计算数学课件 第四章 数值积分与微分

第四章数值积分与数值微分1

微积分是大学中一门重要的基础课，微积分运算是实际工作和学习中应用最为广泛和基本的工具，也是科学计算中最重要的组成部分。有许多定积分是无法解析求解的，因为大量的被积函数的原函数无法用初等函数表示。因此只能用数值积分来近似计算相应的定积分。 4.1引言2数值积分与数值微分数值积分数值微分牛顿-柯特斯公式：具体公式、余项复化求积公式龙贝格求积公式与理查德森外推加速法高斯求积公式：基本理论、高斯勒让德公式、高斯切比雪夫公式基本概念：数值求积的基本思想、代数精确度收敛性与稳定性分析中点方法与误差分析插值型求导公式插值型求导公式利用数值积分求导三次样条求导理查德森外推求导3对于定积分只要找到被积函数的原函数，便可应用牛顿莱布尼兹公式要求被积函数:☞有解析表达式；☞

的原函数为初等函数．45并不复杂,但它的原函数却十分复杂:

有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限形式,但表达式相当复杂,计算极不方便，例如函数6x12345f(x)44.5688.5

这些都说明,通过原函数来计算积分有它的局限性，因而，研究关于积分的数值方法具有很重要的实际意义。7还有一类函数没有解析表达式，只有数表形式:主要思想：

用简单而易于求积分的函数，例如多项式，来近似原被积函数，然后对近似函数进行求积分，最后得到的求积公式是通过在有限个节点上的函数值的带权和作为近似的积分。由于选取节点的方式不同，就会产生出不同的数值积分公式。84.1.1数值求积的基本思想对于积分：它的几何意义：是由所围成的曲边梯形的面积。0yxab积分计算之所以有困难，就是因为这个曲边梯形有一条边是曲的.9积分中值定理告诉我们，如果函数在上连续，则在积分区间内存在一点，成立由于的位置一般是未知的，因而难以准确的计算出,如果能够提供一种求的算法，相应的便得到一种数值求积方法。0xyab称f(ξ)为区间[a,b]的平均高度10如果用两端点“高度”与的算术平均值作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式，就称为梯形公式0xyab11

如果改用区间中点的“高度”近似的取代平均高度,则又可导出中矩形公式0xabyc12

一般地，可以在区间上适当选取某些节点，然后用的加权平均得到平均高度的近似值，这样就构造出具有下列形式的求积公式求积节点求积系数（权），仅与节点的选取有关，不依赖于被积函数的具体形式。13

这类的数值积分方法通常称为机械求积，特点就是将积分求值问题归结为函数值的计算，从而避开了需要寻求原函数的困难了。构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有：14确定求积系数和求积节点；求积公式的误差估计和收敛性分析。4.1.2代数精度的概念

为了保证数值求积公式的精度,我们自然希望求积公式能够对尽可能多的函数都准确成立,这在数学上常用代数精度这一概念来说明。定义1.如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度。15根据定义，不难验证出梯形公式和中矩形公式都具有一次代数精度。16一般地，要使求积公式具有m次代数精度，只要令它对于，求积公式都能准确成立，也即：17(1.4)式包含n+1个节点和n+1个待定的求积系数，若事先选定节点，并取m=n,求解方程组(1.4)，即可确定求积系数，从而使求积公式(1.3)至少具有n次代数精度。由此可知，构造数值求积公式，实际上则是求与的代数问题了。1819例题：

4.1.3插值型的求积公式设给定一组节点且已知函数在这些节点上的值，作插值函数（取拉格朗日插值多项式），由于代数多项式的原函数是容易求得的，我们取作为积分的近似值，这样就构造出插值型求积公式20式中求积系数通过对插值基函数积分求出21根据拉格朗日插值余项定理可知，对于插值型的求积公式(1.5)，其余项我们可以给出式中与变量有关，22如果求积公式(1.5)是插值型的，从余项我们可以看出，对于次数不超过n的多项式，其余项等于零，因而此时求积公式至少具有n次代数精度。反之，如果求积公式(1.5)至少具有n次代数精度，那它必定是插值型的求积公式。定理1:形如(1.5)式的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。234.1.4求积公式的余项

