14整式的乘法教案

14.1整式的乘法（第6课时）14.1.4整式的乘法（第4课时）一、教学目标（一）学习目标.进一步理解幂的意义，并学会同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法的运算，能根据幂的各种运算性质解决数学问题..会用幂的各种运算性质进行整式混合运算.（二）学习重点整式的乘除法运算.（三）学习难点灵活运用幂的性质进行整式乘除混合运算.二、教学设计（一）课前设计.预习任务（1）同底数幂的乘法：〃m〃n=〃m+n（m,n都是正整数）（2）幂的乘方：（am）n=amn（m,n都是正整数）（3）积的乘法：（ab）n=anbn（n为整数）（4）同底数幂的除法：am-an=（a）m-n（m,n都是正整数且a于0.预习自测（1）下列运算正确的是（ ）A.x2+x3=x5 B.x4・x2=x6 C.x6-x2=x3 D.（x4）2=x6【知识点】幂的运算性质和合并同类项【解题过程】略【思路点拨】正确运用相关的运算法则【答案】B（2）计算：-a5x（-a）2+3a4xa3=.【知识点】整式的混合运算【解题过程】-a5x（-a）2+3a4xa3二-a5.a2+3a7=-a7+3a7=2a7【思路点拨】先算乘方，再算乘法，最后合并同类项【答案】2a7(3)计算：(49x4y3-14x3y2+7x2y2)：(-7x2y)【知识点】多项式除以单项式【数学思想】转化思想【解题过程】(49x4y3-14x3y2+7x2y2)：(-7x2y)二[49X-7)]x4-2y3-1+(14:7)x3-2y2-1-(7^7)x2-2y2-1=-7x2y2+2xy-y【思路点拨】多项式除以多项式转化成单项式除以单项式，注意符号【答案】-7x2y2+2xy-y(二)课堂设计1.知识回顾(1)同底数幂的乘法的性质：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.鼬，〃#〃=am也(m,n为正整数).(2)幂的乘方的性质：幂的乘方，底数不变，指数不变.即am)n=amn(m,n为正整数).(3)积的乘方的性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.即(ab)n=anbn(n为正整数).(4)同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减.(5)零指数的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1.你能用数状图、框图等多种形式梳理本节所学知识吗？师生活动：先让学生独立归纳总结本节主要内容再展示部分学生作品，教师根据学生反应可提炼出本章的知识结构图.如下：累的运算性质:同底数皋的除法：，~*尸零指数累：同底数黑的乘法：才d=才+£黑的乘方：©*7==*积的乘方：砌〜愣累的运算性质:同底数皋的除法：，~*尸零指数累：同底数黑的乘法：才d=才+£黑的乘方：©*7==*积的乘方：砌〜愣多项式x多项式单项式+单项式单项式x多项式单项式M单项式琢项式4■单项式整式的除法整式的乘法互逆运算2〖设计意图〗建立清晰的知识结构，帮助学生梳理基础知识之间的区别和联系，学生类比学习，加深对知识的理解和对知识的整体把握，培养学生思维的全面性和严谨性.然后提炼方法，你觉得正确进行整式乘除混合运算要关注哪些问题？幂的运算法则 运算顺序 符号确定下面首先复习幂的相关运算，请看探究一.幂的运算活动①复习检测，以学定教开火车口答：并说出都有哪些运算？各自的法则是怎样的？(1)X2x5 (2)2x24x23 (3) (a+b)2(a+b)6 (4) (x2)5(5)(x3)4x2 (6)[(-6)3]6 (7) (2a)4(8)(xy3)2(9)(-2x3)4(10)(ab"(ab)2(11)(m-1)6^(n-1)2 (12)(-2x)4;(2x)2【知识点】幂的相关运算性质【设计意图】通过简单问题的回答，可检测学生对同底数幂的乘(除)法，幂的乘方，积的乘方的相关性质的掌握情况.同时说算理不断重复法则为整式乘除法打下基础.活动②整合旧知，提升能力例1.计算：(1)(-3x2y)8；(-3x2y)6(2)2(a4)3-(a3)4【知识点】同底数幂的乘除混合运算【数学思想】整体思想【解题过程】解：(1)(-3x2y)8；(-3x2y)6=(-3x2y)8-6=(-3x2y)2=9x4y2(2)2(a4)3-(a3)4=2a12-a12=a12【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】见解题过程练习：(1)(y4)3x(y2)5；(y3)6(2)[-2(x-y)2]2(y-x)3【知识点】同底数幂的乘除混合运算【数学思想】整体思想【解题过程】解：(1)(y4)3x(y2)5；(y3)6=yQy10；y18=y22；y18=y4

