44A 知识讲解椭圆的性质

椭圆的性质【学习目标】...【要点梳理】要点一、椭圆的简单几何性质x我们根据椭圆a

yb2

1(ab0)来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.椭圆的对称性x2 y2对于椭圆标准方程a2 b2

1，把x换成―x，或把y换成―y，或把xyx2 y2不变，所以椭圆a2 b2

1x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。x2 y2②椭圆a2 b2

1（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A

1（―，0，12 1 A（，0B（0―b，B0，2 1 AA，B

A|=2a，|BB|=2b。ab分别叫做椭圆的长半轴1 2 1 2长和短半轴长。

1 2 1 2椭圆的离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e

2cc。2a a②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1e越接近1，则c就越接近a，从而b a2c2越小因此椭圆越扁；反之越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。要点诠释：x2ya2 b2

1的图象中线段的几何特征（如下图：|PF| |PF|

2a2

2a， 1

2 e，|

||PM | ；1 2 |PM1

| |PM 2

1 2 cBF1

BF2

a，OF1

OF2

c，A2

BAB1

a2b2；A

AF

ac,A

AF

ac，ac

ac；11 2 2 1 2 21 1要点二、椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义bc三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。abc有关的椭圆问题常与与焦点三角形PF

有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理

PFF

112PFPF121

2sinFPF相结合的方法进行计算与解题，将有112

、PF

、F

F

(F

F

)

、PF

PF1之间的关系.

2 1 2

1 2 1

1 2 1 2 1 2标准方程标准方程a2 b2x2 y21(ab0)b2 a2x2 y21(ab0)图形焦点F(c,0)，F(c,0)12F(0,c)，F(0,c)1 2焦距|FF2c(c a2b2)1 2|FF2c(c a2b2)1 2范围|xa，|yb|xb，|ya性对称性关于x轴、y轴和原点对称质顶点(a,0)，(0,b)(0,a)，(b,0)轴2a离心c率e (0e1)ax2要点诠释：椭圆a2

y2b2

1，y2a2

x2b2

1（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和ec(0e1)，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；a椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。要点四、直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系一点x,，x2 y2若点M（x,y）在椭圆上，则有a2 b2

1(ab0)；x2 y2若点M（x,y）在椭圆内，则有a2 b2x2 y2若点M（x,y）在椭圆外，则有a2 b2

1(ab0)；1(ab0).直线与椭圆的位置关系x2将直线的方程ykxb与椭圆的方程a2

y2b2

1(ab0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.①0直线和椭圆相交或两个公共点；②Δ＝0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；③Δ＜0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．直线与椭圆的相交弦x2 y2设直线ykxb交椭圆 1(ab0)于点P(x,

) ,P(x,

),两点，则a2 b2

1 1 1

2 2 2(xx)(xx)2(yy)21 2 1 212(xx)[1(2y(xx)[1(2yy1 2)]21 2xx1 21k21 2同理可得|PP|12

|yy111k2

|(k0)这里|xx1 2

|,|yy1

|,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：(xx)24(xx)24xx1 2 121 2(yy)2(yy)24yy1 2 121 2【典型例题】类型一：椭圆的简单几何性质例1.求椭圆x2y21的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆.25 9x2 y2【解析】根据椭圆的标准方程

1，得25 9259a5,b3,c 259因此，长轴长2a10，短轴长6∴离心率ec4a5焦点为F1（―4，0）和F2（，，顶点为A1（―，A（0B1，―3B2（，3。3 3

252（―5≤x，根据y5

252（－5≤x5可求出椭圆的两个顶点及其在第一象限内一些点的坐标，，列表如下：x012345y32.942.752.41.80先描点画出第一象限的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆（如图2-2-。【总结升华】由已知方程可确定椭圆在四条直线x=5y=3对称轴，原点为对称中心，所以只需画出椭圆在第一象限的图形，就可画出椭圆。举一反三：1

x2 y2 1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距= .2516【答案】7【高清课堂：椭圆的性质例1】【变式2】求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.2a8，离心率个顶点是A(0,4),B(0,4)1 2 1 2

