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文档简介

2.2.3向量乘算其何义整设教分向量的数乘运算其实是加法运算的推广及简化与法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手入数乘运算,充分展现了数学知识之间的内在联系.实与量的乘积仍然是一个向量有大小,有方向.别是方向与已知向量是共线向量进引出共线向量定理共向量定理是本章节中重要的内用相当广泛且易出错其是定理的前提条件向量a是零向量共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性,且与后续的知识有着紧密的联.三目通过经探究数乘运算法则及几何意义的过程掌握实数与向量的定义,解实数与向量积的几何意掌握实数与向量的积的运理解两向量共线的等价条,能够运用两向量共线条件判定向量是否平.通过探体会类比迁移的思想方,透研究新问题的思想和方法,养创新能力和积极进取精神通过解决具体问,会数学在生活中的重要作重难教学重点:实与向量积的意义.2.数与向量积的运算律两向量共线的等价条件及其运用教学难点对向量共线的等价条件的理解运课安时教过导新思1.前面两节课,我们起学习了向量加减法运算这一节,我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广在代数运算中故数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方那么相同向量的求和算是否也有类似的简便计.思2一物体做匀速直线运一秒钟的位移对应的向量为那在同一向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示?是吗?怎样用图形表示?由此展开新推新新探提问①已知非零向量a试一试作出aaa和()+(-)+(-②你能对你的探究结果作出解并说明它们的几何意义?③引入向量数乘运算后你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗怎理两向量平行?与两直线平行有什么异同?活:引学生回顾相关知并猜想结果对运算律的验证点学生通过作图来进行.通过学生的动手作图,学生明确向量数乘运算的运算律及其何意教师要引导学生别注意a而是=0.个零向量是一个特殊的向,似乎很不起但又处处存稍不注意就会出错,所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向之间的关实数与向量可以求积但是不能进行加、减运算,比如,λ-都法进行.向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相只是数乘运算的分配律有种不同的形(λ+μ)aλμ和λ(a+)=λb数乘运算的关键是等式两边向量的模相等,方向相判两个向量是否平共)实际上就是看能否找出一个实数使这个实数乘以其中一个向量等另一个向.一定要切实理解两向量共线的条它是证明几何中的三点共和两直线平行等问题的有效手/

对问题①学生通过作图可现,

OC

=

OA

+

AB

+

BC

=a+类似数的乘法,可把a记作3即

OC

=3显然3的方向与的向相,的度a的长度的倍即3|=3||.同样由图可知,图=QMMN

=(-)+(-),即-)+(-a)+(-a).显3(-)的方向与的向相反,3(-a)的长度是a的度的3倍,这样3(-)=-3对问题②上述过程推广后即为实数向量的我们规定实数λ与量的是一个向量这运算叫做向量的数乘,记作λa,的长度与方向规定如下(1)|aa|;当时λ方向与方向相;λ<0时λ的方向与a的向相反.由1)可知λ=0,λa=0根据实数与向量的积的定,们可以验证下面的运算.实数与向量的积的运算律设、为数那(1)λ(aλμ)a;(2)(a=aμ;(3)λ(bλb特别地我们有-=-λ)=λ(-a),λ(-)=λ-b.对问题③向量共线的等价条件如果(a与b共那么有且只有一个实数λ,使b.推证过程教师可引导学生自己完成,推证过程如下:对向a≠0)、b,如果有一个实数使bλa,那么由向量数乘的定知线.反过来已向量a与线a且量b长度是向量的度μ倍即ba那么当a与b同向,bμ;a与反方向时,b=-μ关于向量共线的条件,教师要点拨学生做进一步深层探,让学生思若掉0这条件,上述条件成立吗?目的是通过与意向量平行来加深对向量共线的等价条件的认识.在判断两个非零向量是否共线,需看这两个向量的方向是否相同或相反即,与这两个向量的长度无关没有指明非零向量的情况下,共向量可能有以下几种情况:(1)有一个零向量两个都为零向量;同向且模相等;同向且模不等;(5)反且模相等;反向且不等讨结:①数与向量的积仍是一个向量,向的方向由实数的正负及原向量的方向确定,大小由λ|·|确.②它的几何意义是把向量a沿a的方向或的方向放大或缩.③向量的平行与直线的平行是不同直线的平行是指两条线在同一平面内没有公共;向量的平行既包含没有交点的情,包含两个向量在同一条直线上的情.应示/

思1例1计:(1)(-3)×4a;(2)3(+b)-2(-b;(3)(2b-a-2+).活:本是数乘运算的简单应用让学生自己完成,要学生熟练运用向量数乘运的运算律.教中拨学生不能将本题看作字母的代数运算以让他们在代数运算的同时说出其几何意义,学生明确向量数乘运算的特同时向学生点出,量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运对于任意向量、,及任意实数、、μ,有λ(μaμ)=λμ±μ.12121解原==-12a原式bab原式=2-c-3b-c=-b-2c点:运用向量运算的运算,解向量的数乘其运算过程可以仿照多项式运算中的合并同类项”变训若3+2=,m-3n=b其a,b已知向求,n.解:因+2=①mn②3×得3-9n=3.③①-③得na-3b.∴=

