小学奥数教程：约数与倍数(二)全国通用(含答案)

225-4-2.数数二教学目本讲主要对课本中的：约数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数性质的应用。本讲核心目标：让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，例如）数、公约数、最大公约数；倍数、公倍数、最小公倍数的内在关；（2整数唯一分解定理：让学生自己初步领任何一个数字都可以表示为eq\o\ac(△,☆)

eq\o\ac(△,☆)

eq\o\ac(△,☆)

的结构，一、

而且表达形式唯”知识点约数、公约数与最大公约数概念(1)约数在正整数范围内约数又叫因整能整数除叫b的数，就叫做的约数；(2)公约数:如果一个整数同时是几个整数的数，称这个整数为它们公约”最大公约数：公约数中最大的一个就是最大公约数；0被除约数与倍数之外1．最大公约数的方法①解因法先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：231，252，以(231,252)；218②除：找出所有共有的约数，然后相乘．例如：396，以；3③转除：一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一余数去除前一个余数，直到余数是为．么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是，那么原来的两个数是互质的．例如，求和的大公约数：600315；315285；31528530150；以1515和的大公约是．2．大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数，得的积的最大公约数等于这几个数的最大约数乘以n．3．一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数；出各个分数的分子的b最大公约数；即所求．a4．数、公约数最大公约数的关系约数是对一个数说的；公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数二、倍数的概念与最小公倍数倍数一个整数能够被另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数公倍数在个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，那么这些倍就叫做它们的公倍数(3)最小公倍数：公倍数中最小的个称为这些正整数的最小公倍数。1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：231，2522所以②短除法求最小公倍数；218例如：3

，所以；③[b]

a(,)

．2.最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3.求一组分数的最小公倍数方法步骤b先将各个分数化为假分数出个分数分子的最小公倍数求各个分数分母的最大公约数；即a3为所求．例如：[,]4124注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整例如：34．数、公倍数、最小公倍数的关系倍数是对一个数说的；最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数三、最大公约数与最小公倍数的常用性质．两个自数别以们的大约，得商质

4如果为、B的大公约数，且ma，，么、b互质，所以A、B的小公倍数为，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：mb，两个数最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是A、B、A、A及小公倍数的约数．．两个数最公和小公的积于两数乘。即(ab),]，性质比较简单，学生比较容易掌握。．对于任3连续的然，果个续的偶为)奇奇那这个的积于三数最公数例如：5，就的小公倍数b)偶偶那这个的积于三数小公数倍例如：6336，的最小公倍数为336性（不是一个常见考点是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系233233个数最小公倍数一定不会比他们的乘积”。四、求约数个数与所有约数的和1．任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指(次数加1后所得的乘积。如1400严分解质因数之后为2，以它的约数(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个。包括和本身约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在篇讲过的数字唯分解定理”形式基之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原还原构”出来，者构造出可能的最。2．任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：210002