若求积公式(1.3)的代数精度为m，则由求积公式余项(1.7)可以证明余项形如：其中为不依赖于的待定参数，。24当时，254.1.5求积公式的收敛性和稳定性定义2：在求积公式(1.3)中，若式中，则称求积公式(1.3)是收敛的。定义3：对任给，若，只要，就成立则称求积公式（1.3）是稳定的。26定理2若求积公式(1.3)中系数，则求积公式是稳定的。定理2表明，只要求积系数，就能保证计算的稳定性。27284.2牛顿—柯特斯公式4.2.1柯特斯系数设将积分区间划分为n等分，步长，选取等距节点，构造出的插值型求积公式称为牛顿—柯特斯公式，式中称为柯特斯系数29作变换,则有当n=1的时候，有代入(2.1)式，得到这个数值积分公式就是梯形公式。30当n=2的时候，有这时有这个数值积分公式就叫辛普森公式31当n=4的时候，牛顿-柯特斯公式就称为柯特斯公式：此时3233柯特斯系数表4.2.2偶阶求积公式的代数精度

由于牛顿-柯特斯公式是插值型的求积公式，所以n阶的牛顿-柯特斯公式至少具有n次的代数精度。易验证，辛普森公式，也即2阶的牛顿-柯特斯公式，其代数精度为3次。34柯特斯公式，也即4阶的牛顿-柯特斯公式，其代数精度为5次。其中定理3：当阶n为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有n+1次的代数精度；当n为奇数时，牛顿-柯特斯公式至少具有n次代数精度。354.2.3几种低阶求积公式的余项余项定义：若求积公式是插值型的，则余项：36梯形公式的余项：利用积分中值定理：在内存在一点，使37辛普森公式余项：，代数精度为3次的，其积分余项为柯特斯公式的积分余项为：38例:用1,2,4阶的牛顿-柯特斯公式计算积分n=1，梯形公式：39实际误差：40n=2，辛普森公式：实际误差：n=4，柯斯特公式：41实际误差：4.3复化求积公式

数值积分公式与多项式插值有很大的关系.因此Runge现象的存在,使得我们不能用太多的积分点计算.采用与插值类似的方法:分段、低阶的方法.42方法：将积分区间分成几个子区间,在每个子区间上用低阶的Newton-Cotes公式如梯形公式,或辛普森公式,或柯特斯公式,然后累加求和作为所求积分的近似值.于是就得到了复化梯形公式,复化辛普森公式,复化柯特斯公式.43将区间进行n等分，步长，分点复化求积法：就是先用低阶求积公式求出每个子区间上的积分值，用作为所求积分的近似值。444.3.1复化梯形公式在每个子区间上采用梯形公式，则得到：其中式（3.2）就称为复化梯形公式。4546复化梯形公式的积分余项：由于474.3.2复化辛普森求积公式在每个子区间上采用辛普森公式，则得到：记其中式（3.5）就称为复化辛普森求积公式。4849与复化梯形公式相似，当时，有从复化梯形公式和复化辛普森公式的余项，阶数分别是和，可以看出它们都是收敛的，而且它们的求积系数均为正数，根据定理2，得知，它们的计算都是稳定的。50例：计算其中=3.138988494其中=3.141592502运算量基本相同51例：计算积分要求误差保证有五位有效数字。若用复化梯形公式计算，需将积分区间多少等分?若用复化辛普森公式计算，又需将积分区间多少等分?解：52由复化梯形误差公式得由复化辛普森误差公式得53鉴赏复化求积法:复化的梯形法，复化辛普森法和复化柯特斯法均收敛到所求的积分值，改善了求积精度，算法简单。但是计算的工作量主要耗费在函数求值上，是通过加大计算量来提高精度的，而且收敛缓慢。544.4龙贝格求积公式4.4.1梯形法的递推法

