复合材料结构及其力学

复合材料结构及其力学第1页/共63页主要内容1-2：复合材料发展和应用3-4：基础知识，组分及复合材料的力学行为5-6：简单层板宏观力学性能-1（各向异性材料的应力-应变关系，正交各向异性材料的工程常数；正交各向异性材料平面应力问题的应力-应变关系）7-8：简单层板的宏观力学性能-2（简单层板在任意方向上的应力应变关系，正交各向异性简单层板的不变量性质）第2页/共63页主要内容9-10：简单层板的宏观力学性能-3（正交各向异性简单层板的强度问题及二向强度理论）11-12：简单层板的微观力学性能-1（刚度的材料力学分析方法）13-14：简单层板的微观力学性能-2（刚度的弹性力学分析方法）15-16：简单层板的微观力学性能-3（强度的材料力学分析方法）第3页/共63页主要内容17-18：层合板的宏观力学性能-1（经典层合理论、层合板刚度的特殊情况）19-20：层合板的宏观力学性能-2（层合板刚度的理论和实验的比较、层合板强度）21-22：层合板的宏观力学性能-3（层间应力、层合板刚度的不变量及其在设计中的应用）23-24：层合板的弯曲、振动与屈曲行为分析第4页/共63页本节内容简单层板的宏观力学性能简单层板的微观力学性能简单层板的应力-应变关系简单层板的强度问题刚度的弹性力学分析方法刚度的材料力学分析方法强度的材料力学分析方法简单层板的力学性能第5页/共63页本节内容经典层合理论层合板的强度问题层合板的应力应变关系刚度的特殊情况层间应力强度分析方法层合板设计层合板的宏观力学性能层合板弯曲振动与屈曲第6页/共63页层合平板的弯曲、屈曲与振动层合平板是复合材料层合板最简单和最广泛使用的一种形式学习的目的是分析各种耦合刚度（Bij、A16、A26、D16、D26）对层合平板弯曲、屈曲和振动性能的影响，这是纤维增强复合材料力学课程的主要部分，不包括层合板理论的全部研究内容，而是研究层合平板的某些很重要结果，用以评价刚度的物理意义从层合平板的基本理论—列出层合平板的弯曲、屈曲和振动的基本微分方程和边界条件以及可能的解法—特定例子的性能（特殊材料的简支矩形板）第7页/共63页层合平板的弯曲、屈曲与振动层合平板的尺寸作用于层合平板的力和力矩第8页/共63页弯曲、屈曲与振动的基本方程基本限制和假设限制是理论应用的限定，是明显的满足或不满足，什么理论适用于什么问题假设是对理论不精确性的限定（一些我们不清楚或者可以忽略的）限制和假设的区别在于限制只涉及已知量，而假设包含了未知量（我们要推测的未知量）第9页/共63页弯曲、屈曲与振动的基本方程基本限制薄板（t<1/5aorb）、小变形（w<1/4t）,无面内张力每层单层板是正交各向异性的，但材料主方向不一定与层合板坐标轴一致，材料是线弹性的，且每一层及层合板是等厚度的板的厚度与其长度和宽度相比很小，即为薄板不考虑体积力第10页/共63页弯曲、屈曲与振动的基本方程基本假设：与层合板理论依据的假设相同，对于薄层合板有下列基本假设：作用在xy平面（板平面）内的应力支配板的性能，假设z、xz、yz为零，即近似为平面应力状态，只考虑x、y、xy

。忽略横向剪应变xz、yz,Kirchhoff假设（直法线），横向剪应变近似为零，即固有的中面法线不变形。这与z=0矛盾，但通常忽略不计，x、y、xy以及u，v是z的线性函数位移u，v和w与板厚相比较很小，应变x、y、xy与1相比很小（小挠度理论），且略去转动惯量第11页/共63页如果忽略了横向剪应变或假设为零，那么根据应力-应变关系，整个板的横向剪应力也为零；另一方面，即使是对横向剪应变不做假设，我们知道如果没有剪切载荷，在板的上下表面的横向剪应力为零，在经典层合理论中，通常把横向剪应变视为零，横向剪应力由平衡方程来计算根据克希霍夫假设，留下x、y、xy以及u，v是z的线性函数，此外，应力也是相应横坐标z的线性不连续函数由于放宽了薄板的限制，平面应力假设z、xz、yz与面内应力相比很小，引起起的变形可以忽略不计，但在维持应力平衡是必需的，不能忽略弯曲、屈曲与振动的基本方程第12页/共63页层合平板的弯曲作用于层合平板的力和力矩弯曲问题是指在横向载荷q（x，y）作用下求解层合板的挠度、变形和应力第13页/共63页层合平板的弯曲层合板厚度方向的合力与合力矩第14页/共63页层合平板的弯曲从层合板中取一微元（dx，dy，t），其上作用合力和合力矩第15页/共63页层合平板的弯曲平衡方程为