13④11将④代入②,=bn=

32+.1111点:此题可把已知条件看作向量、n的,通过方程组的求解获得、n在此题求解过程中利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合,而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一图例2如2,知任意两个非零向量a、b试作

OA

=a,

OB

=a

OC

=a+3你能判断A、B、C点之间的位置关系吗?什?活:本给出了利用向量共线判断点共线的方法,这判断三点共线常用的方法学中可以先引导学生作图,通过观察图形得到三共线的猜再将平面几何中判断三点共线的方法转化为用向量共线证明三点共.题只要引导学生理清思具体过程可由学生自己完成.外,题是一个很好的与信息技术整合的题材,教中可以通过计算机作图,进动态演示揭示向量、变化过程AB、点始终在同一条直线上的规/

解:如图3别作向量

图过点A、C作线AC.观发不论向量、怎变化点始在直线上,想A、、三共线.事实上因为ABOB-OA=a+2a+bb,而

=

OC

-

OA

=b-(a)=2b,于是

AB所以A、BC三共线.点:关三点共线问题学生接触较多这里是用向量证明三点共线法是必须先证明两个向量共线并且有公共点教师引导学生解完后进行反体向量证法的颖独.例3如图ABCD的条对角线相交于点

M,且

AB

=a,

AD

=,你能用、表示MAMD?图活本例的解答要用到平行四边形的性质另外,向量表示几何元点、线段)是用向量方法证明几何问题的重要步骤,学中可以给学生明确指出这一点.解:在ABCD中∵ACADb,-AD=a-b,又∵平行四边形的两条对角线互相平,∴

MA

=

111(a+b)=-b22211MB==(-bb2211MC=ACa,22MD

=

MB

=-

11=-.222/

点:结向量加法和减法的平行四形法则和三角形法则,将两个向量的和或差表示出来这是解决这类几何题的关思2例1凸边形ABCD的AD、BC的中点分别为E、求证:

EF

=

12

(

+

).活:教师引导学生探能否构造三角形使作三角形中位,助于三角形中位线定理解决或创造相同起点以立向量间关.励学生多角度观察思考问.图解:方法一:过点C在平面内作CG=AB则四边形ABGC是行四边形,故F为AG点(如图5)∴EF是ADG的位线∴EF

12

∴EF=

12

DG

DG

=

+

CG

=

+

AB

∴EF=

12

(

).方法二如6,连接EB、EC,有=+AB+DC图又∵E是之点,∴有

EA

+

ED

=0,即有EB=

以EB与为边作

EBGC,则由F是之中,可得F也中.∴

EF

=

11EG(EB+EC)=(22

+

).点向的运算主要从以下几个方面加强练习:(1)加数形结合思想的训练画草图帮助/

解决问题加三角形法则和平行四边形法则的运用练做到准确熟练运.例2已

OA

OB

是不共线向量

AP

=t

AB

(tR试用

OA

OB

表示

OP

活:教师引导学生思由

AP

=t

AB

∈知A、BP三共而

OP

=

OA

+

AP

然后以AB表示AP进而建立OA,OB的系.题可让学生自己解决,师适时点解

OP

=

OA

+

AP

=

OA

+t·

AB

=

OA

OB

-

OA

)=(1-t)·

OA

+t·

OB

点:灵活运用向量共线的条若令则

OP

=m·

OA

+n·

OB

,m+n=1.变训设两个共线的向量e、e,向量=2-3,量+3e,向量c=2问否存在这12221样的实数λ、使量d+b与量共线?解=λ(2)+μ(2+3)=(2λ+2μ)+(3μ-λ)e,使与c共线,存在实数k使=kc,11即2λ+2μ)+(3μ-λ)=2k-9ke.12由λ+2μ=2k及--9k得-μ.故存在这样的实数λ和只λ=2μ就使d与c共线.2.(2007浙高考)若零向量、足a+b则)A.|2aa|<|2+b|C.|2a+2b|D.|2b|<|答:C3.(2007国高考eq\o\ac(△,在)ABC,已知D是边一点若

=2

=

13

+

则等()

212C.-D.-3333答:A知训本节练习解图略AC

52.77点:本题可先画一个示意根据图形容易得出正确答.值得注意的是与AB反.b=2a;(2)b

7;(3)ba;(4)b=4共;(2)共线aa;(2)

111+a;(3)2y123图略课小让学生顾本节学习的数学知:向量的数乘运算法则向量的数乘运算向量共线的条件体会本节学习中用到的思想方:特殊到一般,纳、猜想、类,类讨等转化./

向量及运算与数及其运算可以类比这类比是我们提高思想的有效手段,今后的学习中应予以充分的重它是我们学习中大的引路作课本习题2.2A组题、12.设感本教案设计流程符合新课程理念,充分抓住本节教学中的学生探究、猜想、证等活动,引导学

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