6.3.5平面向量数量积的坐标表示教学设计-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

2/5§6.3.5平面向量数量积的坐标表示一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第3节第五课时的内容．由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养.二、目标和目标解析目标：（1）掌握平面向量数量积坐标表示及模、夹角的公式.（2）能用公式求向量的数量积、模、夹角．（3）掌握两个向量垂直的坐标判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.目标解析：（1）利用平面向量正交分解将向量用基底表示，利用数量积的运算律计算，注意到单位向量的数量积为1，推导出向量数量积的坐标表示．（2）利用数量积的坐标公式，将数量积的性质用坐标表示出来，得到模、夹角、垂直的坐标表示.（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在平面向量数量积的坐标表示的教学中，从已知向量的坐标推导平面向量数量积的坐标是进行数学推理教学的很好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：平面向量数量积坐标表示及模、夹角公式．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：研究向量数量积运算的坐标表示是本节课的第一个教学问题．解决方案：利用正交分解表示向量，结合数乘向量的运算律推导出结论．2.教学问题二：用公式求向量的数量积、模、夹角及垂直问题的证明是本节课的第二个教学问题．解决方案：公式变形推导，通过数量积性质的复习，结合数量积的坐标运算推导出结论．基于上述情况，本节课的教学难点定为：平面向量数量积的应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到平面向量数量积的坐标表示，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中以问题串的形式引导学生探究，可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视平面向量数量积的坐标表示，让学生体会数学推理的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图回顾前知引出新知[问题1]平面向量的数量积(内积)的定义？[问题2]两个向量的数量积的性质？[问题3]在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？教师1：提出问题1．学生1：.教师2：提出问题2．学生2：．教师3：提出问题3．学生3：由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课.建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力.探索交流解决问题[问题4]已知两个非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎样用向量的坐标表示a·b？[问题5]若a＝（x，y），如何计算向量的模|a|？[问题6]若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量的模？[问题7]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b？[问题8]已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a，b的夹角呢？教师4：提出问题4．学生4：所以教师5：提出问题5．学生5：|a|＝eq\r(x2＋y2)．教师6：提出问题6学生6：（两点间的距离公式）教师7：提出问题7.学生7：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0教师8：提出问题8.学生8：设θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).教师9：一起来梳理总结一下这部分内容.学生9：平面向量数量积的坐标表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．平面向量的模与夹角的坐标表示：(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2)．(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))．(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养.典例分析巩固落实1.平面向量数量积的运算例1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝eq\f(1,2)MC，BN＝eq\f(1,2)BC，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝________.2.平面向量模长的坐标运算例2.已知|a|＝2eq\r(13)，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.3.平面向量夹角的坐标运算例3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).求向量a与b夹角的余弦值.4.向量垂直的坐标运算例4.已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq\o(AD,\s\up6(→))|与点D的坐标.[课堂练习]1.已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝________．2.已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.教师10：完成例1.学生10：eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)))＝0＋eq\f(1,2)·22＋eq\f(1,3)·32＋eq\f(1,3)·0＝5.教师11：完成例2.学生11：设a＝(x，y)，则由|a|＝2eq\r(13)，得x2＋y2＝52.①由a⊥b，解得2x－3y＝0.②联立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－6，,y＝－4.))所以a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，所以|a＋b|＝eq\r(65).教师12：完成例3.学生12：设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cosθ，∴cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(1,\r(2)×5)＝eq\f(\r(2),10).教师13：完成例4.学生13：设D点坐标为(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2).∵D在直线BC上，即eq\o(BD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①又∵AD⊥BC，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②由①②可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(（1－2）2＋（1＋1）2)＝eq\r(5)，即|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，点D的坐标为(1，1).教师14：布置课堂练习1、2．学生14：完成课堂练习，并核对答案．课堂小结升华认知[问题9]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1．已知a＝(1，－1)，b＝(2，3)，则a·b＝()A．5B．4C．－2D．－12．已知a＝(－2，1)，b＝(x，－2)，且a⊥b，则x的值为()A．－1B．0C．1D．23．平行四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，2)，则eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))等于()A．－4B．