全国版高考数学必刷题第七单元三角函数

第七单元三角函数考点一三角函数求值1.(2017年北京卷)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边对于y轴对称.若sinα=,则cos(α-β)=.【分析】∵α与β对于y轴对称,∴α+β=π+2kπ(k∈Z),则sinαsinβ=,∴=22=,cosα=-cosβ,∴cos(α-β)=-cosα+sinα=-.【答案】-22.(2016年全国Ⅲ卷)若tanα=,则cosα2sin2α( )+=.AB.C.1D..2====.【分析】cosα2sin2α+【答案】A3(2016年上海卷)方程3sin1cos2x在区间[0,2π]上的解为..x=+【分析】由3sinx=1+cos2x,得3sinx=2-2sin2x,所以2sin2x+3sinx-2=0,解得sinx=或sinx=-2(舍去),所以原方程在区间[0,2π]上的解为或.【答案】或考点二三角函数的图象与性质4(2017年全国Ⅰ卷)已知曲线1:cos,2:sin则下边结论正确的选项是( ).,A.把C1上各点的横坐标伸长到本来的2倍,纵坐标不变,再把获得的曲线向右平移个单位长度,获得曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到本来的2倍,纵坐标不变,再把获得的曲线向左平移个单位长度,获得曲线C2C把1上各点的横坐标缩短到本来的纵坐标不变再把获得的曲线向右平移个单位长度获得曲线2,C,,D把1上各点的横坐标缩短到本来的,纵坐标不变,再把获得的曲线向左平移2.C个单位长度,获得曲线C【分析】因为2:sin所以只需把1上各点的横坐标缩短到原C=sin=cosC,来的,纵坐标不变,再向左平移个单位长度,即获得曲线C2.【答案】D5(2017年全国Ⅲ卷)设函数( )cos,则以下结论错误的选项是( )..fx=A.f(x)的一个周期为-2πB.y=f(x)的图象对于直线x=对称C.f(x+π)的一个零点为x=D.f(x)在上单一递减【分析】函数f(x)的周期为2kπ(k∈Z),故A正确;由x+=kπ(k∈Z),得x=kπ-(k∈Z),当k=3时,x=,故B正确;f(x+π)=-cos,则当x=时,f(x+π)=0,故C正确;函数( )的图象是由函数cosx的图象向左平移个单位长度获得的,故函数( )在-上单一递减,fxy=fx在上单一递加,故D错.【答案】D6(2017年全国Ⅱ卷)函数( )sin2cosx-的最大值是..fx=x+2cos1cos2cosx-=--1,∈,∴cosx∈[0,1],∴f(x)的最【分析】f(x)=sinx+x-=-x++∵x大值为1.【答案】17.(2017年天津卷)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,此中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且的最小正f(x)周期大于2π,则( ).A.ω=,φ=B.ω=,φ=-C.ω=,φ=-D.ω=,φ=【分析】由题意知,f(x)的最小正周期为T=4,f(x)=2sin.函数-=3π,∴ω=即φπ,∴φ=.∵||<f=2,【答案】A8(2016年全国Ⅱ卷)若将函数2sin2的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )..y=xA.x=-(k∈Z)B.x=+(k∈Z)C.x=-(k∈Z)D.x=+(k∈Z)【分析】平移后的图象对应的分析式为y=2sin2,令2=kπ+(k∈Z),得对称轴方程为x=+(k∈Z).【答案】B9.(2016年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在上单一,则ω的最大值为( ).A.11B.9C.7D.5【分析】由已知可得-ω+φ=kπ,k∈Z,①+φ=mπ+,m∈Z,②由①+②,得2φ=(k+m)π+.因为|φ|≤,所以k+m=0或k+m=-1,即φ=±.由①-②,得ω=2(m-k)+1,即ω为正奇数.因为函数f(x)在区间上单一,所以只需该区间位于函数( )图象的两条相邻对称轴之间即可,且fx-≤×,即ω≤12.①当φ=时,f(x)=sin,则kπ-≤ω+且ω+≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.因为ω≤12,故k最大取1,此时4.5≤ω≤9,故ω的最大值为9.②当φ=-时,f(x)=sin-,则kπ-≤ω-且ω-≤kπ+,k∈Z,解得-≤ω≤.因为ω≤12,故k最大取0,此时ω≤,故ω的最大值为5.综上可知,ω的最大值为9.【答案】B高频考点:三角函数的图象和性质、同角三角函数的基本关系式和引诱公式.命题特色:1.三角函数的图象和性质是高考考察的要点内容,而同角三角函数的基本关系式和引诱公式一般与性质和恒等变换相联合考察;2对于函数图象的平移考察得比许多,而函数图象的性质考察得比较全面;.3以简单题和中档题为主,但考察的内容比较灵巧..7.1三角函数的观点、同角三角函数关系及引诱公式一角的观点1.随意角:(1)定义:角能够当作平面内的绕着端点从一个地点旋转到另一个位置所成的.(2)分类:角按旋转方向分为、和.2.全部与角α终边同样的角,连同角α在内,组成的角的会合是S={β|β=k·360°+α,k∈Z}.3.象限角:使角的极点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;假如角的终边在座标轴上,那么这个角不属于任何一个象限.二弧度制1.角度制和弧度制的互化:180°=πrad,1°=rad,1rad=°.2.扇形的弧长公式:l=|α|r,扇形的面积公式:S=lr=|α|r2.三随意角的三角函数随意角α的终边与单位圆交于点P(x,y)时,sinα=,cosα=,tanα=(x≠0).四同角三角函数的基本关系1.平方关系:.2.商数关系:.