《矩阵分析》(第3版)史荣昌,魏丰.第一章课后习题答案

1章线性空间和线性变换（详解）1-1证：用E表示n阶矩阵中除第i行，第i列的元素ii为10E (ij,i1,2, n1)nij列ijj元素与第行第列元素为1外，其余元素全为0ji的矩阵.EEEn(n1)个.ii ij ii 2不难证明EE是线性无关的，且任何一个对称矩阵ii ijn+n(n1)n(n1)2 2阵组成n(n1)维线性空间.2同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为n(n1).2评注:欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是n(n1)n(n1)个向量线性无2 2关，并且集合中任何一个向量都可以用这n(n1)个向量2线性表示即可.1-2解:令x1 1

x2

x3

x4 4解出xxxx即可.1 2 3 4解：方法一设AxE1 1

xE2

xE3

xE4 4即1 2x

1x1 1

1 00 3 120 30 0 40 0 故1 2 xxx

xxx 1 2 3 4 1 2 31210 3 xx x121于是解之得

xx1

xx3 xx1

1,xxx21 2 30,x31x3,x1 2

3,x3

2,x4

1即A

E,E1

,E,E3

下的坐标为

(3,3,2,1)T.22方法二22

是一个四维空间，并且可将矩阵看做 A 且可将矩阵看做 E,E1

,E,E3

可看做(1,1,1,),(1,1,1,0T,(1,1,0,0)T,(1,0,0,0)T1111111110001102010011

331 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 0 3 0 0 0 1 A在EE1 2

,E,E3

下的坐标为(3,3,2,.解：证：设kk

kk 01 1 2 即

3 3 4 4kk1

1

0 120 30 41kkk

kk

k 1 2 3 kkk

1 kk

3 0k1 3 4于是

1 2 4kk1 2

kk3

0,kkk 01 2 3kkk1 3 4

0,kkk 01 2 4解之得kk1 2故αααα1 2 3 4设

k k 03 4a bxx1 x1x0 c d 12 xxxx xxx1 2 3 4 1 2 3xxx1 3 4于是

xxx1 2 4xx1 2

xx3

0,xxx01 2 3解之得

xxx1 3

0,xxx 01 2 4xbcd2a,x1

acxad,x3 4

abx,x,x,x

即为所求坐标.1 2 3 4方法一（用线性空间理论计算）

10p(x)12x3

1,x,x2,x302y1y1,x1,(x12,(x13yy又由于

1,x1,(x12,(x13

3y431 1 1 1301,x,x2,x3

1 2 0 0 1 310 0 0 1于是p(x)在基1,x1,(x1)2,(x1)3下的坐标为y 1

1 1 111 31 y20

1 2

06y 0 0 1 3 0 6 3 4

0 0 1 2 0 0 1 2 p(x)12x3x1展开可得p(x)12x3p(1)1)

p(1) p(1)(x1)2 (x2! 3!36(x1)6(x1)22(x1)3因此p(x)在基1,x1,(x1)2,(x1)3下的坐标为.评注：按照向量坐标定义计算，第二种方法比第一种方法更简单一些.解：①设

β,β1

,β,β3

α,α1

,α,α3 4将α,α1 2

,α,α3

与β,β1

,β,β3

代入上式得故过渡矩阵

20205610011336110011

P1 2 1 0 1 1 0 10 1 3 0 0 11 0

0 11

0 5 61 1

0 0

3 3 6P000

1 1 0 0 1 1

1 2 10 1 321 23 1

1 22 5 499 1 52 2 3 11 2 82 2 ②设1 y 1ξ0(β,β,β,β

)y21 1 2

4 y 340 y4将ββββ1 2 3 4

7 9y 2

0 5 611 81

y21

3 3 6 0 27y 1

2 1 1

1 3

4y 14

0 1 3 0 3 2 27评注：只需将α,βi iP.

