小学奥数之容斥原理(杂项)

建工容斥原理（一）【例题析】例.有长厘米宽厘米的长方形与边长厘米的正方形如图放在桌面上求这两个图形盖住桌面的面积？分析与：影部分是直角三角形，是两个图形的重叠部分，它的面积是：（平方厘米）方法一方法二方法三

（平方厘米）（平方厘米）（平方厘米）答：盖住桌面的面积是平方厘米。例.六一班参加无线电小组和航模小组的共人其中参加无线电小组的有人参加航模小组的有人，两组都参加的有多少人？分析与：人和人相加，是把两组都参加的人算了两次，所以减去总人数，就是两组都参加的人数（人）。也可以这样解：或（人）答：两组都参加的有人。

（人）1/7

建工例.六一班有学生人其中会骑自行车的有人会游泳的有人既会骑车又会游泳的有人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？分析与：求出人中会骑车或会游泳的有多少人，从中减去会骑车或会游泳的人数，剩下的就是既不会骑车也不会游泳的人数。（人）（人）答：既不会骑车又不会游泳的有人。例.某年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有人，参加音乐小组有人参加手工小组有人同时参加美术和音乐两个小组有人同时参加音乐和手工两个小组有人同时参加美术和手工两个小组的有人三个小组都参加的有人，这个年级参加课外小组的同学共有多少人？分析与：图中的都是两两重叠的部分图中的人是三个重叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。（人）答：这个年级参加课外小组的有人。例.某班在短跑投掷和跳远三项检测中有人三项都未达到优秀其他人至少有一项是优秀，下表是得优秀的情况，请你算出全班人数。短跑

投掷

跳远

跑跳

跑投

跳投

三项2/7

建工分析与：据题意画出如下图要求全班有多少人，先要求出跑、跳、投至少有一项达到优秀的人数，加上三项都未达到优秀的，就是全班人数。（人）（人）答：全班有人。例.分母是的最简真分数有多少个？分析与：些分数是最简真分数，所以分子应小于，只能是—中的自然数而且分子与要互质因为所以分母不能是的倍数或的倍数或的倍数所以要求有多少个最简真分数实际上就是求—这个自然数中不能被整除的数有多少个因此要先求出能被整除或能被整除或能被整除的数有多少个。能被整除的数：能被整除的数：能被整除的数：能同时被和整除的数：能同时被和整除的数：能同时被和整除的数：

（个）（个）（个）（个）3/7

建工（个）答：分母是的最简真分数有个。【模拟题】（答题时间：分钟）.有三个面积各为平方厘米的圆放在桌面上两两相交的面积分别是平方厘米，三个圆相交的面积是平方厘米，求三个圆盖住桌面的面积？.某区有名外语教师懂英语或日语其中懂英语的有名既懂英语又懂日语的有人。只懂日语的有多少名？.某班数学测验时有人得优英语得优有人两门都得优有人两门都没得优的有人。全班有多少人？.六年级一班春游矿泉水的有人水果的有人这两种至少带一种的有人，求两种都带的有多少人？.在至的自然数中，不能被整除的数或不能被整除或不能被整除的数共有多少个？容斥原理（二）【例题析】例.有人参加跳远达标赛每人跳三次每人至少有一次达到优秀第一次达到优秀的有人第二次达到优秀的有人第三次达到优秀的有人三次都达到优秀的只有人。只有两次达到优秀的有多少人？分析与解每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重叠两层的部分（图中阴影部分）。（人）4/7

建工答：只有两次达到优秀的有人。例.在一个炎热的夏日几个小朋友去冷饮店每人至少要了一样冷饮其中有人要了冰棍，人要了汽水，人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和雪碧的有人。三样都要的有人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？分析与解：根据题意画图。方法一：

（人）方法二：答：共有个小朋友去了冷饮店。

（人）例.有人参加田径运动会，每人至少参加两项比赛。已知有人没参加跑的项目，参加投掷项目的人数与参加跑和跳两项的人数都是人问只参加跑和投掷两项的有多少人？分析与解：“每人至少参加两项比赛”说明没有不参加的，也没有参加一项比赛的，我们可以在下图中参加一项的区域用表示。（人）答：只参加跑和投掷两项的有人。5/7

建工例.某校六年级二班有人参加了数学英语语文学习小组其中数学有人参加，英语有人参加语文小组有人老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有人既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数而三种全参加的只有人，求既参加英语又参加数学小组的人数。分析与解：根据已知条件画出图。三圆盖住的总体为人，假设既参加数学又参加英语的有人，既参加语文又参加英语的有人，可以列出这样的方程：整理后得：由于、均为质数，因而这两个质数中必有一个偶质数，另一个质数为。答：既参加英语又参加数学小组的为人或人。例.某班同学参加升学考试，得满分的人数如下：数学人，语文人，英语人，数学、英语两科满分者人，数学、语文两科满分者人，语文、英语两科满分者人，三科都没得满分者人。问这个班最多多少人？最少多少人？分析与解：根据题意画图。设三科都得满分者为全班人数6/7

建工整理后：全班人数＝＋表示全班人数，当取最大值时，全班人数就最多，当取最小值时，全班人数就最少。是数学、语文、英语三科都得满分的同学，因而中的人数一定不超过两科得满分的人数，即且最小可能是，即没有三科都得满分的。当取最大值时全班有人。答：这个班最多有人，最少有人。

，由此我们得到。另一方面人当取最小值时全班有【模拟试题】答题时间：分钟）.六年级共有人，两种刊物每人至少订其中一种，有的人订《少年报》，有的人订《数学报》，两种刊物都订的有多少人？.小明和小龙两家合住一套房子门厅厨房和厕所为公用登记住房面积时，两家登记表如下表（单位：平方米）姓名

居室

门厅

厨房

厕所

总面积小明小龙他们住的一套房子共有多少平方米？.某班名同学参加体育测试，其中百米得优者人，跳远得优者人，又知百米、跳远都得优者人，跳高、百米得优者人，跳高、跳远均得优者人，跳高得优者人，全班