五引诱公式组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α-α+α正弦sinα-sinα-sinαsinα余弦cosα-cosαcosα-cosα正切tanαtanα-tanα-tanα函数名不变函数名改变口诀符号看象限符号看象限记忆奇变偶不变,符号看象限规律1已知点P(sinα,cosα)在第二象限,则角α的终边在( ).A.第一象限B.第二象限C第三象限D第四象限..2costan225°().+=A.B.-CD..-3已知α∈(-π,-),且sinα=-则α等于( ).,cosA.-B.CD.-.4已知tan(2017πα)-+=,则等于( ).A.-2B.C.-D.-5在平面直角坐标系中,角α的终边过点P(2,1),则cos2αsin2α的值为.+已知一扇形的圆心角为α(0<α<2π),所在圆的半径为R.(1)若α=,R=10cm,求扇形的弧长及面积;(2)若扇形的周长是必定值C(C>0),当α为多少弧度时,该扇形面积最大?知识清单一、1(1)一条射线图形(2)正角负角零角.三、yx22tanα.五、cosαcosαsinα-sinα基础训练1【分析】由题意得,D..所以角α的终边在第四象限应选【答案】D2.【分析】cos+tan225°=-+1=.【答案】A3.【分析】==-=,∵α∈--,∴cosα<0,∴cosα=-,应选C.【答案】C4【分析】tan(2017πα)tanα=所以-==-应选,,D.【答案】D5【分析】平面直角坐标系中,角α终边过点(2,1),2,1,,∴cosα===,sinα===,.∵P∴x=y=r=|OP|=2则cosα+sin2α=+2sinαcosα=+=.【答案】6.【分析】(1)设弧长为l,扇形面积为S,则α=,R=10,l=×10=cm,S=××10=cm2.(2)(法一)扇形周长C=2R+l=2R+αR,α=-2,222+,S扇=α·R=-R=CR-R=--=--∴当R=时,扇形面积取最大值,此时α=-2=2.(法二)扇形周长C=2R+l=2R+αR,∴R=.2∴S扇=α·R=α·=α·=·≤.当且仅当α2=4,即α=2时,扇形面积取最大值.题型一随意角的三角函数【例1】已知角α的终边经过点(,)(≠0),且cosα=x,则sinα+=.Px-x【分析】∵P(x,-)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.又cosα=x,∴cosα==x.∵x≠0,∴x=±,∴r=.当x=时,sinα+=-;当x=-时,sinα+=--.【答案】-先判断P点所在的象限,再确立r,最后依据定义求解.【变式训练1】已知角2α的极点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边过点(1,),2α∈[2π,4π),则-sinα等于().A.-B.C.-D.【分析】由题意得角α的终边在第二象限且tan2α=-,∴2α=2π+,即απ+,∴sinα=-.,2=【答案】C题型二扇形的弧长、面积公式的应用【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R.(1)若α=60°,R=10,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积.(2)若扇形的周长为4,求当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?【分析】(1)设弧长为l,弓形面积为S弓,则α60°,×10=,==l=S弓=S扇-S△=××10-×102×sin=-50-.=(2)扇形周长2R+l=2R+αR=4,∴R=,∴S扇=α2=α·==≤1.R当且仅当α=,即α=2时,扇形面积有最大值1.理清扇形的弧长与半径、弧度角的关系,熟记扇形面积和周长的公式.【变式训练2】一扇形的周长为20,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?【分析】设扇形的半径为r,弧长为l,则220,即l=202(010)l+r=-r<r<.∴扇形的面积S=lr=(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25.∴当r=5时,S有最大值25,此时l=10,α==2rad.∴当α=2rad时,扇形的面积取最大值.题型三同角三角函数基本关系式的应用【例3】在△ABC中,sinA+cosA=.(1)求sinAcosA的值;(2)求tanA的值.【分析】(1)∵sinA+cosA=,①∴两边平方得1+2sinAcosA=,∴sinAcosA=-.由得0,(1)sinAcosA=-(2)又0<A<π,∴cosA<0.∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=1+=,又sinA>0,cosA<0,∴sinA-cosA>0,∴sinA-cosA=.②由①②可得sinA=,cosA=-,∴tanA===-.-利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα和tanA=即可求解.【变式训练22.3】(1)已知tanα=2,则sinα+sinαcosα-2cosα=2α3sin22=.(2)已知sinβ,tanα2tanβ,则cosα==2-2【分析】(1)sinαsinαcosα2cosα+=-=-=.∵2=2,①(2)sinα3sinβ22tanα4tanβ,②=①÷②2=2③由得,4cosα3cosβ,由①222=.+③得,sinα+4cosα=3,∴cosα【答案】(1)(2)题型四三角函数引诱公式的应用【例4】已知sinα,分别是方程5x2-12x-9=0的两根.(1)求cos-和sin的值;(2)若3π<α<,----的值.求--【分析】∵sinα,2-129(53)(3)0的两根,分别是方程5xx-=x+x-=∴sinα=-,=3,∴cos=.(1)cos-cos-=-cos=-,=sin=sin=cos=.(2)∵3π<α<,∴α是第三象限角.∵sinα=-,∴cosα=-.=--=-1-cosα=-.娴熟运用引诱公式,并确立相应三角函数值的符号是解题的要点.【变式训练4】已知f=----

