透镜成像计算题目训练

透镜成像公式典型例题[例1]高h=9mm的烛焰，由凸透镜造成的像高h′=12mm．已知透镜焦距f=40cm，求物距u．[分析]凸透镜可以成放大的实像或放大的虚像，应分两种情况讨论．[解]透镜成像的放大率[例2]幻灯机的画片插在离镜头30cm处，刚好能在离镜头6m的墙上造成清晰的像．如果要造像在离镜头8m远的墙上，应该怎样调节镜头？如果画片的面积是S=3cm×4cm，那么两次像的面积各是多大？[分析]根据第一次成清晰像时的物距和像距，算出幻灯机镜头的焦距，即可由第二次的像距算出物距，从而确定对镜头的调节．由于对画片的长，宽两个方向都作了同样倍数的放大，所以像的面积应与放大率的平方成正比．知镜头的焦距是第二次把像距调整到v2=8m=800cm，那么画片离镜头的距离应该调整到:也就是镜头应该向画片方向移动两次成像的时候，像的放大率分别是所以两次像的面积分别是[说明]如果根据第一次成像的u1、v1计算镜头焦距的时候算成这样，计算第二次成像时候的物距就得到于是得出结论：应该使镜头再离开画片由于计算焦距取了近似值而得出镜头移动方向恰好相反的结果，显然这也就是说应该使u变小，就是镜头应该向画片靠拢[例3]用一照相机对太阳摄像时，底片与镜头相距8cm．用这架照相机对着平面镜给自己拍照，假如人站在镜前1m处，手执照相机对准平面镜，底片到平面镜的距离也当作1m，则镜头应调到离底片多远？[分析]太阳光可认为是平行光，因此这架照相机镜头的焦距f=8cm．人站在镜前1m处手执照相机对镜自拍时，镜后虚像也离镜1m．由透镜成像公式即得像距．[解]设镜头离底片为v（即像距），则平面镜中虚像离镜头的距离（即物距）为（2m-v）=200cm-v，由成像公式，得取合理值v≈8.4cm．即应把镜头调至离底片8.4cm处．[说明]本题要会合理近似，当把平面镜中的虚像作为拍摄对象的“物”时，认为整个人体包括手执的照相机是“扁平的一片”，离镜都等于1m．但在拍摄过程中调整镜头至底片的距离时（俗称调焦），必须把镜中的像对镜头的距离和镜中的像对底片的距离区分开来，不注意这点，常会误认为u=2m=200cm，得出不正确的结果．[例4]一个点光源位于凸透镜的主光轴上．当点光源位于A点处，它成像在B点；当它位于B点处，成像于C点（图1）．已知BC＞AB，则此凸透镜应[]A．位于C点右侧B．位于BC之间C．位于AB之间D．位于A点左侧[分析]若凸透镜位于C点右侧时，两次物、像都位于透镜同侧（左侧），且物距大于像距，表示两次都成缩小的虚像，这是不可能的，A错若凸透镜位于BC之间，光源位于A时成像于B为缩小虚像，同样是不可能的，B错．若凸透镜位于AB之间（图2），光源在A时成像于B，为实像．光源在B时，成像于C，为放大虚像．但据成像公式，成实像时因u＞0，f＞0，v＞0，故v＞f．这样，当光源置于B时不可能在同侧C处形成放大虚像，C错．若透镜位于A点左侧时（图3），只要要求A、B两点都在焦点之内，就可能形成两次放大的虚像．[答]D[例5]把一个点光源放在焦距为f的凸透镜的焦点上，在透镜另一侧2f处竖立一光屏，在光屏上看到一个半径为R的光亮的圆．现保持透镜和光屏不动，在主轴上移动点光源，若要使屏上光亮的圆半径缩为R/2，则这个点光源应移到什么位置上？[分析]点光源放在凸透镜的焦点上时，从光源射出的发散光束经凸透镜折射成一平行光束入射至屏，因此屏上亮圆的半径R就等于透镜的半径．保持透镜和光屏不动，要使屏上亮圆的半径减为R/2，必须使点光源沿光轴远离透镜移动．此时可以有两种情况，如图所示．（1）折射光线交会前先遇到屏，表示点光源的像距大于物距，因（2）折射光线交会后再照射到屏，表示点光源的像距小于物距，应边成比例的关系得[说明]求解本题的关键是注意光源移动时可能发生的情况并作出光路示意图，否则常容易漏掉一个解．在透镜成像问题中，常会出现由于透镜性质不明确、像的虚实不明确、像的位置不明确等情况而产生的多种解答．[例6]在物体与屏之间放一薄凸透镜，焦距为f=22cm．为了使得移动透镜时能在屏上形成两个清晰像，如果两次像高之比为4.84，则此时物体与屏之间的距离多大？[分析]能在屏上形成两个清晰像时，物体与屏之间的距离l应满足条件l＞4f由光路可逆知，此时两次成像的物距与像距正好互换．利用这个关系，结合题中条件即可算出l．放大率根据题意，代入成像公式，有所以物体与屏相距知结论引用的，实际上可以给出证明．因为每次成清晰像时，物距u与像距v必满足条件联立得成实像时，必须满足条件当L＝4f时，u有一个实数解，表示只能有一个位置使屏上成实像；当L＞4f时，u有两个实数解，表示能找到两个位置使屏上成实像．由上面的计算和u+v=L的关系得两次成像的物距和像距正好互换，这正是光路可逆的必然结果．[例7]如图1在一个焦距f=10cm的凸透镜的主轴上，与主轴角θ=60°斜立着一个长L＝2cm的细杆AB，其B端正好位于2f处．（1）作出成像光路图；（2）计算像长L′．[分析]利用特殊光线作图法可作出光路图，根据A、B两端的物距，分别算出像距，即可算出像长．