3，焦点F3,0)F5 1

(3,0)，椭圆的四2.是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos

2，求椭圆的方程。3

2，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，3c2OAOA2 OF2b2 c2所以c=2，b2=32－22=5，x2 y2故椭圆的方程为

a3， ，331或x2 y2 1。9 5 5 9【总结升华】灵活运用椭圆的几何性质：①a2=b2+c2；②长轴长2a，短轴长2b，进行求参数的值或求椭圆的方程.2举一反三：2121】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F,12

在x轴上，离心率为2 ．过F的直线lC于A，B两点，且

的周长为16，那么C的方程 1 2x2y21【答案】16 8 。3【变式2】长轴长等于20，离心率等于5，求椭圆的标准方程。【答案】

x2 y21或y2x21100 64 100 64类型二：求椭圆的离心率或离心率的取值范围2例3.（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为3∶2

的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。【解析】（1）由题意得(ac) 2，32即1e ，32即1e解得e5

6。6ac10 （2）由题意得 a c 4a7 c 3解得c 3

，故离心率e 。a 7【总结升华】椭圆的离心率是椭圆几何性质的一个重要参数，求椭圆离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式。举一反三：【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）3A.1 35 133 23【答案】Dx2 y2【变式2】椭圆a2 b2

1上一点到两焦点的距离分别为d、d1 2

，焦距为2c，若d、d1 2

成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿1【答案】2例4.（2015 江西二模椭圆x2a2

y 1(ab0)的两顶点为2b22

),且左焦点为F，FAB1 5511 3是以角1 5511 3331

4【答案】C【思路点拨】先求出F的坐标，然后求出直线AB和BF的斜率，由两直线垂直可知两斜率相乘得-1，进而求得a和c的关系式，进而求得e.【解析】依题意可知点F（-c,0）,b0直线AB斜率为

b

BF

0b b0a a c0 cQFBA900，(b)b

b2

a2c2

1a c ac acc c整理得c2aca2

0,即( )2a

10,即e2e10a51解得51Q0e

或e551e

152 ，故选C5【总结升华】本题利用了椭圆的性质、两直线垂直斜率之积等于-1等知识。要特别注意的是椭圆的离心率小于1.举一反三：正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。3【答案】 13x2

y21(ab0)，F，F

是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使F

，a2 b2 1 2

1 2 3求其离心率e的取值范围。【解析】△F

中，已知FPF

2，|FF

|=2c，|PF

|+|PF

|=2a，1 2 1 2 3 12 1 2又|PF1|+|PF2|=2a ②4c2=4a2-|PF

|，∴|PF

||

|4a24c21 2 1 22a|PF1

||PF2

)2a24a24c2a23a24c20233c e133a 2 2【总结升华】求离心率或离心率的范围，通常构造关于abc的齐次式，从而构造出关于e.举一反三：【变式1】(2015 福建已知椭圆E

x2a2

y21(ab0)的右焦点为F．短轴的一个端点为M，直线b24l3x4y0交椭圆EM到直线l的距离不小于，则椭圆E5的取值范围是（ ）A．3] B．

3] C．[

31) ．[31)，2 4 2 4【答案】A【解析】设左焦点F，连接AFBFAF|AF|＝|BF||AF|+|AF|＝31 1 1 1 134b4＝2a，所以a=2，设M(0，b)，则

4，故b≥1，从而a2-c2≥1，0＜c2≤3，0＜c≤

，所以椭圆E5 5的离心率的取值范围是3A．22

x2y2

b0)，以abcx的方程ax2bxc0无实a2 b2根，求其离心率e的取值范围。【答案】由已知，b24ac0，所以(a2c2)4ac0，即c24aca20，不等式两边同除a2可得e24e10，5解不等式得e5

2或e

2.5由椭圆的离心率e(0,1)，55所以所求椭圆离心率e(5

2,1).类型三：直线与椭圆的位置关系x2例6.对不同实数讨论直线yxm与椭圆 y21的公共点的个.4yxm, (1)xx24

y2

1(2)x2将(1)代入得 (xm)21,x24整理得5x28mx4m240（）由8m)245(4m24)16(