.(1)求f-的值.(2)若f(x)=,求sin+cos的值.【分析】f=-=-cosx·tanx=-sinx.(1)令+x=-,则x=--=-,∴f-=-sin-=sin=.(2)∵f(x)=-sin-=,∴sin-=-,∴sin+cos=sin-+cos=sin--cos=sin--cos-=2sin-=-.方法一数形联合思想在三角函数线中的应用当给出一个象限角时,欲判断该角的半角或倍角的符号或比较它们三个三角函数值的大小时,因为没有给出详细的角度,所以用图形能够更直观地表示,可先画出三角函数线,借助三角函数线比较大小.【打破训练1】设θ是第二象限角,试比较sin,cos,tan的大小.【分析】∵θ是第二象限角,+2kπ<θ<π+2kπ,k∈Z,+kπ<<+kπ,k∈Z,是第一象限角或第三象限角.如图,联合单位圆上的三角函数线可得,①当是第一象限角时,sin=AB,cos=OA,tan=CT,故cos<sin<tan.②当是第三象限角时,sin=EF,cos=OE,tan=CT,故sin<cos<tan.综上可得,当在第一象限时,cos<sin<tan;当在第三象限时,sin<cos<tan.方法二分类议论思想在三角函数化简中的应用角中含有变量n,因此需对n的奇偶进行分类议论.利用引诱公式,需将角写成切合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分看作一个整体.【打破训练2】求sin-+cos-(n∈Z)的值.-【分析】当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则原式=sin-+cos--=sin--+cos-=sin--+cos-=-sin+cos-=-sin+sin=0;当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则原式=sin-+cos-sin-+cos-==sin-+cos-=sin-+cos-=sin-cos-sin-cos-==sin-sin=0.故sin-+cos-=0.-1.(2017日照市三模)若sin(π-α)=,且≤α≤π,则cosα的值为( ).A.BCD.-.-.【分析】因为sin(π-α)=sinα=,≤α≤π,所以cosα=-=-.【答案】B2(2017江西师大附中三模)已知sin(πθ)2cos(3πθ)0,则( ).-A.3B.-3C.D.-【分析】因为sin(-π+θ)+2cos(3π-θ)=0,所以-sinθ-2cosθ=0,可得tanθ=-2,所以==-=,应选C----.【答案】C3(2017江西八校联考)已知cosαsinα=则α的值为( ).,sin2B.-C.D.-【分析】∵cosα-sinα=,∴1-sin2α=,∴sin2α=.【答案】C4.(2017临城质检)已知角θ的极点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sinθ=-,则y=( ).A.-8B.-4C.2D.4【分析】因为sinθ==-2=64,所以y=-8.,所以y<0,且y【答案】A5(2017宁德三模)已知sin=则的值为( )..-,cosB.C.-D.-【分析】cos-=cos-=sin=,应选B.【答案】B6(2017南昌二模)已知sinθ2cosθ0,则=..+=【分析】由sinθ+2cosθ=0,得sinθ=-2cosθ,则=1=.【答案】17(2016湖北二模)设( )则f-+f=.-【分析】f-+fsin-+f-=+sin=.=【答案】8.(2017郴州市四检)已知3cos2.θ=tanθ+3,且θ≠kπ(k∈Z),则sin[2(π-θ)]=【分析】由题意可得3cos22,因为θ≠kπ(k∈Z),所以sinθcosθ=-,即θ-3=tanθ,即-3sinθ=sin2θ=-,所以sin[2(π-θ)]=-sin2θ=.【答案】9.(2016许昌二模)已知点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,则α的一个变化区间是( ).C.--D.【分析】因为点P(sinα-cosα,tanα)在第二象限,所以-依据三角函数的性质可知选项C正确.【答案】C10.(2016柳州二模)若角α知足α=+(k∈Z),则α的终边必定在( ).第一象限或第二象限或第三象限第一象限或第二象限或第四象限C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上【分析】当k=0时,α=,终边位于第一象限,当k=1时,α=,终边位于第二象限,当k=2时,α=,终边位于y轴的非正半轴上,当k=3时,α=2π+,终边位于第一象限.综上可知,α的终边必定在第一象限或第二象限或y轴非正半轴上.应选D.【答案】D11.(2016上饶月考)当0<x<时函数f(x)=的最小值是( ).,-【分析】当0<x<时,0<tanx<1,f(x)==,--设t=tanx,则0<t<1,y=-=-≥4.当且仅当t=1-t,即t=时等号成立.【答案】D12.(2017金华质检)若2tanα=3tan,则-.=--【分析】=--===5.--【答案】513(2016西宁联考)已知,,是三角形的内角,sin,cosA分别是方程220的两根..ABCA-x-x+a=(1)求角A.(2)若=-3,求tanB.-【分析】(1)由已知可得,sinA-cosA=1,①又sin2A+cos2A=1,∴sin2(sinA-1)21,A+=即4sin2A-2sinA=0,得sinA=0(舍去)或sinA=,∴A=或A=,将A=或A=代入①知A=时等式不可立,A=.(2)由=-3,-得sin2B-sinBcosB-2cos2B=0.∵cosB≠0,∴tan2B-tanB-2=0,∴tanB=2或tanB=-1.当tanB=-1时,cos2B-sin2B=0,不合题意,舍去,∴tanB=2.§7.2三角函数的图象与性质一用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数

