为，则2cicj解析：3。uruururuur2ur2uur2uruurcos60o2cicj2cicj4cicj4cigcj41434.(2011年高考安徽卷江苏10)已知e1,e2是夹角为2的两个单位向量，3ae12e2,bke1e2,若ab0，则k的值为.【答案】54【解析】2uruur22ab(e12e2)(ke1e2)ke1k(12k)cos(12k)e1e22e220,解得3k5.4【2010年高考试题】（2010全国卷2理数）（8）中，点在上，平方．若，，，，则（A）（B）（C）（D）6.（2010辽宁理数）(8)平面上O,A,B三点不共线，设OA=a,OBb，则△OAB的面积等于(A)|a|2|b|2(agb)2(B)|a|2|b|2(agb)2(C)1|a|2|b|2(agb)2(D)1|a|2|b|2(agb)222【答案】C【剖析】三角形的面积S=1|a||b|sin<a,b>，而121|a|2|b|2(ab)2|a|2|b|2(ab)2cos2a,b221|a||b|1cos2a,b1|a||b|sina,b227.（2010重庆理数）(2)已知向量a，b满足a?b0,a1,b2,，则2abA.0B.22C.4D.8剖析：2ab(2b)24242822aaabb（2010四川理数）（5）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，uuur2uuuruuuruuuruuuruuuurBC16,ABACABAC则AM（A）8（B）4（C）2（D）1rrr