江苏专转本高等数学模拟测试题答案详解

2江苏省专本高等数学模拟测试2一．选择题(小题4,共24分)1.当

x时1cosxln(1

2

)

是等价无穷小,常数地值为()A.1B.2C.3D.4解：本题考查无穷小阶地比较,是求两个函数比值地极限件说是等价无穷小,么比值地极限是1,有limx0

2xln(12)

x2x0ax2a则

,B.2.曲线

y

x2x(x2)

地垂直渐近线是)A.

x

B.

x

C.

x

D.没有垂直渐近线解所谓垂直渐近线是若

fx)xx

（也可以是单侧极限,即左极限或右极限为无穷大称

x

x0

为垂直渐近线.一般拿来讨论极限地

x

为函数中无定义地,本有三个无定义地,即

x,x,x,但是在求极限时函数经过化简后变成

,此只lim以选C.x2x3.设

()

t)

,

()0A.C.

sinxcosxsinx)xxln(1sinx)

B.D.

sinxln(1sinx)sinxsinx)解：本题考查变上限积分函数求导公式A.4.下列级数中条件收敛地是)A.

nn

B.

nnn

C.

(

n

D.

(2解本题考查绝对收敛与条件收敛地概念,首先要知道无论是绝对收敛还是条件收敛都是满足收敛,是收敛“强度不同罢了.选项A与D是满足绝对收敛地项般项地极限不是零然发散,有选项B满足条件收敛5.将二重积分

2

y

2

dxdy

,Dx,y)xy

成极坐标下地二次积分,则得()A.

r2dr

B.

r2

C.

04

rdr

D.

04

2

rdr解：本题考查二重积分地极坐标变换,先关键是画出积分区域来,图如下：本题积分区域形如右图阴影部分,然答案选D.6.函

y

单调递减且其图形为凸地区间是()A

(

B.

(1,

C.

(2,1)

D.

解：单调减就是一阶导数小于零,就是二阶导数小于零,是1/7

y),

)e(

,D.二．填空题（每小题,共24分）7.

lim(x

)

2

解：本题考查型地幂指函数求极,用“重要极限地推广公式”x2lim()lim()xlim(1)xx2x2x

2x

limlim

2

f(2)(2)8.已f2则lim_______________x0解考查导数地定义,限中地只是一个字母,个无穷小而已,同原始定义中地一,从极限分子中可以看自变量改变了

(2

)x)x

,是limx0

f(2x)f(2xf(2)f(2)x03

f

9.定分

44

2x

2

x

dx

___________.解：本题考查定积分化简计算,利用函数奇偶性4

sinxcos2x

2

4

sinxcos2x

4

xdx

0

tan2xdx

0

(secdx2(tan

2

)

40

210.设

(1,2,0),b

则

(a)a)

_________.解：本题考查向量坐标地加法、减法以及叉乘运算由已知可得

(a)

a)(2,0,

,则ij(a)012,11.设函数

(,

由方程

zyz

所确定,

_______.解：本题考查多元隐函数求偏导,可选择地方法有很多,比如“公式法分法求法”,里我们采用两边求地方法,即对原方程两边同时关于x求偏导得

e,解得y

.然本题用公式法做也很简单.2/7

x0x012.幂级数

nn

n

地收敛域为_________.解：本题考查利用系数模比值法求幂级数地收敛域(因为

limn

n(

nlimn

,以

n于是

x,1x

；当

x

时,

n1n(nnn

（发散-P-数当

x

时,

n(nnx2)nnn

（收敛-莱布尼茨别法综上,敛域为

(1,3]三．计算题（每题,共64）13.求极限

limx0

sin3xarcsinxx3lim解：原式=xarcsinx

x0

1

3211

2

x0

3212

31x22,即

1

2

用

x

(x0)

,则0

2(1

1))2

1()x2

214.设函数

y(x)由方所确定,

解：本题考查隐函数求导,且是求具体点地导数值当

x

时,入原方程得

0方程两边同时关于x求导得

e

x

(1

)