y=sinx,x∈[0,2π]的图象中

,五个要点点分别是

、-

、

-

、

.二三角函数的图象和性质(表中k∈Z)函数y=sinxy=cosxy=tanx性质定义域RR图象值域

[-1,1]

[-1,1]

R对称轴对称中心

(kπ,0)周期

2π

2π

π增区间为

增区间为增区间为单一性减区间为

减区间为无减区间奇偶性奇函数偶函数奇函数1设点P是函数f(x)=sinωx(ω>0)的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则ω=.2函数y=2-3cos的最大值为,此时x=.3函数f(x)=sin-的图象的一条对称轴是( ).x=x=x=-x=-知识清单一、(0,0)(π,0)(2π,0)二、x=kπ+π-x=k--基础训练1.【分析】由正弦函数的图象知对称中心与对称轴的距离的最小值为最小正周期的,故f(x)的最小正周期为T=4×=,∴ω==.【答案】2【分析】当cos=-1,y=2-3cos5,x+π2π(∈Z),进而.获得最大值此时=+kk时函数x=π+2kπ,k∈Z.【答案】5π+2kπ,k∈Z3【分析】正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点,故令π∈π∈取,k,kZ.k=-1,Z,∴x=k+则x=-.【答案】C题型一三角函数的定义域【例1】函数( )lg(322的定义域为.)fx=+x-x+【分析】由题意得-即-解得0≤x<3,所以函数f(x)的定义域为[0,3).【答案】[0,3)求三角函数的定义域其实是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.【变式训练1】函数y=-的定义域为.【分析】由题意得sin2x-cos2x≥0,即sin-≥0,则2kπ≤2x-≤2kπ+π,解得kπ+≤≤kπ+(∈Z),k所以函数的定义域为.【答案】题型二三角函数的值域【例2】求函数f(x)=cos2x+sinx+在区间-上的最大值与最小值.2sin1sin2sin-+.【分析】f(x)=cosx+x+=-x+x+=-∈-,∴sinx∈-,∵x∴当sinx=-时,函数f(x)取最小值,当sinx=时,函数f(x)取最大值.形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为对于t的二次函数求值域(最值).【变式训练2】已知函数f(x)=cos-+2sin-·sin,求函数f(x)在区间-上的最大值与最小值.【分析】由题意得( )cos2x+sin2(sinx-cosx)·(sincos)fx==cos2x+sin2x+sin2x-cos2x=cos2x+sin2x-cos2x=sin-.又x∈-,∴2x-∈-,∴sin-∈-.故当x=时,f(x)取最大值1;当x=-时,f(x)取最小值-.题型三三角函数的单一性与周期性【例3】(2017北京海淀区高三适应性考试)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单一递加区间.【分析】(1)f(x)=4cosωx·sin=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωcos2ω)2sin+.x+x+=因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0,所以=π,故ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sin+,令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,所以-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单一递加区间为-,k∈Z.先将y=f(x)化成y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(此中A≠0,ω>0)形式,再联合求周期公式和求单一区间的方法即可求解.【变式训练3】已知函数( )sinωx-+(ω0)的最小正周期为.fx=>(1)求ω的值;(2)求函数f(x)的单一递减区间.【分析】f(x)=sinωx-+=sinωx·cosωx-sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=sin.(1)∵函数f(x)的最小正周期为,=,解得ω=2.(2)由(1)知f(x)=sin,令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,得2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,∴+≤x≤+,k∈Z.