实验最优化方法建模及实现

（优选）实验最优化方法建模及实现当前1页，总共59页。最优化问题优化问题，一般是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源，即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大.建立优化问题的数学模型

1)确定问题的决策变量

2)构造模型的目标函数和允许取值的范围，常用一组不等式来表示.当前2页，总共59页。（1）（2）由（1）、（2）组成的模型属于约束优化，若只有（1）式就是无约束优化，f(x)称为目标函数，gi(x)称为约束条件若目标函数f(x)和约束条件g(x)都是线性函数，则称该模型是线性规划.当前3页，总共59页。线性规划模型例1、生产炊事用具需要两种资源－劳动力和原材料，某公司制定生产计划，生产三种不同的产品，生产管理部门提供的数据如下ABC劳动力（小时/件）736原材料（千克/件）445利润（元/件）423当前4页，总共59页。每天供应原材料200kg，每天可使用的劳动力为150h.建立线性规划模型，使总收益最大，并求各种产品的日产量.

解第一步,确定决策变量.用分别表示A,B,C三种产品的日产量第二步,约束条件原材料：劳动力：第三步，确定目标函数当前5页，总共59页。例2一家广告公司想在电视、广播上做广告，其目的是尽可能多的招来顾客，下面是调查结果：

电视无线电广播杂志白天最佳时间一次广告费用（千元）40753015受每次广告影响的顾客数（千人）400900500200受每次广告影响的女顾客数（千人）300400200100当前6页，总共59页。这家公司希望广告费用不超过800（千元）还要求：1）至少要有200万妇女收看广告；2）电视广告费用不超过500（千元）3）电视广告白天至少播出3次，最佳时间至少播出2次；4）通过广播、杂志做的广告要重复5到10次.令分别白天，最佳电视、广播、杂志广告次数当前7页，总共59页。例3：任务分配问题：某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？当前8页，总共59页。解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型：

解答当前9页，总共59页。例4：某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？解设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为：因检验员错检而造成的损失为：当前10页，总共59页。故目标函数为：约束条件为：当前11页，总共59页。线性规划模型：

解答返回当前12页，总共59页。线性规划模型的一般形式

目标函数和所有的约束条件都是决策变量的线性函数。当前13页，总共59页。实际问题中的优化模型x~决策变量f(x)~目标函数gi(x)0~约束条件数学规划线性规划(LP)二次规划(QP)非线性规划(NLP)纯整数规划(PIP)混合整数规划(MIP)整数规划(IP)0-1整数规划一般整数规划连续规划

优化模型的分类当前14页，总共59页。线性规划问题的求解在理论上有单纯形法，在实际建模中常用以下解法：

1.图解法

2.LINGO软件包；

3.Excel中的规划求解；

4.MATLAB软件包.当前15页，总共59页。minz=cX

1、模型：命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）或

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,x0）或

[x,fval]=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若没有不等式：存在，则令A=[]，b=[].用MATLAB优化工具箱解线性linear规划当前16页，总共59页。3、模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB(low,up)

命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若没有等式约束:,则令Aeq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始点

4、命令：[x,fval]=linprog(…)

返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval.当前17页，总共59页。解:编写M文件xxgh1.m如下：

c=[634];A=[1,2,-3;010];b=[80;50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh1)例5当前18页，总共59页。解编写M文件xxgh2.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

ToMatlab(xxgh2)例6当前19页，总共59页。S.t.改写为：

问题例3的解答当前20页，总共59页。编写M文件xxgh3.m如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh3)当前21页，总共59页。x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004计算结果：

即在甲机床上加工600个工件2,在乙机床上加工400个工件1、500个工件3，可在满足条件的情况下使总加工费最小为13800。当前22页，总共59页。

问题改写为：例4的解答当前23页，总共59页。编写M文件xxgh4.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];%调用linprog函数：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMatlab(xxgh4)当前24页，总共59页。结果为：

x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9个一级检验员。

注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数。故它是一个整数线性规划问题。这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解。若用线性规划解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解。返回当前25页，总共59页。当前26页，总共59页。1）首先建立M文件fun.m,定义目标函数F（X）:functionf=fun(X)f=F(X);

其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量，其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题，基本步骤分三步：二、非线性规划问题及其Matlab当前27页，总共59页。3）建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon，命令的基本格式如下：

(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)

(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)

(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)

(6)[x,fval]=fmincon(...)

