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文档简介

在很短的时间内,它们的变化都是很微小的。即：当自变量的改变量很微小时，函数值的变化也很小。

在实际问题中所遇到的函数往往具有这样的特点：因变量随自变量的变化而连续不断地变化。例如：温度的变化，运动物体的位移，等等。具有这种特点的函数就是连续函数。如何从数量关系上来刻画这种“连续不断地变化”的特点呢？可以用极限来给出其定义。二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点第一章一、函数连续性的定义变量的增量

设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域U(x0，δ)内有定义称△y=f(x0+△x)-f(x0)为函数y的增量

在邻域U(x0，δ)内若自变量x从初值x0变到终值x1

则称△x=x1-x0为自变量x的增量

△x△y讨论:

如何用e-d语言叙述函数的连续性定义？

e>0

d>0

当|x-x0|<d

有|f(x)-f(x0)|<e提示:函数的连续性定义

设函数

y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义如果那么就称函数

y=f(x)在点x0处连续

注:连续函数

在区间上每一点都连续的函数叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续例如，多项式函数P(x)在区间(-+)内是连续的

这是因为函数P(x)在(-+)内任意一点x0处有定义并且

如果区间包括端点那么函数在右端点连续是指左连续在左端点连续是指右连续

在闭区间上的连续函数的集合记作例1

证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.故符号函数

y=sgnx

在点

x=0处不连续.证明：证明：连续在在二、函数的间断点(1)函数(2)函数不存在;(3)函数存在,但不连续:设在点的某去心邻域内有定义,则下列情形这样的点之一,函数f(x)在点虽有定义,但虽有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.（演示）（演示）（演示）（演示）显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.内容小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式●●●哎呀,不好!有个洞,还没有支撑，我掉下去了!!!注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G可去间断点.●●●哎呀,太高了!够不着，又有个洞,我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G可去间断点.●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆着了!!!●●注意到：这种间断点称为可去间断点.正好，连上了，我和其他的点连上了！G可去间断点.●●哎呀,前不着村，后不着店的，就是能单边撑着，也靠不住啊，我还是掉下去了!!!●注意到：这种间断点称为跳跃间断点.

这点放哪儿能接上呢？●G跳跃间断点●：Hi,

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