∴函数f(x)的单一递减区间是,k∈Z.题型四三角函数的对称性与奇偶性【例4】设函数f(x)=sin2x+cos2x(x∈R).(1)若函数y=f(x+φ)的图象对于直线x=0对称,求φ的值;(2)若函数y=f的图象对于点中心对称,求|φ|的最小值.【分析】f(x)=sin2x+cos2x=2sin.(1)∵y=f(x+φ)=2sin的图象对于直线x=0对称,∴f(x+φ)为偶函数,+2φ=+kπ,k∈Z,则φ=+,k∈Z.∵|φ|≤,∴φ=-或φ=.(2)∵y=f2sin2cos(2φ)的图象对于点中心对称,==x+∴2cos=2cos=2cos=0,+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+,k∈Z;若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ,k∈Z.假如求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.【变式训练4】设函数f(x)=2sin(2x+φ)(-π<φ<0).若f-=f(x),求φ;(1)(2)若函数y=f(x)是奇函数,求函数g(x)=cos的单一递减区间.【分析】(1)∵f-=f(x),∴函数f(x)的图象对于直线x=对称,令2×+φ=kπ+,k∈Z,则φ=kπ+,k∈Z,又-π<φ<0,则-<k<-,k∈Z.∴k=-1,则φ=-.(2)∵函数y=f(x)是奇函数,-π<φ<0,∴φ=-,∴g(x)=cos-.令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,∴y=g(x)的单一递减区间为,k∈Z.方法方程思想在三角函数中的应用此类题目主要解决方程中的参量问题,第一利用正弦函数、余弦函数的有界性或单一性求出y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值,但要注意对参量的符号进行议论,以便确立函数的单一性,其次由已知列方程求解.22sinxcos3cos22.【打破训练】已知函数f(x)=sinx+x+x-当x∈时,求函数f(x)的单一递加区间;(1)(2)若函数g(x)=-(1+λ)f2(x)-2f(x)+1在-上单一递减,务实数λ的取值范围.22sinxcos3cos22【分析】f(x)=sinx+x+x-=sin2x+cos2x=2sin.(1)令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z.解得2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.∵x∈,∴f(x)的单一递加区间为.(2)由(1)知函数f(x)在-上单一递加,设f(x)=t,则-1≤t≤1,∴k(t)=-(1+λ)t2-2t+1(-1≤t≤1),①当λ=-1时,k(t)=-2t+1在[-1,1]上单一递减,即λ=-1切合题意;②当λ<-1时,-(1+λ)>0,则-≥1,得-2≤λ<-1;③当λ>-1时,-(1+λ)<0,则-≤-1,得-1<λ≤0.综上,λ∈[-2,0].1.(2017江西二模)函数y=2sin2-1是( ).A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数2-1=-cos(2x+3π)=cos2x,∴y=2sin2π的偶函数.【分析】∵y=2sin-1是最小正周期为【答案】A2(2017广东联考)函数( )2sin-cos-的图象的一个对称中心能够是( )..fx=A.(-π,0)B.-C.D.【分析】由题意知( )sinπ(∈Z),则π∈Z)fx=k.由k=-1,得x=-,即( )sin-的一个对称中心是-.fx=【答案】B3(2017西宁二模)同时拥有性质“①最小正周期是π;②图象对于直线x=对称;③在-上是增函数.”.的一个函数为( ).A.sinB.y=cos-y=C.cosD.y=sin-y=【分析】依据性质①最小正周期是π,清除选项A和B;对于选项C,当x=时,y=cos=cos=-,不是最值,所以清除选项C,应选D.【答案】D4(2017沈阳三模)已知函数f( )sin(ωφ)的图象在y轴左边的第一个最高点为-,.x=Ax+第一个最低点为-,则函数f(x)的分析式为( ).A.f(x)=3sin-B.f(x)=3sin-C.f(x)=3sin-D.f(x)=3sin-A=3,T=2-=,∴=±2,当ω2时,( )3sin(φ2),且过点-,【分析】由题意得ω=±=-fx=-xπ则φ2π+得φ.当ω2时,不合题意.应选A=,【答案】