(2)[-2(x-y)2]2(y-x)3=4(y-x)4(y-x)3=4(y-x)7【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】见解题过程例2.已知am=3， an=5，求am-n与a4m-3n的值.练习：已知3m=2，3n=5，求92m-n的值.【知识点】逆用同底数幂的除法公式【数学思想】对应思想3【解题过程】3【解题过程】am-n=am^an=3^5=581a4m-3n=(am)4^(an)3=34:53=i251692m-n=92m：9n=(32)2m:(32)n=34m：32n=(3m)4:(3n)2=24:52=16:25="25"【思路点拨】认清底数，找到问题与已知条件的联系，用对法则，注意符号【答案】见解题过程TOC\o"1-5"\h\z4、 ,3、 ’1、例3.计算(一)100X(—)100X(—)2009x420103 4 4【知识点】逆用积的乘方法则，倒数的性质以及乘法交换律.【数学思想】转化思想4、 ,3、 ’1、【解题过程】解：(—)100X(—)100X(—)2009x420103 4 4,43、 ，—.、 ..=(—X-)100x(4x4)2009x4=434 4【思路点拨】【答案】见解题过程1、 ,2、练习：(0.125)11x(-2-)7x811x(--)92 5【知识点】利用积的乘方法则，倒数的性质以及乘法交换律.12【解题过程】解：(0.125)11x(-2)7x811x(--)92542=—25/1八/52、 42=—25=(—x8)11(-x—)7x(-)8 25 5【思路点拨】当指数接近时可以逆用积的乘方法则，要充分利用倒数的性质.【答案】见解题过程【设计意图】巩固新知，达到强化的目的.并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性.探究二：整式的混合运算活动1:复习检测，以学定教.X2y2(-xy3)2的计算结果是( )A.x5y10 B.x4y8 C.-x5y8 D.x6y12【知识点】幂的乘方和单项式乘以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】x2y2(-xy3)2二x2y2.x2y6=x4y8【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】B.化简a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)的结果是( )A.2ab+2bc+2ac B.2ab-2bc C.2ab D.-2bc【知识点】单项式乘以多项式和整式的加减【数学思想】对应思想【解题过程】a(b-c)-b(c-a)+c(a-b)=ab-ac-bc+ab+ac-bc=2ab-2bc【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】B.下列计算错误的是( )A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4B.(a+4)(a-5)=a2-a-20 C.(m-3)(m+3)=m2-9D.(x-3)(x-6)=x2+18【知识点】多项式乘以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】(x-3)(x-6)=x2-6x-3x+18=x2-9x+18【思路点拨】.认清运算，用对法则，注意符号和不要漏项【答案】D.下列计算正确的是( )A.x3：x3=0 B.x2m+n：x2m-3=0 C.(2x4-23)0=1 D.xnx3：xnx=x2【知识点】单项式除以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】xnx3：xnx=xn+3：xn+1=x2【思路点拨】.认清运算，用对法则，注意符号.【答案】D.