代入过渡矩阵的定义,β1 2

,β,β3

α,α1

,α,α3

P计算出解：因为

,1

},2 1

},α2 1

,β,β}1 2α1 2

,β,1

3，且ααβ2 1 2

是向量α,α1 2

,β,β1

的一个极大线性3，基为ααβ.1 2 1设ξ1

} 2

,β}，于是由交空间定义可知21 1 2 12 1 1 1kk

011 21

30 430 1 1 7解之得

kl,k1 2 2于是

4l,l2

(l2

为任意数)ξkαkα l[5,2,3,(很显然ξll )11 2 2 2 1 1 2 21，基为[5,2,3,.方法二不难知

,α},α},,β},β}1 2 1 2 1 2 1 213其中α2

[2,2,0,1]T,β2

,2,1,0]T.又span{α3

α}也是线性方程组2xx2x1 3 4x2xx1

2 3 4β}是线性方程组2x 13x2xx1 3 3 4x2

2xx3 4的解空间，所以所求的交空间就是线性方程组x x2x1 3 4x 2xx2 3 4 13x

x2x31 3 4x2

2xx3 4[5,2,3,

，所以交空间的维数为1，基为[5,2,3,4]T.,αn：本题有几个知识点是很重要的.,αn1 2

基底就是α,α, ,α1 2

的极大线性无关组.维

数等于秩,α1 2

,α}.(2)span{α,n 1

}2

,β},α2 1

,β,β1

(3)方法α1 2

span{β1

,β}就是求向量ξ，既可由α,α2 1

线性表ββ(4)方法二是借用“两个齐次线性方程1 2解:

x2x

xx0(1):解出方程1

2 3 4

的基础解系,即是V

的基,5x10x6x4x0 11 2 3 4解出方程组（Ⅱ）xx1 2

x2x3

0的基础解系,即是V2

的基; x2xxx0:解出方程组5x

1 10x

36x

44x

0的基础解系,即为VV

的基; 1 2 3 4 1 2 xxx2x01 2 3 4:设

,

,

, ,则

, ,

,, ,

的极大无关组即1是VV1

1 k 2的基.

1 l 1

1 l解:.解:.证：设

lξlA(ξ)lA

l Ak12(l Ak1

k(ξ)0 ①0 1 2用A k从左侧①式两端，由

k(ξ)0可得lAk1(ξ)00因为Ak(ξ)0，所以l 0，代①可得l Al Ak1lA(ξ)l

2(ξ)

k(ξ)0 ②1 2用A k2从左侧乘②式两端，由

k(ξ)0可得l 0，继续下去，可得0lk 0，于是ξ,lk2

2(ξ), ,Ak(ξ.1-11n个向量ξ0,A

(ξ),A2(ξ),

,An1(ξ线性无关，它是V的一个基.又由A[ξ,A(ξ),A2(ξ),,An1(ξ)](ξ),A2(ξ),,An1(ξ)](ξ),A2(ξ),,An1(ξ),0][ξ,A(ξ),A2(ξ),

,An1(ξ)]010001000001000100000000000100nn

,An1(ξ下矩阵表示为n阶矩阵01000100000000000100评注维线性空间V中任何一组nV的一个基，因此ξ,A,, ,,, ,,rs1,A,A,m,, ,1rs1

(ξ),A2(ξ), ,An1(ξ是V设,1

,是,r 1

,,r

,的极大无关组，s则可以证明1

, ,r

是,1

,, ,的极大无关组.r s(1)由题意知A[α,α1 2

,α][α,α3 1

,α3[β,β1 2

,β][α,α3 1

1 1 ,α]0 1 30 0 设A在基βββ下的矩阵表示是B，则1 2 31 1 111 2 31 1 BP1AP0 1 0 0 2 43 42 3

1 0 30 1 2 1 50 468(2)由于A0，故AX0只有零解，所以AA 的值域是线性空间R3.

的核是零空间.由维数定理可知解:已知A1

,,2

1

,,A2 3求得式1

,,2

1

,,2

P中的过渡矩阵P,则BP1AP即为所求;1.5.1.(见<>.)解:A1.证:

,,2

R(A)1

,,2

N(AAx0由矩阵的乘法定义知AB与BA的主对角线上元素相等,故知AB与BA的迹相等;再由1-18题可证.证:对k用数学归纳法证。1-19,则2,即=2,即=1或-1。1-20,则A22,即=2,即=1或0。1-21其中0，则

1。证：设BP1AP,则E-B解：仿线性代数教材例题。

E-P1AP=P1EAPEA。证：若1 0 0 1 0 0 0 00 k 0 1

k0 0

k1 1

00 0 k k即

01 2k k3 4所以 kk1 2

kk 03 4因此满足

kE k

k

kE 01 11

2

3

4 22k,k1 2

,k,k3

只能全为零，于是E ,E 11 12

,E21

线性无关.