代入

x

,

0

得

再对（

）式两边同时关于求得

[

x

(1xy整理得

e

x

(1

2

e

x

)y

代入

x

0,及

得

3/7

1115.求不定积分

e

x

dx解：令

x

,

x

2

dxtdt

,入得

exdxt)t2(tet

xe

x

16.求定积分

40

xx

dx解：令

x

,

x

t

2

,

；当

x

时

t

,

时

t

；代入得

x

t2tdtt9

(

tdt()3

17.设

z

f(2x,ye

x

)

,中

f

有二阶连续偏导数,

解：

f

x

2f

x

f

(2f

x

f

f211

x

)

x

[1

f2

21

22

x

)]f

21112

21

2

x

f

211

x

f12

2

f

2212

2118.

设直线通过点(-1,2,0),直于直线

xtyt

又与平面

xyz

平行,其方程

解：设直线

xtyt

地方向向量为s,面0

x

地法向量n,0ijk

,设所求直线地方向量为

,sn13(11,7,1)0于是所求直线方程为

yz1174/7

dy110dy11019.计算二重积分

xdxdy,D{(x2

y解：由已知条件可知积分区域由曲线

y

2

,x

2

y

2

所围成,第一象限中地交点坐标为1,1）如右图阴影部分,以D

xdxdy

120

0

x()

2y

dy

0

2

yyy211)1)3注：本题有些同学可能会错误地认为阴影部分应该是,是不正确地这是因为

D

{(x,y)yxy

若D

{(xy)|

y2

,就是第二个图中地阴影部分了.xy20.求微分方程地通解解：原方程对应齐次线性微分方程地特征方程为

r

r

得rr2所以对应齐次线性微分方程地通解为

Y

e1

2

；又

为其中地一个特征根,以原方程地一个特解为

y*Axe

,则

y

*

A)e

,

y

*

(2)

,代入原方程得)e

x

A(1)

x

Axe

x

x

,化简得

所以

y*

x

,以通解为

ex1四．证明题（每小题,共18分）21.证明：当

x

时,e

x2证明：令

f()

x

,则

f

xf

x

x0(0x

,所以

f

单调递减,

f以f所f

单调递减,

f0,以f0

,以5/7

fff()

单调递减,

f

0

,以

f()

0

,当

x

时,

x2注是利用三阶导数相关信息一次次反推到原来地函数连续使用了三次利用导数证明不等式地方法具体地系图如下：fff

ff

f()f(f(0)22.设函数

xf()3

,明

fx)

在

x

处连续但不可导证明：显然因为

fx)f2在函数值为f(x)ex2,limf(x)lim(3xxx0

2

,所以

limf(x0所以

lim()fx

,

fx)

在

处连续因为limxlimx

f(x)f(0)xxlimxxx0xxf(x)f(0)33xlimxx所以

f

(0)f

(0)

,左导数不等于右导数,所以

f()

在

x

处不可导综上所述

fx)

在处续但不可导五．综合题（每题分共20分）23.设函数

y3在x

处取得极大值,其图形地拐点,常数

,

地值解为函数

y32

显然满足一阶和二阶可导,以它地极值点

x

是驻阶导数等于零地点它地拐(0,3)二阶导数等于零地点因为

y

2

,

,在曲线上所以综上得

f

f(0)a得6a

c24.微分方程

xdyy)dx

地一个解

yy(x

,使线

yy(x)

于直线

及x轴围成地平面图形绕轴旋转一周所得地旋转体体积最小6/7

22x1222x12解：将上述微分方程变形为

dy220ydxdxx即

,是一个一阶非齐次线性微分方程,其中

P(x)()通解为

y

2()x

[

2()dxx

dx]

2

(

(

)dx)x2(x2

2

V)2117C)

C2x4x(Cx32dx)3即

VCC)

,显然此时地体积

V

是一个关于参数

地一元二次函数,一条抛物线,由学数学可15知抛物线地顶点是最小值点点坐标公式为

()a4

,当

b2a

3125

75124

时取得最小值2x因此所求函数为注本题涉及到画图地问题于抛物线

yC