已知4x6ya：2xby2=2x2y3那么( )A.a=2,b=3 B.a=4,b=5 C.a=3,b=6 D.a=5,b=4【知识点】多项式除以单项式【数学思想】方程思想【解题过程】4x6ya：2xby2=2x6-bya-2=2x2y3,6-b=2,a-2=3,所以a=5,b=4.【思路点拨】认清运算，用对法则，注意字母的对应.【答案】D先让学生独立完成，教师巡视指导，再学生讨论交流集体订证答案.【设计意图】这一环节为了了解学生对单x单，单x多，多x多，零指数以及单除单，多除单等基础知识的掌握情况，以便在教学过程中有的放矢，有效地指导学生学习.活动2整合旧知，提升能力例4.化简求值：(-a4：a2)2+(-2a)3-a2+(-a2)4:a4,其中a=-1【知识点】整式的混合运算【解题过程】(-a4：a2)2+(-2a)3.a2+(-a2)4：a4=a4+(-8a5)+a4=2a4-8a5当a=-1时，2a4-8a5=2x1+8=10【思路点拨】认清运算，用对法则，注意运算顺序和符号【答案】见解题过程练习：化简求值：3a(4a2—a+3)-(2a)(-3a)2，其中a=—2【知识点】单项式与单项式，多项式与多项式相乘的法则，合并同类项.【解题过程】3a(4a2-a+3)-(2a)(-3a)2二12a3-3a2+9a-(2a)(9a2)二12a3-3a2+9a-18a3-—6a3—3a2+9a当a-—2时，-6a3-3a2+9a=18【思路点拨】认清运算，用对法则，注意运算顺序和符号的确定.【答案】18【设计意图】巩固整式乘法的两个法则，灵活运用两个法则进行计算.例5.解方程：(4x-2)(2x-3)=(8x+5)(x-1)【知识点】多项式乘以多项式，解一元一次方程.【数学思想】对应思想【解题过程】(4x-2)(2x-3)=(8x+5)(x-1)8x2-12x-4x+6=8x2-8x+5x-58x2-8x2-16x+3x=-6-5-13x=-1111x=13【思路点拨】利用多项式与多项式相乘的法则计算，把左右两边先化简，再解关于x一元一次方程.【答案】见解题过程练习：解下列方程：4(a2+a—3)-3a(3+a)+a(-a+2)=0【知识点】单项式与多项式相乘的法则，解一元一次方程.【解题过程】4(a2+a-3)-3a(3+a)+a(-a+2)=04a2+4a-12-a-a-a+2a=0-3a-12=0a=-4【思路点拨】利用单项式与多项式相乘的法则计算，把左边化简，再解关于a一元一次方程.【答案】a=-4.3.课堂总结知识梳理重难点归纳：(1)灵活运用幂的性质进行整式乘除混合运算(2)学习和运用法则过程中，类比，特殊到一般等方法的运用，渗透了转化，整体代换等数学思想.混合运算的解题策略：整体把握，局部突破理清顺序，步骤分明用对法则，细心运算规范书写，耐心检查反思解决混合运算的关键步骤点：运算法则是基础，运算顺序是保障.课后作业(一)基础型自主突破.下列计算正确的是( )A.b3-b2=b6 B.x3+x3=x6 C.a4+a2=a6 D.m-m5=m6【知识点】幂的运算性质和合并同类项【解题过程】m-m5=m5+1=m6【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号【答案】D.*n+1可写成( ).(y3)n+1 B.(yn)3+1 C.y.y3n D.(yn)n+1【知识点】逆用同底数幂相乘的公式【解题过程】y3n+1=y.y3n【思路点拨】同底数幂相乘，底数不变，指数相加.【答案】C.如果正方体的棱长是(1-3b)3,那么这个正方体的体积是( )A.(1-3b)6B.(1-3b)9C.(1-3b)12D.(1-3b)6【知识点】幂的乘方【解题过程】[(1-3b)3]3=(1-3b)9【思路点拨】幂的乘方，底数不变，指数相乘.【答案】B.计算(-0.125)2o1ox8201o的结果是()

A.-1B.1C.0.25D.4A.-1B.1C.0.25D.44020【知识点】逆用积的乘方法则【解题过程】（-0.125）2010x82010=（1X8）2010=18【思路点拨】倒数的乘积等于1,先算乘积，再算乘方.【答案】B.下列计算中结果正确的是（ ）A.4a2-3a2=12a6 B.2x3-7x4=14x7 C.3x-3x5=9x5 D.6x4.6x4=12x8【知识点】单项式乘以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】2x3-7x4=（2x7）x3+4=14x7【思路点拨】认清系数，用对法则，系数相乘，同底数幂相乘，指数是相加.