《名校推荐》高中物理选修3-1导学案1.9带电粒子在匀强磁场中的运动（教师版）

带电粒子在匀强磁场中的运动关键1．圆心的确定方法：两线定一点(1)圆心一定在垂直于速度的直线上．如图甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心．(2)圆心一定在弦的中垂线上．如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心．关键2．半径的确定半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要做好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．关键3．粒子在磁场中运动时间的确定(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝eq\f(α,360°)T(或t＝eq\f(α,2π)T)．(2)当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(l,v)，l为带电粒子通过的弧长．粒子进入磁场的方向不同，或磁场区域的边界不同，造成它在磁场中运动的圆弧轨迹不同，常见的有以下几种情况点评：解决这一类问题时，找到粒子在磁场中一段圆弧运动对应的圆心位置、半径大小以及与半径相关的几何关系是解题的关键。其中将进入磁场时粒子受洛伦兹力和射出磁场时受洛伦兹力作用线延长，交点就是圆弧运动的圆心典型问题一、带电粒子在磁场中运动的基本问题例1带电荷量为q的电荷，从静止开始经过电压为U的电场加速后，垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，其轨道半径为R，则电荷的()A．动能为qUB．动能为qRBC．运动速率为eq\f(2U,BR)D．质量为eq\f(B2R2q,2U)二、对质谱仪和回旋加速器原理的理解例2如图5是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是()A．质谱仪是分析同位素的重要工具B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于eq\f(E,B)D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小例3回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的狭缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax.求：(1)粒子在盒内做何种运动；(2)所加交变电流频率及粒子角速度；(3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能．三、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题例4如图6所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．巩固训练()1.(带电粒子在磁场中运动的基本问题)如图7所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将A．沿路径a运动，轨迹是圆B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小()2．(对回旋加速器原理的理解)在回旋加速器中A．电场用来加速带电粒子，磁场则使带电粒子回旋B．电场和磁场同时用来加速带电粒子C．磁场相同的条件下，回旋加速器的半径越大，则带电粒子获得的动能越大D．同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关，而与交流电压的频率无关3.(带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题)如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，求t1∶t2(重力不计)4.如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力），从A点以速度v0垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出，∠AOB=120°，求该带电粒子在磁场中运动的时间。5如图所示，在xOy平面上，a点坐标为（0，l），平面内一边界通过a点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为m，电量为e)从a点以初速度v0平行x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在x轴上的b点（未标出）射出磁场区域，此时速度方向与x轴正方向夹角为60°，求：（1）磁场的磁感应强度；（2）磁场区域圆心O1的坐标；（3）电子在磁场中运动的时间.带电粒子在匀强磁场中的运动关键1．圆心的确定方法：两线定一点(1)圆心一定在垂直于速度的直线上．如图甲所示，已知入射点P(或出射点M)的速度方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心．(2)圆心一定在弦的中垂线上．如图乙所示，作P、M连线的中垂线，与其中一个速度的垂线的交点为圆心．关键2．半径的确定半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要做好辅助线，由圆的半径和其他几何边构成直角三角形．关键3．粒子在磁场中运动时间的确定(1)粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间t＝eq\f(α,360°)T(或t＝eq\f(α,2π)T)．(2)当v一定时，粒子在磁场中运动的时间t＝eq\f(l,v)，l为带电粒子通过的弧长．典型问题一、带电粒子在磁场中运动的基本问题例1带电荷量为q的电荷，从静止开始经过电压为U的电场加速后，垂直射入磁感应强度为B的匀强磁场中，其轨道半径为R，则电荷的()A．动能为qUB．动能为qRBC．运动速率为eq\f(2U,BR)D．质量为eq\f(B2R2q,2U)解析电荷在电场中被加速，设加速后电荷的动能为Ek，由动能定理得：Ek－0＝qU，所以Ek＝qU，选项A正确；设电荷的质量为m、速率为v，电荷做圆周运动的半径R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(\f(1,2)mv2,\f(1,2)qBv)＝eq\f(2qU,qBv)＝eq\f(2U,Bv)，所以v＝eq\f(2U,BR)，选项C正确；将v＝eq\f(2U,BR)代入R＝eq\f(mv,qB)整理得m＝eq\f(B2R2q,2U)，选项D正确．