3

，以21000所有约数的和为(1

2

3

2

7)74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规性的记忆即可。例题精模块一、倍数【1】N为然，N，N、…、N与都有于l的公约．N的小为少【考点】倍数【难度】【型】解答【关键词】走美杯，六年级，初赛，第8题【解析690，连续数中，最多有5个是倍数，也有可能有个是2的倍数．如果有个续奇数，这5个续数中最多有的倍数个的数，1个的倍数，所以必然有一个数不是2、、5的倍数，即与没有大于l的约数．所以9个中有个数，则N、、、、N是偶数，剩下的个数中，有2个倍数5的数个倍数4个奇数中NN是倍数一是5的数，一个是23的数，那么这两个最小只能为23和，故23，．的小值为19【答案】19模块二、公倍数与最小公倍数综合【2】有个子，走9分钟一灯每整响一铃中2点，子钟铃亮．：下次响又灯几钟【考点】公倍数与最小公倍数综合【难度3星【型】填空【关键词】华杯赛，初赛，试题，第10题【解析】因为子钟每到整点响，所以我们只要考虑哪个整点亮灯就行了．从中12点，每钟亮一次灯，要过多少个分钟才到整点呢？由于1小＝60分，这个问题换句话说就是9分的多少倍是60分的整数倍呢即求9分最公倍数和60的小公倍数是．这就是说，从正午起过180分钟，也就是3小，电子钟会再次既响铃又亮灯．答：下一次既响铃又亮灯时是下午点钟．【答案】点【3】甲乙人时A点背出，米的形道走甲每钟80米，乙分走50米两至经多时才在A点相？【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】解答【解析甲乙走一圈分别需要钟和分，因此他们要是在A点次相遇，两人都要走整圈数，所以所需的时间应是5和最小公倍数分钟．【答案】40分钟【4】动园饲员三猴分生，只给一，每猴可粒如分第群，则只子得粒；只给三，每猴可得粒那平给三猴，只得少？【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】填空【解析依题意得:花生总粒数群猴子只数群猴子只数三猴子只数,由可知，花生总粒数是，15公倍数，其最小公倍数是．花生总粒数是60，，180那么：第一群猴子只数是5，15，；二群猴子只数是4，，；三猴子只数是36，；所以，三群猴子的总只数是12，24，，因，平均分给三群猴子，每只猴子所得花生粒数总是粒．【答案】5【固加工某机零要过道序第一工每工每时完6个件第二工每工人小可成10个件第三工每工每时完15个件要使加工产衡三道序少需多名人（假设三工可同进）【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】填空【解析为使生产均衡,则三道工序每小时生产的零件个应相,第一、二、三道工序上分别有a、b、个人有c,那的小值为的小公倍即所以,,,三道工序最少共需要名人．【答案】10名工人【5】在根木上有种度，第种度将棍成0等，二刻线把棍成12等第三种度把棍成15等份如果每刻线木锯木总被成少？【考点】公倍数与最小公倍数综合【度4星【型】解答【解析从目中可以知道，木棍锯成的段数，比锯的次数大；锯的次数并不一是三种刻度线的总和，因为当两种刻度线重合在一起的时候，就会少锯一次．所以本题的关键在于计算出有多少两种刻线或者三种刻度线重叠在一起的位置．把木棍看成是1、12的小公倍数个单位，那么每个等分线将表示的数都是整数，而且重合位置表示的数都是等分线段长度的公倍数，利用求公倍数的数的方法计算出重合的刻度线的条数．先木棍60等，每一等分作为一个单位，则第一种刻度线相邻两刻度间占6个单位，第二种占5个位，第三种占4个位，分点共有个)．单处二种刻度重合次、40单位处二种刻度重合；12、24、48单位处二种刻度重合次所以没有三种刻度线重叠在一起的位置．所以共有不重合刻度4个从而分成28段【答案】28段【6】大后一，明爸同步测个形圃周，俩起和行向全同，明步厘，爸步长厘米由两脚有合，以各完圈，地留下60个印求形圃周．【考点】公倍数与最小公倍数综合【度4星【型】解答【解析必求出相邻两次脚印重合所走的路程以及走完全程脚印重合的次数．两人从起点出发第一次脚印重合所走的路程是相同的，是两人步长的最小公倍数，厘．在厘米里，两人留下的脚印数分别是：(个)，72个由于两人有1个印重合，所实际上只有()脚印完全程共重合次周长为(厘米【答案】【7】一士排一横，一从左右至报，二从右左1至报。次报的有5名，列兵多名。【考点】公倍数与最小公倍数综合【度4星【型】填空【关键词】走美杯，级，决赛，第题10分【解析】[46]=12，所以每名报名情况重复一次.12为个周期，我们先来看看名士兵报数的情况：1、3、、1、、、4、12、3、6、4、、2、、65、4、2、1如果不经过移动，那么两组数就不会出现在同一个位置同时出现的情况！要使同一个位置同时出现，么我们可以移动第二行全部的数，移动的情况有：第二行的数全部往后移动3个位或者7个位；第二行的数全部往前移动一个单位个单位或者6个单位而无论何种移动每个周期内同时出现情况只有即每相邻的12人只会有一个人同时报那要使人数最，就需移动的单位尽可能的多因此我们选移动个位的一种情况，那么士兵就最多可以有12人【答案】人【8】有、、三人操跑上步，每钟米，每钟米，每钟70米已操跑周为米，果个同同从一点出，几钟，个可以次聚【考点】公倍数与最小公倍数综合【度4星【型】解答【解析由意，甲、乙、丙相聚时他们两两路程之差恰好是400米的倍数，甲和乙每分钟差(米)，需要分乙才能第一次追上甲；同理，乙每分钟比丙多走12050米)则需要钟乙才能追上丙；同理，甲每分钟比丙多走(米，则需要钟甲才能追上丙；而想要三人再次相遇，所需的时间则为108，的公倍数．因为以三人相聚需要过40钟，即分钟后，三个人可以首次相聚．【答案】40分钟【9】如，、、C是三个顺咬的轮当A转圈，恰转圈：转圈时C恰好转5圈则A、、的数最数别多少A