绕y轴力矩平衡绕x轴力矩平衡第16页/共63页层合平板的弯曲第17页/共63页层合平板的弯曲得到用u0、v0、w表示的平衡方程，为书写简单，将的下标0略去，用“，”表示对下标的微分，可得三个方程，三个未知数u，v，w第18页/共63页层合平板的弯曲引进算子含有Bij，反映拉伸-弯曲耦合效应第19页/共63页层合平板的弯曲平衡方程可以简化成第20页/共63页层合平板的弯曲当层合板对称于中面时，Bij=0，第三个方程只包含w项，与第一、二方程独立第21页/共63页层合平板的弯曲u,v与w的方程相互独立，可分别求解第22页/共63页层合平板的弯曲-挠度方程对称情况下，与均匀各向异性板的方程一致，只是计算Dij时不同如果是正交各向异性层合板，D16=D26=0与均匀正交各向异性板的方程一致，如果是各层均为各向同性材料，但每层不一定相同，D16=D26=0，D11=D22=D12+2D66=D，平衡方程与各向同性板完全一样第23页/共63页层合平板的弯曲-挠度方程非对称层合板的一般情况，需要联合求解平面问题和弯曲问题。相应地，在边界条件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，对于四阶微分方程，每边需要有4个边界条件简支边界条件（用S表示）第24页/共63页层合平板的弯曲-挠度方程非对称层合板的一般情况，需要联合求解平面问题和弯曲问题。相应地，在边界条件中也要同时规定平面边界条件和弯曲边界条件，对于四阶微分方程，每边需要有4个边界条件固支边界条件（用c表示）第25页/共63页层合平板的弯曲-挠度方程考虑一四边简支并承受分布横向载荷q(x,y)作用的矩形层合板可用双三角级数解，将横向载荷q(x,y)展开为第26页/共63页层合平板的弯曲-挠度方程一般来说m,n为任意正整数，qmn可由下式求出对于均布载荷q（x，y）=q0第27页/共63页特殊正交各向异性层合板板的挠度w只由一平衡微分方程描述简支边界条件：满足简支边界条件假设第28页/共63页特殊正交各向异性层合板对于均布载荷

精确解第29页/共63页对称角铺设层合板假设边界条件为不为零由于D16、D26的存在，挠度w的表达式不能用双三角级数展开，否则w，xxxy和w，xyyy将出现正弦和余弦奇次函数，变量不能分离，此外挠度展开式也不满足边界条件，因此可以用近似解法——瑞利-里茨法（Rayleigh-Ritz）第30页/共63页对称角铺设层合板

应变能外力所做的功为层合板总势能为第31页/共63页对称角铺设层合板仍选取表达式它满足位移边界条件，即但仍不满足力的边界条件，即这时可用最小势能原理，将w的表达式代入总势能表达式，由最小势能原理可知第32页/共63页对称角铺设层合板如果选取m=1，2，3…,7，n=1，2，3，…7,则由上式可得到49个线形代数方程，可解得49个未知量amn对于受均布载荷q0正方形板（a=b），当得到层合板的最大挠度为精确解第33页/共63页对称角铺设层合板如果忽略D16和D26，即把对称角铺设近似地作为即为特殊正交各向异性层合板，则最大挠度为精确解比较以上结果可知，忽略弯曲、扭转耦合刚度后误差约为28%,所以不允许采用特殊正交各向异性层合板作为对称角铺设层合板的近似第34页/共63页反对称正交铺设层合板反对称正交铺层合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11弯曲：D11=D22，D12，D66平衡方程第35页/共63页反对称正交铺设层合板S2简支条件选取位移满足边界条件，可得精确解第36页/共63页反对称角铺设层合板不同层数反对称碳/环氧正交层合板的挠度无限多层相当于忽略了拉伸-弯曲耦合的特殊正交层合板对2层，如果忽略影响很大，3倍随层数增加，拉弯耦合对挠度影响衰减很快，与长宽比无关层数>6，可忽略耦合影响第37页/共63页对称角铺设层合板A16=A26=D16=D26=0拉弯耦合刚度B16、B26耦合影响类似第38页/共63页层合板的屈曲屈曲：失稳，特殊的失效状态，变形严重而失去使用功能，结构行为平板的屈曲是当平面内载荷（压缩、剪切）达到一定大时，以致初始平直的平衡状态不再稳定而挠曲成为曲面形状，使板产生偏离平衡状态的载荷叫屈曲载荷层合平板的屈曲是指在平面内压缩和剪切载荷作用下，当载荷增加到一定值时产生有横向挠度的另一种平衡状态，此时属于不稳定平衡状态，通常称板发生屈曲，相应于产生屈曲的载荷值称为临界载荷从理论上讲，板的屈曲形式和相应的临界载荷值有无穷多个，但实际应用只需求得其中最小的一个临界载荷值，并称为屈曲载荷第39页/共63页屈曲方程和边界条件假设屈曲以前是薄膜应力状态，不考虑拉弯耦合影响，当薄板受平面载荷时，由薄膜状态进入屈曲状态，控制屈曲的微分方程为式中表示从屈曲前的平衡状态开始的变分（力和力矩的变分、位移的变分），其中合力和合力矩的变分与应变变形的变分的关系仍用经典层合理论的力-中面应变/曲率，力矩-中面应变/曲率关系。