3.1数系的扩充与复数的概念

3.1数系的扩充和复数的概念毕达哥拉斯（约公元前560—480年）

“数”是万物的本源，支配整个自然界和人类社会．世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉．【问题1】在自然数集中方程有解吗?【问题2】在整数集中方程有解吗?自然数整数自然数负整数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充有理数整数分数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题3】在整数集中方程有解吗?自然数整数自然数负整数实数有理数无理数SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题4】在有理数集中方程有解吗?有理数整数分数自然数整数自然数负整数在实数集中方程有解吗?【问题5】SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充【问题4】在有理数集中方程有解吗?在实数集中方程有解吗?【问题5】没有实数根学生活动现在我们要进行数系的再一次扩充就是要解决这个问题，怎么解决？

讨论你能给出一个解决问题的方案吗?问题6:引入一个新数：满足

1637年，法国数学家笛卡尔把这样的数叫做“虚数”

SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充(R.Descartes,1596--1661)笛卡尔1777年欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数LeonhardEuler（1707-1783）欧拉1801年高斯系统使用了i这个符号使之通行于世（1777—1855）高斯JohannCarlFriedrichGauss1．新数i

叫做虚数单位,并规定：

（1）i21；

（2）实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍然成立.SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,

通常用字母

z表示.

(3)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C

表示.2．复数的概念实部虚部其中称为虚数单位.(2)SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充

练习：指出下面复数的实部与虚部

2+i，-3+0.5i，-2i+，20，-i，实部虚部其中

称为虚数单位。复数的分类？讨论观察复数的代数形式当a=___且b=____时，则z=0当b=___时，则z为实数当b=___时，则z为虚数当a=___且b___时，则z为纯虚数000≠0≠002、复数a+bi3.复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？思考？复数集虚数集实数集纯虚数集复数的分类1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。5+802、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则z=a一定不是虚数即时训练，巩固新知i正确不正确不正确例1实数m取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数解:（1）当，即时，复数z是实数．（2）当，即时，复数z是虚数．（3）当时，复数z是纯虚数．例题讲解

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．注意1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小例2:已知复数相等的问题转化求方程组的解的问题SHUXIDIKUOCHONG数系的扩充与转化（复数问题实数化）解:根据两个复数相等的充要条件，可得方程组解得:求实数1、若x，y为实数，且

求x，y.练习：x=-3,y=42.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)=0，求x的值.x=2探究：任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。两个实数可以比较大小实数与虚数不可以比较大小虚数与虚数不可以比较大小计算：1-1B

1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.课堂小结

2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式.3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数集中不成立，如x2≥0；若x－y＞0，则x＞y等，今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都在实数集内解决问题.4.复数有关概念：复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等虚数、纯虚数1、以2i-3的虚部为实部，3i+2i2的实部为虚部的复数是(

)A.2-2iB.2+2iC.-3+3iD.3+3i2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那么(

)A.R∪M=I