αα α =01 2 3所以α1,α2,α3线性相关.Rxn

中的元素

,xn11,x,,xn1是线性无关的.设k0

1k1

xk2

x2

n1

xn10由于Rxn

中x是变量，所以欲使上式对于任何x都成立的充分必要条件是k k0 1

k 0n1于是1,x,x2,

,xn1线性无关.对于Rxn

中任何一个向量（多项式）f(x)aaxa

x2

a xn1Rx0 1 2

n1 n均可由1,x,x2,是n维的.

xn1x2,

xn1是Rxn

的基，于是Rxn不难验证：1,xaxa)2

,(xa)n1也是Rxn

的一组基.因为f(n1)f(n1)(a)(n1)!f(x)f(a)f(a)(xa) (xa)22!故f(x)在这组基下的坐标为

(xa)n1f(a),f(a),

f(a),f(,f(n1)(a)(n1)!2!的核空间就是Ax作初等行变换后得

0的解空间，所以Ax

0的基础解系就是核空间的基.对A1 0 1 2 A1 2

1 1 0 03 05 0

2 132 2000 2 2

1 2 0 0

0因此Ax

0的解为x2xx 1 3 4x 3x2x2 2 3 4其中x,x3 4

为自由变量.不难知Ax

0的基础解系可以取为α(4,3,2,0)T α(4,3,2,0)T1 或 1α (1,2,0,1)T2

α(6,7,2,2)T2它们都可以作为A1-28解：设α(1,2,1,1)T

在所给基α,α,α,α1 2 3

下的坐标为k,k1 2

kk，故3 4αkα11即

kα2

kα3

+kα4 4(1,2,1,1)Tk1

(1,1,1,1Tk2

(1,1,1,1)Tk3

(1,1,1,1)Tk4

(1,1,1,1)T于是有

(kk1 2

kk,kk3 4 1

kk,kk3 4 1

kk,kk3 4 1

kk)3 4kkkk 1k1k2k3k421 2 3 41k1k

kkk 12 3 4kkk 1解之得

1 2 3 4k5,k1 4

1,k4

1,k4

14

5 1 1 1所以α在所给基α,α,α,α1 2 3 4

下的坐标为( , , , )T.4 4 4 4解：设

2k

1

1

00 120 30 41 kkk

kkk1k 2 3 4

1 2 3于是有

kk1 2

kkk1 3 4kkkk 11 2 3 4kkk 21 2 312kk12k

k 14k 0解之得

1k1,k1

3 1,k3

0,k4

1所以A在已给基下的坐标为(1,1,0,1)T.解：因为xa(a)11x(xa)2(a)212ax1x2(xa)3(a)313a2x3ax2x3(xa)n1(a)n11(n1)(a)n2x

(n1)(n2

(a)n3x2xn1故由1,x,x2, ,xn1到1,xa,(xa)2, ,(xa)n1xn11 a (a)2 (a)3

(a)n1 0 1 2(a) 3(a)2

(n1)(a)n2 (n(n1)(n2)20 0

1 3(a)0 0

(a)n311解：将矩阵α,α,α1 2 3

β,β,β,β作初等行变换得1 2 3 4,α,α,α1 2 3

β,β,β,β1 2 3 41 1 1 1 2 0 2 1

0 0 0 1 0 0 12 1 2 1 1 1 1 3 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 0 0 1 上式表明由基α1,α2,α3,α4到基β1,β2,β3,β4的关系为（为什么？）(β,β1 2

,β,β3

)(α,α,α1 2

1 110010100101101,α) 4 0 100 00 所以由α,α,α,α到β,β,β,β的过渡矩阵为1 2 3 4 1 2 3 41 0 0 11 1 0 110 1 1 10 0 1 00设ξ=(x,x

,x,

)T在β,β

,β,

y

yy，即1 2 3

1 2 3

1 2 3 4x y21 12ξ(ε,ε

,ε,ε

x (β,β,

,β)

y21 2 3

4x 1 2 3 4y3 344x y44其中ε1

(1,0,0,0)T,ε2

(0,1,0,0)T,ε3

(0,0,1,0)T,ε4

(0,0,0,1)T则x

0 2 1y1 12ξ(ε,ε,ε,ε2

x (β,β,β,

)