用位移表示的屈曲方程与弯曲方程相似（除用变分符号外），但二者有本质不同，弯曲问题数学上属边界值问题，而屈曲问题属求特征值问题，其本质是求引起屈曲的最小载荷，而屈曲后的变形大小是不确定的。第40页/共63页屈曲方程和边界条件屈曲问题的边界条件仅适用于屈曲变形，因为屈曲前变形假设为薄膜状态，特征值问题的一个明显特点是所有的边界条件都是齐次的，即皆为零，这样简支边界条件为：第41页/共63页屈曲方程和边界条件固支边界条件为第42页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲考虑沿着x方向作用均匀平面力的四边简支矩形层合板，讨论特殊正交各向异性层合板情况这种层合板没有拉弯耦合、拉剪耦合和弯扭耦合第43页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲对于板屈曲载荷问题，只有一个屈曲方程来描述四边简支的边界条件为：第44页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲这个四阶微分方程和相应齐次边界条件的解与前面的弯曲问题一样，可选取双三角级数形式的解满足边界条件，这里m和n分别为x和y方向的屈曲半波数第45页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲当n=1时，上式有最小值，所以临界载荷为不同m值下的临界载荷最小值并不明显，它随不同的刚度和长宽比a/b而变化角对称铺设层合板与分析弯曲类似，可获得近似解第46页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲a/b<2.5，在x方向以一个半波屈曲，对a=b随a/b增加，在x方向屈曲成更多的半波，但临界载荷对a/b的曲线趋于平坦，接近第47页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲反对称正交铺层合板拉伸：A11=A22，A12，A66耦合：B11，B22=-B11弯曲：D11=D22，D12，D66屈曲方程联立第48页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲S2简支条件选取位移满足边界条件，可得精确解第49页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲Nx是m、n的复杂函数，研究m和n取值范围的过程，求出其最小屈曲载荷第50页/共63页在平面载荷作用下四边简支层合板的屈曲Nx0：B11=0，正方形，特殊正交各向异性第51页/共63页反对称角铺设层合板A16=A26=D16=D26=0，拉弯耦合刚度B16、B26第52页/共63页反对称角铺设层合板第53页/共63页层合平板的振动对于板的振动问题，主要是求解板的固有频率和振型，这里限于讨论自由振动与屈曲问题类似，板的固有频率理论上有无穷多个，其中最低的频率称为板的基频与屈曲问题不同的是工程应用上除基频外，有时也需要求出其他更高阶的频率值另外，往往需要了解相应于各阶频率的振型第54页/共63页振动方程和边界条件考虑到板的运动惯性力，振动方程为密度、加速度表示从平衡状态起的变分，挠度w不只是坐标x，y而且还是时间的函数。考虑到无横向载荷q，并略去Nx，Ny和Nxy平面载荷，板的自由振动方程为边界条件与屈曲相同第55页/共63页简支层合板的自由振动考虑四边简支矩形正交各向异性层合板在惯性力作用下的自由振动振动频率和振型由下列振动方程描述边界条件第56页/共63页简支层合板的自由振动选取将此问题分为时间和空间两部分，为使其满足振动控制方程和边界条件，进一步选取各频率对应于不同振型，当m=1，n=1时得到基频第57页/