B

C【考点】公倍数与最小公倍数综合【度4星【型】解答【关键词】第四届，IMC六级，复赛【解析当A转圈时恰好转圈则A、齿数的比值为3:同理B、的数比值为5:。以A、、C齿数比值为15:，以此时A齿至少为15，B的数至少是20，C齿至少是。【答案】齿数至少为，的数至少是，齿至是。【】有一紧的动轮每个子都有一通轴的志（如图动轮的径厘，动的径90厘．始动，个子的志在条线上问主轮少了转，轮标线在条线？【考点】公倍数与最小公倍数综合【度4星【型】解答【关键词】华杯赛，初赛，第8题【解析】与的最小公倍是．＝6，所以主动轮转了个半圈，即转了，两轮的标志线又在一条直线上【答案】转11【】一次试参的生中得优得良中其的差已参考的学不73人那得的生多人【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】解答【关键词】中，入学试题11【解析由意参加的学生中有得优，得，得中，可知参加考试的学生人数是7，3，2的数，732因为，2最小公倍数为42，，以参加的学生总为人．那么得的学生111有：(1)人732【答案】1111【固一次考，加学中得优得良得中其的差已参考的生满10073人那得的生多人【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】解答11【解析由意参加的学生中有得优，得良，得”可知参加考试的学生人数是7，4，3的数，7因为74，3的小公倍数为小于人)，所以参加的学生总数为人．那么得差的学生有：2823．【答案】23【】3条形道圆都操中旗处甲乙丙人别里、圈外沿样方向1跑开时人都在杆正方，里跑长千，中跑长千，外跑长千8米甲小跑3千米乙小跑4千米丙小跑5千米他们同出，小后，3人第次时到发?【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】解答11113【解析甲完一圈需小时，乙跑一圈需小，丙跑一圈需小，他们时5164013回到出发点时都跑了整数圈，所以经历的时间为，，的数，即为它们的公倍数．1,所以，6小后，3人一次同时回到出发.1640【答案】6时【】两个然，b的最公数于50，a多种能数?【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】填空【关键词】华杯赛，团体决赛，口试题，第4，10分【解析】因为50=2×，，是50的数，它们只能取1，2，，，50。不妨设，当取a时，＝1，25，10，50当取＝25时＝2，所以，a＋有8种能不同数值。两个自然数，b的小公倍数等于50，当b时a＋取同数值可列表如下：

a+b515210027

共有8种值【答案】8【】已知ab,是三自数且a与的最小倍是，a与c的小倍是。求与2323323233最公数【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】填空【关键词】华杯赛，决赛10分第二大题，第题【解析】如果b不

2

的倍数，因为

，a一是

2

的数。由此可知

2

的数，但是

不是

2

的数。所以是

2

的数。同理可得是3

的倍数，所以

整除。因为

所60是倍数是的数以bc的小公倍数

是因

，所以

＝540，

＝当a，b＝60时

，

；当a，b＝12时，

；【答案】或108【】甲、乙数最公数，丙数最公数105，甲丙数的小倍是，那甲是少【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】解答【解析对分解质因数:90

因为126是的倍数，又126不的倍数，所以甲中不含因数．如果乙也不含因数，么甲、乙的最小公倍数也不含因数，但90是的倍数，所乙含有因数5因为105不2的数，所以乙也不是2的倍数，即乙中不含因数，于是甲必含有数2因为105不9的数，所以乙也不是的数，即最多含有1个因数．由于甲、乙两数的最小公倍数是90中含有因数，所以甲必含有个数3那么甲2．总结：两个数的最小公倍数含有两数的所有质因子，并且这些质因数的个数为两数中此质因数个数的最大值．如b，则A、B的小公倍数含有质因子，3，5，11，并且它们的个数为a、中有质因子多的那个数的个.即依次含有个3个2个，1个1个，故[a,b]

3

2

【答案】18【】a>>是3个整数ab的最公数是15,的最公数；b的小倍是b的小倍是那是多少【考点】公倍数与最小公倍数综合【度3星【型】解答【解析由(a,)=75=3×5

2

,[ab]=450=

2

×2×5

2

又

﹥b

所以或75150[bc5×7.当

75

时有

,c，因为两个数的最大公约数与b,c7c,