【答案】B6.18x6y42:（ ）=6x2y3,括号里应填的代数式为（）A.3x3y2 B.3x3y2z C.3x4yz D.12x4y2z【知识点】单项式除以单项式【数学思想】对应思想【解题过程】18x6y4z：6x2y3=（18:6）x6-2y4-3z=3x4yz【思路点拨】认清运算，用对法则，注意别漏掉字母z【答案】C（二）能力型师生共研.为参加“金秋十月”校园摄影赛，小红同学将参加志愿者活动的照片放大为长4acm，宽3acm的形状，又精心在四周加上了宽2cm的木框，则这幅摄影作品占的面积是（ ）A.12a2+14a+4 B.12a2-7a+16 C.12a2+7a+4 D.12a2+28a+16【知识点】多项式乘以多项式【数学思想】对应思想【解题过程】（4a+4）（3a+4）=12a2+16a+12a+16=12a2+28a+16【思路点拨】正确理解题意是关键，在四周加上2cm宽的木条，就是长和宽都加上4cm，再用多乘多进行计算.【答案】D.已知（x-3）（%2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m、n的值分别为（ ）A.m=3,n=9 B.m=3,n=6 C.m=-3,n=-9 D.m=-3,n=9【知识点】多项式与多项式相乘的法则，合并同类项.【数学思想】对应思想【解题过程】解：（x-3）（x2+mx+n）=x3+mx2+nx-3x2-3mx-3n=x3+（m-3）x2+（n-3m）x-3n因为原式不含有x2和x项，所以m-3=0，n-3m=0解得m=3n=9【思路点拨】先利用多项式与多项式相乘的法则将式子化简，再合并同类项，得出x2的系数为（m-3），x的系数为（n-3m），再据系数为零，从而求解【答案】A（三）探究型多维突破.先化简，再求值.（a-b）4・[（a-b）2]3+（a-b）2」（b-a）10-（a-b）n+9:（a-b）n-1，其中a=2，b=1.【知识点】整式混合运算【数学思想】整体思想【解题过程】（a-b）4・[（a-b）2]3+（a-b）2」（b-a）10-（a-b）n+9^（a-b）n-1=（a-b）4（a-b）6+（a-b）11-（a-b）10=（a-b）10-（a-b）10+（a-b）11=（a-b）11当a=2，b=1时，（a-b）11=1【思路点拨】整体把握，局部突破，这一题分为三段，把括号里的看成一个整体，再运用相应的法则进行计算，化简后然后再带值.【答案】见解题过程.已知多项式2x3-4x2-1除以一个多项式A，得商式2x，余式为x-1，求这个多项式.【知识点】多项式除以多项式【数学思想】对应思想【解题过程】解：A=[（2x3-4x2-1）-（x-1）]：（2x）=（2x3-4x2-x）:（2x）=x2-2x--2【思路点拨】除数等于被除数减去余数的差再除以商.10【答案】X2-2x-1.2.(1)运用多项式乘法，计算下列各题：①(a+3)(a+4)=②(a+3)(a-4)=@(a-3)(a+4)=@(a-3)(a-4)=根据所得结果，你发现它们有什么异同？其中有什么规律？(2)根据你发现的规律，你能直接写出(x+a)(x+b)的结果吗？请运用此规律进行以下运算：①(x+5)(x+7) ②(y-3)(y+6) ③(a-7)(a+5) ®(a2-2)(a2+4)【知识点】多项式除以单项式【解题过程】解(1)①(a+3)(a+4)=a2+7a+12@(a+3)(a-4)=a2-a-12^^(a-3)(a+4)=a2+a-12@(a-3)(a-4)=a2-7a+12异：一次项系数不同，常数项的符号不同.同：二次项系数相同，常数项的绝对值相同.规律：两个一次项系数为1的一次二项式相乘，其积的二次项为一次项的积，一次项系数为两个常数项的和，常数项为两个常数项的积.解(2)(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab©(x+5)(x+7)=x2+12x+35②(y-3)(y+6)=y2+3y-18@(a-7)(a+5)=a2-2a-35@(a2-2)(a2+4)=a4+2a2-8【思路点拨】【答案】见解题过程五、自助餐.计算(a2)3：(a2)2的结果是()A.a B.a2 C.a3 D.a411【知识点】幂的乘方和整式除法【解题过程】(a2)3：(a2)2=a6：a4=a2【思路点拨】认清运算，用对法则，注意符号.【答案】B.下列计算中，正确的有()(1)8x9：4x3=2x3 (2)3a3b2：3a3b2=0 (3)(2a)3=6a3 (4)2b2-5ab=10ab3A.1个B.2个