答案ACD方法点拨本例题中，电荷的质量和速率均为未知量，利用加速电场可求得电荷的动能，电荷轨迹半径公式中同时含有速度和质量两个未知量，结合动能表达式的形式，适当进行变换，消除一个未知量，求得另一个未知量．二、对质谱仪和回旋加速器原理的理解例2如图5是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场的磁感应强度和匀强电场的场强分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．下列表述正确的是()A．质谱仪是分析同位素的重要工具B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于eq\f(E,B)D．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小解析根据Bqv＝Eq，得v＝eq\f(E,B)，C正确；在磁场中，B0qv＝meq\f(v2,r)，得eq\f(q,m)＝eq\f(v,B0r)，半径r越小，比荷越大，D错误；同位素的电荷数一样，质量数不同，在速度选择器中电场力向右，洛伦兹力必须向左，根据左手定则，可判断磁场方向垂直纸面向外，A、B正确．答案ABC例3回旋加速器是用来加速一群带电粒子使它们获得很大动能的仪器，其核心部分是两个D形金属扁盒，两盒分别和一高频交流电源两极相接，以便在盒内的狭缝中形成匀强电场，使粒子每次穿过狭缝时都得到加速，两盒放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于盒底面，粒子源置于盒的圆心附近，若粒子源射出的粒子电荷量为q，质量为m，粒子最大回旋半径为Rmax.求：(1)粒子在盒内做何种运动；(2)所加交变电流频率及粒子角速度；(3)粒子离开加速器时的最大速度及最大动能．解析(1)带电粒子在盒内做匀速圆周运动，每次加速之后半径变大．(2)粒子在电场中运动时间极短，因此高频交变电流频率要等于粒子回旋频率，因为T＝eq\f(2πm,qB)，回旋频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(qB,2πm)，角速度ω＝2πf＝eq\f(qB,m).(3)由牛顿第二定律知eq\f(mv\o\al(2,max),Rmax)＝qBvmax则Rmax＝eq\f(mvmax,qB)，vmax＝eq\f(qBRmax,m)最大动能Ekmax＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,max)＝eq\f(q2B2R\o\al(2,max),2m)答案(1)匀速圆周运动(2)eq\f(qB,2πm)eq\f(qB,m)(3)eq\f(qBRmax,m)eq\f(q2B2R\o\al(2,max),2m)方法点拨回旋加速器中粒子每旋转一周被加速两次，粒子射出时的最大速度(动能)由磁感应强度和D形盒的半径决定，与加速电压无关．三、带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题例4如图6所示，一束电荷量为e的电子以垂直于磁感应强度B并垂直于磁场边界的速度v射入宽度为d的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向和原来射入方向的夹角为θ＝60°，求电子的质量和穿越磁场的时间．图6解析过M、N作入射方向和出射方向的垂线，两垂线交于O点，O点即电子在磁场中做匀速圆周运动的圆心，连接ON，过N做OM的垂线，垂足为P，如图所示．由直角三角形OPN知，电子运动的半径为r＝eq\f(d,sin60°)＝eq\f(2\r(3),3)d①由牛顿第二定律知qvB＝meq\f(v2,r)②联立①②式解得m＝eq\f(2\r(3)dBe,3v)电子在无界磁场中运动的周期为T＝eq\f(2π,eB)·eq\f(2\r(3)dBe,3v)＝eq\f(4\r(3)πd,3v)电子在磁场中的轨迹对应的圆心角为θ＝60°，故电子在磁场中的运动时间为t＝eq\f(1,6)T＝eq\f(1,6)×eq\f(4\r(3)πd,3v)＝eq\f(2\r(3)πd,9v)答案eq\f(2\r(3)dBe,3v)eq\f(2\r(3)πd,9v)方法点拨分析本题的关键是确定电子做匀速圆周运动的圆心，作辅助线，利用几何关系求解．1.(带电粒子在磁场中运动的基本问题)如图7所示，水平导线中有电流I通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I的方向相同，则电子将()图7A．沿路径a运动，轨迹是圆B．沿路径a运动，轨迹半径越来越大C．沿路径a运动，轨迹半径越来越小D．沿路径b运动，轨迹半径越来越小答案B解析由左手定则可判断电子运动轨迹向下弯曲．又由r＝eq\f(mv,qB)知，B减小，r越来越大，故电子的径迹是a.故选B.2．(对回旋加速器原理的理解)在回旋加速器中()A．电场用来加速带电粒子，磁场则使带电粒子回旋B．电场和磁场同时用来加速带电粒子C．磁场相同的条件下，回旋加速器的半径越大，则带电粒子获得的动能越大D．同一带电粒子获得的最大动能只与交流电压的大小有关，而与交流电压的频率无关答案AC解析电场的作用是使粒子加速，磁场的作用是使粒子回旋，故A选项正确，B选项错误；粒子获得的动能Ek＝eq\f(qBrm2,2m)，对同一粒子，回旋加速器的半径越大，粒子获得的动能越大，与交流电压的大小无关，故C选项正确，D选项错误．3.(带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题)如图8所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场．其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)()图8A．1∶3B．4∶3C．1∶1D．3答案D解析如图所示，可求出从a点射出的粒子对应的圆心角为90°.从b点射出的粒子对应的圆心角为60°.由t＝eq\f(α,2π)T，可得：t1∶t2＝3∶2，故选D.解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，从a点射入从b点射出，O、a、b均在圆形磁场区域的边界，粒子运动轨道圆心为O2，令由题意可知，∠aO2b=60°，且△aO2b为正三角形在△OO2b中，R2=（R-l）2+(Rsin60°)2①而R=②由①②得R=2l所以B=而粒子在磁场中飞行时间t=由于∠aOb=90°又∠aOb为磁场图形区域的圆周角所以ab即为磁场区域直径O1