高中数学第5章推理与证明章末小结讲义含解析湘教版选修12

第5推与明1．两种合情推理(1)归纳推理：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，步骤如下：①通过观察个别对象发现某些相同性质；②由相同性质猜想一般性命题．(2)类比推理：类比推理是由特殊到特殊的推理，步骤如下：①找出两类对象之间的相似性或一致性；②由一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题．2．演绎推理演绎推理是由一般到特殊的推理，一般模式为三段论．演绎推理只要前提正确推的式正确那推理所得的结论就一定正确意错误的前提和推理形式会导致错误的结论．3．直接证明——综合法和分析(1)综合法是“由因导果”，即已知条件出发，利用定理、定义、公理和运算法则证明结论．(2)分析法是“执果索因”结论逆向转化一已证的命(已知条件或定义、公理、定理、公式等．注意：①分析法是从结论出发，但不可将结论当作条件．②在证明过程中，“只要证”“即证”等词语不能省略．4．间接证明——反证法反证法证题的步骤为：反设－归谬－结论，即通过否定结论，得出矛盾来证明命题．注意：反证法的关键是将否定后的结论当条件使用．[例1]给下面的数表序列：表1

表134

归纳推理表…1354812其中表nn＝1,2,3，有行第1行个是1,3,5，…2－，第2行，1

nn每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表，验证表4各行的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表(≥3)(不要求证明．[解]表4为13574812122032它的第1,2,3,4行的数的平均分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，比为2的等比数列．将这一结论推广到表(≥3)，即表n(各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为，公比为2的比数列．简单的归纳猜想问题通过观察所给的数表、数阵或等式、不等式即可得到一般性结论，较复杂的问题需将已知转换为同一形式才易于寻找规律．[例2]蜜被认为是自然界中最杰出的建筑师个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形如为一组蜂巢的截面图其中第一个图有蜂巢第二个图有7个巢第个图有个蜂，按此规律，以(n表示第n个的蜂巢总数．则(4)________，f()＝________.[解析]因f(1)＝1，(2)＝＋6，f(3)＝19＝＋＋，以(4)＝＋6＋1218＝，以fn)＝＋＋＋＋…＋－1)＝n－＋1.[答案]373

－＋1解答此类题目时需要细心观察形寻找每一项与序号之间的关系同时还要联系相关的知识．本题注意从图形中抽象出等差数列．1．图1是个水平摆放的小正方体木块，图，图是这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是.解析：分别观察正方体的个数为1,15,1＋＋，…归纳可知，第n个叠放图形中共n层构成了以1为项，以4为公的等差数列，所以＝＋[n－1)×4]÷22－，所以＝2×77＝91.答案：2

ADABADBD·BCDCBC·＝＝＋.ADAB.AEABACADAEAB.AFAC.ADABADBD·BCDCBC·＝＝＋.ADAB.AEABACADAEAB.AFAC.2.如图，给出了3层的六边形图中所有点的个数为28，按其规律再画下去，可得n(∈)层六边形，试写出S表达式．n解：设每层除去最上面的一个点的点数为，则是5为项，为公的等差数列，则＝＋＋＋＝n

n[5＋＋

2

－

＋＝＋3n＋n∈).类比推理[例3]在ABC中，⊥，⊥于.求证：

11＝＋

1，那么在四面体中类比上述论据，你能得到怎样的猜想，AC并说明理由．[证明]如图所示，由射影定理，AD＝·，

＝·，＝BCDC∴

11＝＝＝.∵＝AB＋，∴

1AB＋11ADAB·ABAC∴

11＝＋

1AC猜想：类比⊥，⊥，猜想四面体中，AB，，两两垂直，AE平面BCD，则

11＝＋

11＋.证明上述猜想成立．如右图所示，连接BE交于，连接AF∵⊥，⊥AD∴⊥平面ACD而平面ACD，∴⊥.在eq\o\ac(△,Rt)ABF中，AE⊥BF∴

11＝＋

1AF在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，AF⊥CD∴

11＝＋

1AD

3

AEABACADaaba1111aabAEABACADaaba1111aab∴

11＝＋

11＋.故猜想正确．(1)类比是以旧知识作基础，推新的结果，具有发现的功能．(2)类比推理的常见情形有：平与空间类比；向量与数类比；不等与相等类比等．3．若数列}为等差数列S为前n项，则有性质“若S＝(m，∈nm

且≠)，则S”类比上述性质，相地，当数列{}为比数列时，写出一个正确性质：n_________________________.答案：数列b}为等比数列，T表示前m项的，若T＝，，∈，≠n)，则mmT＝n14在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠C＝90°＝bBC＝则的外接圆半径为r＝2把上述结论类比到空间，写出相似的结论．解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体BCD且AB＝，＝，ADc，

a＋，1则此四面体的外接球的半径为＝2

a＋＋.综合法和分析法111[例4]设＞，＞，＋b＝1，求证：＋＋≥8.aab[证明]法：综法∵＞，＞0，a＋＝，111∴＝＋≥2ab，ab，ab≤，∴≥4.24111又＋＝(＋)＋≥4∴＋＋≥8＝b＝时号立a2法二：分法111∵＞，＞0，a＋＝，要证＋＋≥8，a1a＋b只要证≥8，

.4

1111aaaab11111aaaab1a－a－只要证

≥8，11即证＋≥4.a＋＋也就是证＋≥4.b即证＋≥2.由基本不等式可知，当a＞，＞0时，≥2当a＝＝时号成a2

成立，所以原不等式成立．综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反析既可用于寻找解题思可是完整的证明过程析法和综合法可相互转换，相互渗透充利用这一辩证关在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．5．已知函数fx)＝(－1)(a，≠1)．(1)证明：函数f(的图象在一侧；(2)设(，)(，)(x<x)是图象上的两点，证明直线AB的率大于零．证明：(1)由a－1>0，得a>1.①当>1，，函数图象在y轴侧；②当0<<1时，x，数图象y轴侧．故函数图象总在y轴一．y(2)由于k＝，又由x<，x故只需证y－>0即．因为－＝log

－1)－log(－1)＝log

a

－.－①当>1，由0<xx，得a

<，即0<－1<a－a－－故有>1，log>0，ax5

a－a－即－>0.②当0<<1时，由<，得

>

>>1.即

－－a－故有0<<1，－a∴－＝log

－>0，即y－>0.综上，直线的率总大于零反

证法πππ[例5]已a，均为实数，且＝x－y＋，＝y－＋，＝－＋，236求证：，，c中至少有一个大于0.[证明]假a，，都大于0，即≤0≤0，≤0得a＋b＋≤0而＋＋＝x－1)＋y－＋－1)π－3≥π－3>0与＋＋≤0矛盾，故假设不成立．∴，，c至少有一个大于0.(1)用反证法证题时，先假设原题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命