A5.

(2017

佳木斯市三模

)若函数

f(x)=sin(ωx+φ),此中ω>0,

<

,两相邻的对称轴的距离为

,f

为最大值

,则函数

f(x)在区间[0,π]上的单一递加区间为

(

).A.

B.C.和

D.和【分析】∵两相邻的对称轴的距离为,∴=解得π,∴ω=2.又f为最大值,令,T=2φ2π,∈Z,解得φ2π,∈Z,令0得φ=,函数( )sin.令∴fx=-2π≤2≤2π,∈Z,当0时,∈-当时∈在区间上的单一增区间为,x,∴f(x),k=1和.【答案】D6(2017中卫市二模)函数( )cos2sin的最小值是..fx=x+【分析】( )cos2sin2cos12-,故( )=-.min【答案】-7.(2017菏泽联考)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象以下图,则,y=f(x)f=.【分析】由图象知,T=2-=,∴ω=2.由2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z.又∵|φ|<,∴φ=.由Atan1,知1,=A=( )tan,∴f=tan=tan=.∴fx=【答案】8(2017百校结盟)已知函数( )-sin2,则当()取最小值时cos2x的值为..fx=xfx【分析】f(x)=+-=+-,∵cos2x+2>0,∴f(x)≥2×-=0,当且仅当,即cos2x=-时等号成立.【答案】-9.(2017辽宁四模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象过点,若()≤f对∈R恒成fxx立,则ω的最小值为().A.2B.4C.10D.16【分析】函数图象过点,则sinφ=.联合|φ|<可得φ由f(x)≤f对x∈R恒成立,可得,=,×ω+=2kπ+(k∈Z),解得ω=24k+4(k∈Z),令k=0可得ωmin=4.【答案】B10.(2017宁夏四模)已知函数f(x)=sin-cos-(ω>0),知足f-=,则知足题意的ω最小值为( ).D.2【分析】由题意可得,( )sin-cos=sin+sin=sin,fx=则f-=sin-=,ω+=2kπ+或-ω+=2kπ+(∈Z),则ω112或ω=-123(∈Z)∴-k=-kk-k.联合ω0可得,令0,ωmin1>k=【答案】C11(2017娄底二模)已知函数f()2sin(ωφ)1,(α)1,(β)1,若-的最小值为=-f,f=且f(x)的图象对于点对称,则函数()的单一递加区间是().fxA.-,k∈ZB.-,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【分析】由题设知f(x)的周期T=4|α-β|min=3π,所以ω==,又f(x)的图象对于点对称,进而f=1,即sin=0,因为|φ|<,所以φ=-,故f(x)=2sin-+1.由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,得-+3kπ≤x≤π+3kπ,k∈Z,应选B.【答案】B12.(2017马鞍山三模)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象以下图,则φ=.【分析】由图象知sinφ=-?φ=2kπ-(k∈Z),又<<T?<T<?<ω<.再由sin0?ωφππ∈Z)?φ∈--,解得φ=-.=+=2k+(k【答案】-13.(2017盐城二模)已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设( )=f且lgg(x)>0,求g(x)的单一区间.gx【分析】(1)∵x∈,∴2x+∈.∴sin∈-,∴-2asin∈[-2a,a],∴f(x)∈[b,3a+b].又∵-5≤f(x)≤1,b=-5,3a+b=1,所以a=2,b=-5.(2)由(1)得,()4sin-1,fx=-( )=-4sin-1gx=f=4sin-1.又由lgg(x)>0,得g(x)>1,∴4sin-1>1,∴sin>,∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,此中当2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z时,g(x)单一递加,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,∴g(x)的单一递加区间为,k∈Z.又∵当2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z时,g(x)单一递减,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.∴g(x)的单一递减区间为,k∈Z.§7.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的相关性质1.定义域:R;2.值域:[-A,A];3.周期:T=;4.对称轴方程:;5.对称中心坐标:-(k∈Z);6.单一递加区间:,单一递减区间:.二图象的变换函数y=sinx的图象经变换获得y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤以下:1把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为本来的,所得的函数分析式为.2已知简谐运动( )sin(ωφ)的部分图象以下图,则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分fx=Ax+别为.3求函数f(x)=cos的单一递减区间.知识清单一、4-∈Z)(.x=k---6.(k∈Z)--(k∈Z)二、|φ|基础训练1.【分析】将原函数的图象向右平移个单位长度,获得函数y=sin-的图象,再把所得函数图象上各点的横坐标缩短为本来的,获得函数y=sin-的图象.