1 1 3y21 2 3

4x 1 2

4

2 1 1y3 344x 1 2 2 2y44于是y

0 2 11x 1 1y21

1 1 3 x2y 0 2 1 1 x2 3 344y 1 2 2 2 x44 4 6

8 11

4x

6x

8x11x 13 13 13 13 13

13 2 13 3 13 42 3 9

x 2x3x9x2x3x9x113 113 13 313

1 x 13 13 13 13x2 4327131313 327131313

3 2 7 8 3

x x x x13x 13 1 13 2 13 3 13 4 1 8 2 6 4 1 8 2 6

x

x x 13 13 13 13

13 1 13

13 3 13 4(1)由定理知VV1 2

span{α,α1 2

,β,β}1 2α,α,β1 2

αα1 2

,β,β1

VV1 2

的基，dim(V1

V)3.2(2)设αV1

V，即αV2

且αV2

，于是αkα11

kα2

kβ31

kβ4 2将αα1 2

,β,β1

的坐标代入上式，解之得k0,k1 2于是

5k,k34

2k3 455 5αkαkα

k( , ,5, )T11 2 2

4 33 3所以V1

55 5 V的基为( , , 5, )T，维数为1. V2 33 3又解交空间V V的向量实质上就是求在V中向量kβkβ也能由α,α线1 2 2 11 2 2 1 2性表示的这部分向量，即确定kk使得1 2秩(ααkβkβ秩(αα)1 2 11 2 2 1 2此即2 1 4k

1 5k5k1 1 5k1 2

13k2 5k 0 1 2k 1 2 3

1 20 2k3 1 1

2

1 2kk1 2

0 0 0 于是 1

2k2

0,k1

2k3 2代入kβkβ11 2 2

k(2ββ)2 3 1 2k255 5

55 5 ( , , 5, 33 3 所以V

V的基为( , ,5, )T，

V)1.1 2 33 3 1 2即方程组

x

3xx01 2 4 5xx2x4x 01 2 3 44x2x6x3x4x01 2 3 4 52x1

4x2

2x3

4x4

7x05(1,1,1,0,0)T,(12,0,5,2,6)T，它就是所求V1

V2

V)2.2(1)不难看出αα1 2

是线性齐次方程组（Ⅰ）x2xx3 1

2 （Ⅰ）xx4 2的解空间为V1

.而β,β1

是线性齐次方程组（Ⅱ）x2x3x2 1

4 （Ⅱ）x3x3 4的基础解系，方程组（Ⅱ）的解空间为V.2交空间V1

V公共解的空间，即方程组2x2xx3 1 2 xx 4 2 （Ⅲ）x2x2 1

3x4 x3x3 4的基础解系为(1,1,3,1)TV1

V的基，2维数为1.(2)VV1 2

span{α,α1 2

,β,β1

},α1 2

,β}1span{α,α1 2

,β}2

,β,β}1 2所以dim(V1

V3，基为ααβ.2 1 2 11-35解：A(α)ββ,A(α)2βββ于是所求矩阵为1 1 2 2 1 2 31 2 A1 0 1321-36解：D (1)0，D (x)1，D (x2)2x， ，D (xn)nxn1，于是所求矩阵为00010020000 0nn(n1)注对于线性映射D

：R[x] R[x]n1 ndD (f(x))dx

f(x)在基1,x,x2, ,xn与基1,x,x2, ,xn1下的矩阵表示为0001002000000000n(n1)(n1)

S(1)x x,S(x)x x2,dttdt10 0 2dttdt1,t1S(x2)x2dt x3,,t10 3tS(xn1)t

n1dt

xn10 n1于是所求矩阵为0 0 001 0 021210S 00

n(n1)n(1)核子空间就是求XR3满足A

(x0XR3.故xX(α,α,α)11 2 3于是

x2x3

x xA(x)A(α,

,α)

1(β,

)A11 2 3

x2x3

x1 2 2x3Xxxx应是齐次方程组1 2 3x1 1 10 1 2x203 x3的解空间，求的它的基础解系为x3,x1 2

2,x13N

xα11

xα2

xα3

3α12α α2

(5,4,4)T,dimN注N

)1.)的基不是(3,.而是2α α.为什么？N(A)的基是1 2 3(3,2,1)T.A

)(α1

),A(α2

),A(α)}3span{β,β1 ,β1

β,β2 β}2

2β}2span{β1

,β}R22(1)不难求得

A

)ααα1A(α

1 1 2)αααα2 2 1 2 3A(α)αα2αα3 3 1 2 3因此A 在α,α,α下矩阵表示为1 2 31 1 1A1 1 2k