[解]（1）成像光路如图2所示．（2）A端离透镜的距离其像距设物体垂直于主轴的长度为AC，对应的像长为A′C′，其放大所以像长[说明]令像与主轴的夹角为θ′，则由此可见，当物体斜向放置在主光轴上时，像也斜卧在主光轴上，两者与主光轴的夹角大小相等，只是方位不同，如果物体绕主轴上的B端顺时针向旋转一周，对应的像绕B′点逆时针向也旋转一周．[例8]凸透镜的焦距为f，一个在透镜全光轴上的物体，从距离透镜3f处，沿全光轴逐渐移动到距离透镜1．5f处，在此过程中[]A．像不断增大B．像和物之间的距离不断增大C．像和焦点的距离不断增大D．像和透镜的距离不断减小[分析]物体从距透镜3f处逐渐移到距透镜1．5f处的过程中，物距u变小，而像从镜后距透镜f与2f之间逐渐移到2f外，像距v不断增大．在这个过程中，像和物之间的距离L先变小（从u=3f到u=2f，L从大于4f变到等于4f）后变大（从u=2f到u=1.5f，L从等于4f变到大于4f），B错．像和焦点的距离随着像距增大而增大，C正确，D错．[答]A、C．[说明]物像间距与物距的关系，可以从函数图像上得到更确切的认识．由得下的抛物线，如图所示．变小、后变大．不是单调增大的．[例9]一物体垂直于凸透镜主轴放在镜前某处时，可得到放大6倍的像，若物体向透镜移动2cm，可得放大3倍的像，求该透镜的焦距．[分析]根据凸透镜成像放大率m与物距u的关系图，放大率由m=6变到m=3有两种可能：（1）先在f＜u＜2f区域内成实像，后在u＜f区域内成虚像；（2）都在u＜f区域内成不同放大率的虚像．所以应该分别计算．[解]（1）先成实像后成虚像时由联立解得（2）前后二次均成虚像时由联立解得所以凸透镜的焦距有两种可能，4cm或12cm．[说明]若移动方向没有限制，则还有一种可能，先成m=6的实像，后成m=3的实像，可解得u=14cm，f=12cm．[例10]透镜的焦距f=5cm，镜面直径d=10cm，在距透镜8cm处及主光轴下方距主轴2cm处得到发光点S的实像点S′．如在光源与透镜之间的主轴上半部，垂直于主轴放置一个不透光的遮板，板的形状与透镜上半部相似（半圆形），为了使像消失，则：（1）板到透镜的最小距离是多少？（2）在此位置板的最小半径是多少？[分析]题中指出得到的是实像点，表示是凸透镜成像，像点S′与光源S必分居透镜两侧，且在主轴的上、下方．由焦距（f=5cm）、像距（v=8cm）、像高（h′=2cm），根据透镜成像公式可算出物距和物高．为了使像消失，应该使得从光源S发出的光都无法到达透镜．通过引发边缘根据几何关系，即可得解．[解]（1）根据上述分析，作光路示意图如图所示．由透镜成像公式分别得物距和物高要求放置遮光板AC后使像消失，必须使它能遮挡掉所有到达透镜的光．由光路图可知，它立于主轴上半部时离镜的最小距离就是下边缘光SN与主轴交点离镜的距离，设为x．由△SBC～△SDN，得（2）设遮光板的最小半径为d′由△SAC～△SMN，得[说明]求解本题有三个要点：（1）根据题意能画出光路示意图；（2）理解最小距离（最小半径）的含义，确定遮光板的位置，（3）选择合适的相似三角形．[例11]如图所示，L为薄凸透镜，点光源S位于L的主光轴上，它到L的距离为36cm；M为一与主光轴垂直的挡光圆板，其圆心在主光轴上，它到L的距离为12cm；P为光屏，到L的距离为30cm，现看到P上有一与挡光板同样大小的圆形暗区ab，求透镜的焦距.[分析]画好光路图是关键，然后利用几何关系，就可以找到像距，再利用凸透镜成像公式求解.[解]第一种情况S'为S的像，设像距为v1由几何关系可知：根据透镜公式第二种情况S''为S的像，设像距为v2由几何关系可知根据透镜公式[说明]透镜公式是建立在透镜成像作图的基础上，运用几何学的方法，求得物和像的位置与透镜的焦距之间的关系.在应用透镜公式讨论问题时，要注意以下几点：①注意分析物体通过透镜成像的具体情况，建立物体通过透镜成像的物理图景是正确理解题意，分析题意和寻求已知条件和所求问题的联系的前提.②正确画出光路图.③注意焦距、物距、像距的正、负符号，正确应用符号规则.④光路可逆，在有些情况下，逆向思维可使问题简化.[例12]一个凸透镜，焦距为5cm，发光点S位于距光心6cm的主轴上，在下列三种情况下，求像的位置.(1)用直径0.4cm的不透明圆纸片将透镜中心部分遮住（图a）(2)将这个凸透镜分成上、下两半，且各离主轴0.2cm上、下隔开0.4cm（图b）(3)将这个凸透镜分成上、下两半，左、右错开0.4cm，但主轴重合，点光源仍位于主轴上，距左边半个凸透镜光心6cm（图c）[分析]各种情况要注意透镜的光心、主光轴、焦点的位置是否发生变化，还应注意点光源相对于主光轴及透镜的位置.[解](1)中心部分遮住，透镜的光心、主光轴、焦点位置不变，发光点的物距不变，只是入射到透镜的能量减少，所呈的像位置不变，只是亮度变暗.(2)若透镜分成上、下两部分，再分开，这就成了两个透镜，它们的主光轴O1O1'、O2O2'，分别通过各自的光心，形成的像S1'、S2'.由于f、u不变