【答案】y=sin-2【分析】由图象易知2,6,ω=又图象过点(1,2),∴sin=1,,∴φ+=2kπ+,k∈Z,又|φ|<,∴φ=.【答案】6和3【分析】由不等式2kπ≤2x+≤2kππ(∈Z)得kπ-≤≤π.+kxk+(k∈Z),所以函数f(x)的单一递减区间为-(k∈Z).题型一函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换【例1】已知函数y=2sin,(1)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(2)写出该函数的振幅、周期、初相,说明y=2sin的图象可由sinx的图象经过如何的变换而y=获得.【分析】(1)令X=2x+,则y=2sin=2sinX.列表,并描点画出图象:x-X0π2πy=sinX010-10y=2sin020-20(2)振幅2,周期π,初相φ=.T=A=(法一)把y=sinx的图象上全部的点向左平移个单位长度,获得y=sin的图象;再把siny=的图象上全部点的横坐标缩短到本来的(纵坐标不变),获得y=sin的图象;最后把y=sin上全部点的纵坐标伸长到本来的2倍(横坐标不变),即可获得y=2sin的图象.(法二)把y=sinx的图象上全部点的横坐标缩短到本来的(纵坐标不变),获得y=sin2x的图象;再把sin2的图象上全部的点向左平移个单位长度获得sin的图象;最后把y=sin2,=sin的图象上全部点的纵坐标伸长为本来的2倍(横坐标不变),即可获得2sin的图象.y=五点法作图要点是找出与x相对应的五个点;图形变换第一要看清由谁变换获得谁即可,其次要差别是“先平移再伸缩”仍是“先伸缩再平移”.【变式训练1】(2017厦门第二次质检)将函数f(x)=cos-(ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得的图象经过点,则ω的最小值是( ).A.B.1C.D.2【分析】( )sinωx的图象向右平移个单位长度后得( )sin-ω的图象,故g=sinω=所fx=gx=0,以ω=kπ,k∈Z,即ω=2k,当k=1时,ω取最小值2.【答案】D题型二求函数y=Asin(ωx+φ)的分析式【例2】(2017河北石家庄二模)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象以下图,则f(0)的值为.【分析】由图知T=2π,∴ω=1,则f(x)=sin(x+φ),且fφπ,∴φπφ,( )sin,∴f(0)=sin=.∴=∴fx=【答案】由均衡点和相邻最低点间的相对地点确立周期,依据待定系数法求φ.【变式训练2】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分以下图,则该函数的分析式为.【分析】察看图象可知,A=2且点(0,1)在图象上,∴1=2sin(ω·0+φ),即sinφ=.∵|φ|<,∴φ=.又∵是函数的一个零点,且是函数图象递加穿过2π,∴ω2,( )2sinx轴形成的零点,∴ω+==∴fx=.【答案】f(x)=2sin题型三三角函数模型的应用【例3】如图,一个水轮的半径为4m,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟按逆时针转动5圈,若当水轮上图中点0)开始计算时间.点P从水中涌现时(P(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数.(2)点P第一次抵达最高点大概需要多少时间?【分析】(1)以下图,成立平面直角坐标系,设角φ-是以Ox为始边,OP0为终边的角.OP每秒钟内所转过的角为=,所以OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动,得z=4sin+2.当t=0时,z=0,得sinφ=-,即φ=-.故所求的函数关系式为z=4sin-+2.(2)令z=4sin-+2=6,得sin-1=.令t-=,得t=4,故点P第一次抵达最高点大概需要4s.察看数据,发现能否拥有周期性的重复现象,假如是,转变为y=Asin(ωx+φ),利用三角函数模型解决实质问题.【变式训练3】如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似地知足函数y=Asin(ωx+φ)+b.(1)求这段时间的最大温差;(2)写出这段曲线的函数分析式.【分析】(1)由图可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃).(2)由图可知从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,所以×=14-6,解得ω=.由图可知A=×(30-10)10,=b=×(30+10)=20,故y=10sin+20.将x=6,y=10代入上式,可取φ=.综上所述,所求分析式为y=10sin+20,x∈[6,14].方法数形联合思想1掌握“五点法”作图,确立定义域,基本思想是把ωφ看作一个整体,抓住函数sin(ωφ)的图.x+y=Ax+象的特色;2从整体思想和数形联合思想确立函数sin(ωφ)的性质..y=Ax+【打破训练1】已知向量(sin,1),(cos,),∈R,设函数21,将函数y=f( )的图a=x-b=xmmfx=a+bb-m象向右平移个单位长度,获得函数g(x)的图象.若函数g(x)在上有两个零点,求m的取值范围.2【分析】∵f(x)=2(a+b)b-2m-12sinxcos2cos2x-21=x+m-sin2cos222sin-m=x+x-m=2,( )2sin--2m=2sin--2m.∴gx=∵x∈,∴2x-∈-,则2sin-∈[-1,2].设y1=2sin-,y2=2m,由数形联合知,若函数g(x)在上有两个零点,则2m∈[1,2),∴m的取值范围是.【打破训练2】已知函数f(x)=2sin2x,记函数f(x)在区间上的最大值为M,最小值为m,设函数tth(t)=Mt-mt.若t∈,则函数h(t)的值域为.【分析】由已知得函数