(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)

(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)输出极值点M文件迭代的初值参数说明变量上下限当前28页，总共59页。注意：[1]fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为’on’），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。[2]fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。[3]fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。当前29页，总共59页。1．先建立M文件fun2.m,定义目标函数:

functionf=fun2(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x1+x2=0s.t.1.5+x1x2-x1-x20-x1x2–10

02．再建立M文件mycon2.m定义非线性约束：

function[g,ceq]=mycon2(x)g=[1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];ceq=[];例2当前30页，总共59页。3．主程序youh2.m为:x0=[-1;1];A=[];b=[];Aeq=[11];beq=[0];vlb=[];vub=[];[x,fval]=fmincon('fun2',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon2')MATLAB(youh2)4.运算结果为：

x=-1.22471.2247fval=1.8951当前31页，总共59页。1．先建立M-文件fun3.m定义目标函数:

functionf=fun3(x)f=-2*x(1)-x(2);2．再建立M文件mycon3.m定义非线性约束：

function[g,ceq]=mycon3(x)g=[x(1)^2+x(2)^2-25;x(1)^2-x(2)^2-7];ceq=[];

例3当前32页，总共59页。3.主程序youh3.m为:

x0=[3;2.5];VLB=[00];VUB=[510];[x,fval,exitflag,output]=fmincon('fun3',x0,[],[],[],[],VLB,VUB,'mycon3')MATLAB(youh3(fun3))当前33页，总共59页。4.运算结果为:

x=4.00003.0000fval=-11.0000exitflag=1output=iterations:4funcCount:17stepsize:1algorithm:[1x44char]firstorderopt:[]cgiterations:[]

返回当前34页，总共59页。当前35页，总共59页。建模案例：投资的收益和风险(1998A)当前36页，总共59页。二、基本假设和符号规定当前37页，总共59页。1.总体风险用所投资的Si中最大的一个风险来衡量，即：三、模型的建立与分析当前38页，总共59页。3.建立模型双目标模型为：当前39页，总共59页。4.模型简化即模型为：当前40页，总共59页。当前41页，总共59页。四、模型1的求解siri

（%）qi

（%）pi

（%）ui

（元）S0（银行）5000S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540将n=4,M=1,及平均收益率ri,

风险损失率qi,费率

pi代入模型1得：当前42页，总共59页。

由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=0开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序如下：当前43页，总共59页。a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.0451.065];beq=[1];A=[00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026];b=[a;a;a;a];vlb=[0,0,0,0,0];vub=[];[x,val]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=x'Q=-valplot(a,Q,'.');axis([00.100.5]);holdona=a+0.001;endxlabel('a'),ylabel('Q')ToMatlab（xxgh5）模型1的MATLAB程序：当前44页，总共59页。a=0.006计算结果：当前45页，总共59页。4.在a=0.006附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少时，利润增长很快。在这一点右边，风险增加很大时，利润增长很缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，大约是a*=0.6%，Q*=20%，所对应投资方案为:

风险度

收益

x0

x1

x2x3

x40.00600.201900.24000.40000.10910.22123.曲线上的任一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该风险水平下的最优投资组合。当投资越分散时，投资者承担的风险越小，这与题意一致。即:冒险的投资者会出现集中投资的情况，保守的投资者则尽量分散投资。1.风险大，收益也大。模型1的结果分析当前46页，总共59页。此模型又可改写为模型2的求解：当前47页，总共59页。由于k是任意给定的盈利，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的盈利.我们从k=0.05开始，以步长△k=0.01进行循环搜索，编制程序如下：模型2的求解：当前48页，总共59页。k=0.05whilek<0.26/1.01;C=[000001];A=[00.025000-1;000.01500-1;0000.0550-1;00000.026-1];B=[0;0;0;0];Aeq=[0.050.270.190.1850.185,0;11.011.021.0451.065,0];Beq=[k;1];Vlb=[0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros(6,1);Vub=[];[x,fval]=linprog(C,A,B,Aeq,Beq,Vlb,Vub);模型2的MATLAB求解：当前49页，总共59页。kQ=fvalx=x'plot(k,Q,'m.')axis([00.500.05])xlabel('收益k')ylabel('最小风险度Q')title('最小风险度Q随收益R的变化趋势图')holdonk=k+0.01;gridonend模型2的MATLAB求解：当前50页，总共59页。模型2的结果分析：当前51页，总共59页。此模型又可改写为模型3的求解：当前52页，总共59页。模型3的求解：当前53页，总共59页。s=0whiles<1;C=[-0.05*(1-s),-0.27*(1-s),-0.19*(1-s),-0.185*(1-s),-0.185*(1-s),s];A=[00.025000-1;000.01500-1;0000.0550-1;00000.026-1];B=[0;0;0;0];Aeq=[11.011.021.0451.065,0];Beq=[1];Vlb=[0;0;0;0;0;0];%orVlb=zeros