利用复化梯形公式求数值积分，算法简单，但精度较差，收敛速度慢，同样在其他复化求积公式中，如果用大量的子区间，则该逼近会有很高的精度，但如何预先确定子区间的数目呢？55问题：步长取得太大，则精度难以保证，太小则计算量会太大，且步长一旦取定后，则在计算过程中步长是固定的，现在希望采用变步长的计算方案，即在步长逐次减半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到相邻两次的计算结果之差的绝对值小于允许误差为止。这实际上是一种事后估计误差的方法。56对于复化梯形公式，将区间等分为n等分，积分近似值记为，57若精度不够，则在每个子区间等分为两个小区间，在所得的2n个区间用复化梯形公式求出：584.4.2理查德森外推加速法定理4设，则有其中系数与无关。这里59令得到：如此继续下去，每加速一次，误差的量级便提高2阶60记，则有经过m次加速后，余项便可取下列形式：上述所描述的这种加速法就称为理查德森外推加速法。614.4.3龙贝格算法复化梯形公式的余项表达式：假定，则有事后估计法62令容易验证得到：也就是说，用梯形公式二分前后的两个积分值与按照公式(4.8)线性组合，其结果正好是用复化辛普森公式得到的积分值。63对于复化辛普森公式，其余项表达式：假定则有容易验证得到：64龙贝格公式龙贝格公式是一种加速计算积分的方法。在变步长的求积过程中，运用(4.9)、(4.10)、(4.11)式可以将精度低的梯形值逐步加工成精度较高的辛普森值，柯特斯值与龙贝格值。6566继续重复计算，直到计算出(要求的精度)停止计算，就是所要求的积分近似值。67龙贝格求积算法：02341梯形公式68例：用龙贝格求积法计算积分的近似值，要求准确到小数点后第5位。6970717273机械求积公式：代数精度：通过确定求积节点和求积系数，使得求积公式对尽可能多的满足：74梯形公式：余项：75辛普森公式：n=2余项：牛顿-柯特斯公式：76柯特斯求积公式：n=4余项：77复化梯形公式：余项：78复化辛普森公式：余项：79梯形公式的递推化：80龙贝格求积公式：81龙贝格求积算法：02341梯形公式824.5高斯求积公式形如（1.3）的机械求积公式含有2n+2个待定参数，当为等距节点时得到的插值型求积公式其代数精度至少为n次，如果适当选取节点，有可能使求积公式具有2n+1次的代数精度，这类求积公式称为高斯求积公式。4.5.1一般理论83研究带权积分：这里为权函数，为不依赖于的求积系数，为求积结点，可适当选取及,使（5.1）式具有2n+1次代数精度。84定义4如果求积公式（5.1）具有2n+1次代数精度，则称节点为高斯点，相应公式（5.1）称为高斯求积公式。若（5.1）是具有2n+1次代数精度，取，对都精确成立下式85下面讨论如何选取节点才能使求积公式（5.1）具有2n+1次代数精度设上的n+1个节点。

的拉格朗日插值多项式为则有86用乘上式并从到积分，则得其中余项87显然当取为时有，于是有即求积公式（5.1）至少具有n次代数精度。88正交的定义：若上的权函数且满足则称与在上带权正交。89现在考察如何选取节点使得求积公式精确度提高到2n+1次，此时就要求对为2n+1次多项式时这就要求，积分相当于要求与每个带权在上正交。90定理5：插值型求积公式（5.1）的节点是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式与任何次数不超过n的多项式带权正交，即91高斯求积公式的余项：求积系数：92定理6：高斯求积公式（5.1）的求积系数从而说明高斯求积公式是稳定的。定理7设，则高斯求积公式（5.1）是收敛的，即93当区间为，权函数时，由正交化得到的多项式称为勒让德多项式。勒让德多项式4.5.2高斯-勒让德求积公式94在求积公式（5.1）中，若取权函数，区间为则得到公式勒让德多项式的零点就是求积公式（5.6）的高斯点。形如(5.6)式的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式95（1）取的零点做节点构造求积公式令它对准确成立，即可定出。（2）取的两个零点构造求积公式求得，因此求积公式为96类似的求法，我们可以求得三点高斯-勒让德公式高斯-勒让德求积公式的余项：97高斯-勒让德求积公式的求积系数：4.5.3高斯-切比雪夫求积公式当区间为，权函数时，由正交化得到的多项式称为切比雪夫多项式。切比雪夫多项式若令则98若且取权函数则所建立的高斯公式称为高斯-切比雪夫求积公式。因而上述求积公式的高斯点是n+1次切比雪夫多项式的零点，即99通过计算得到（5.8）式的系数于是高斯-切比雪夫求积公式写成高斯-切比雪夫求积公式的余项：利用带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分。1001011021034.6多重积分考虑二重积分：它是曲面与平面区域围成的体积，矩形区域：104分别将区间分为等份，步长先对积分应用复合求积公式，例如用复合辛普森公式105从而得到：对每个积分再分别用复合辛普森公式，最后求得积分值。1064.7数值微分

在微分学中，函数的导数是通过导数定义或求导法则求得的，当函数是表格形式给出时，就不能用上述方法求导数了，因此有必要研究用数值方法求函数的导数。下面介绍几种求数值微商的方法。1074.7.1中点方法与误差分析由高等数学可知，若函数在处的导数存在，则有108当精度要求不高时，可以使用差商近似代替导数值：其中h为一增量，称为步长。称（7.1）式为中点公式。令109110

上述三种导数的近似值分别表示弦AB、AC与BC的斜率,比较切线AT(其斜率等于)与三条弦平行的程度,从图形上可以明显地看出,弦BC与切线AT的斜率最为接近,因此就精度而言,中点方法最为可取。实际上,从三种方法的截断误差也可得出此结论。111分别将在处泰勒展开112代入中点公式（7.1）中，得其中113

用中点公式计算导数的近似值，必须选取合适的步长。因为，从中点公式的截断误差看，步长越小，计算结果就越准确，但从舍入误差