f(x)的周期

T=π,区间

的长度为

,作出函数

f(x)在

上的图象

(图略),又t∈

,则由图(图略)可得,当t∈

时,h(t)=f

-f

=2-2cos2t∈

;当t∈

时,函数

f(x)为减函数,则h(t)=f(t)-f【答案】[1,2]

=2

sin

-

∈[2,2

],∴h(t)的值域为

[1,2

].1.(2017阜阳二模)将函数f(x)=sin-的图象向右平移个单位长度后获得的图象的一条对称轴是( ).A.x=B.x=C.x=D.x=【分析】由题意得平移后函数为y=sin--sin-,对称轴为2=+kπ(k∈Z),得=x-x=+(∈Z),所以直线x=为平移后函数的一条对称轴,应选Ck.【答案】C2.(2017淮北二模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其部分图象以下图,则函数f(x)的分析式为( ).f(x)=2sinf(x)=2sinf(x)=2sinD.f(x)=2sinA=2,π?ω,f-=2-φ(0<<),=,∴f(x)=2sin.【分析】由图可得=得+=则φ=由φπ【答案】B3.(2017鹰潭市一模)据市场检查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(ωx+φ)+b的模型颠簸(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价钱最低为5千元,依据以上条件可确立( )的分析式为().fxA.( )2sin-*fx=+7(1≤x≤12,x∈N)B.( )9sin-*fx=(1≤x≤12,x∈N)C.f(x)=2sinx+7(1≤x≤12,x∈N*)D.( )2sin≤≤∈*+7(112,xN)x【分析】由题意得b=7,则A=9-7=2,T=2(7-3)=8,∴