概率论与数理统计课程教学大纲

/《概率论与数理统计》课程教学大纲（2002年制定2004年修订）课程编号：英文名：ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics课程类别：学科基础课前置课：高等数学后置课：计量经济学、抽样调查、试验设计、贝叶斯统计、非参数估计、统计分析软件、时间序列分析、统计预测与决策、多元统计分析、风险理论学分：5学分课时：85课时修读对象：统计学专业学生主讲教师：杨益民等选定教材：盛骤等，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2001年（第三版）

课程概述：本课程是统计学专业的学科基础课，是研究随机现象统计规律性的一门数学课程，其理论及方法与数学其它分支、相互交叉、渗透，已经成为许多自然科学学科、社会与经济科学学科、管理学科重要的理论工具。由于其具有很强的应用性，特别是随着统计应用软件的普及和完善，使其应用面几乎涵盖了自然科学和社会科学的所有领域。本课程是统计专业学生打开统计之门的一把金钥匙，也是经济类各专业研究生招生考试的重要专业基础课。本课程由概率论与数理统计两部分组成。概率论部分侧重于理论探讨，介绍概率论的基本概念，建立一系列定理和公式，寻求解决统计和随机过程问题的方法。其中包括随机事件和概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理等内容；数理统计部分则是以概率论作为理论基础，研究如何对试验结果进行统计推断。包括数理统计的基本概念、参数统计、假设检验、非参数检验、方差分析和回归分析等。教学目的：通过本课程的学习，要求能够理解随机事件、样本空间与随机变量的基本概念，掌握概率的运算公式，常见的各种随机变量（如0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）的表述、性质、数字特征及其应用，一维随机变量函数的分布、二维随机变量的和分布、顺序统计量的分布。理解数学期望、方差、协方差与相关系数的本质涵义，掌握数学期望、方差、协方差与相关系数的性质，熟练运用各种计算公式。了解大数定律和中心极限定量的内容及应用，熟悉数据处理、数据分析、数据推断的各种基本方法，能用所掌握的方法具体解决所遇到的各种社会经济问题，为学生进一步学习统计专业课打下坚实的基础。教学方法：本课程具有很强的应用性，在教学过程中要注意理论了解实际，从实际问题出发，通过抽象、概括，引出新的概念。由于本课程是研究随机现象的科学，学生之前从未接触过，学习起来会感到难度较大，授课时应突出重点，讲清难点。要使学生明白，本课程主要研究哪些方面的问题，从何角度、用何原理和方法进行研究的，是怎样研究的，得到哪些结论，如何用这些方法和结论处理今后遇到的社会经济问题。在教育中要坚持以人为本，全面体现学生的主体地位，教师应充分发挥引导作用，注意随时根据学生的理解状况调整教学进度。授课要体现两方面的作用：一是为学生自学准备必要的理论知识和方法，二是激发学生学习兴趣，引导学生自学。在教学中要体现计算机辅助教学的作用，采用多媒体技术，提高课堂教学的信息量。通过课堂计算机演示实验，帮助学生加深对概念的理解。每次课后必须布置较大数量的思考题和作业，并加强课外辅导和答疑。各章教学要求及教学要点概率论的基本概念课时分配：13课时教学要求：1、了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算。2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式。3、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。教学内容：随机试验、随机事件与样本空间

。

事件的关系与运算、

完全事件组

。

概率的概念、

概率的基本性质

、

概率的基本公式

。等可能概型

（古典概型）、

几何型概率。

条件概率

、全概率公式、贝叶斯公式。

事件的独立性

、

独立重复试验。思考题：事件A表示三个人对某问题的回答中至少有一人说“否”，B表示三个人对某问题的回答都说“是”。试问：事件AB、AB各表示什么涵义？社会经济现象是否只分成确定性现象和随机现象？“某天的天气状况”是否属于这两类现象？试举出至少三种不属于这两类现象的社会经济现象。随机事件与集合的对应关系是怎样的？对立事件和不相容事件有何区别？全概率公式和贝叶斯公式有何区别，各自能解决什么问题？“小概率事件”是否不会发生？“概率为零的事件”是否必然是不可能事件？第二章随机变量及其分布课时分配：10课时教学要求：1、理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量相了解的事件的概率。2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。3、了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(μ，)、指数分布及其应用。根据自变量的概率分布求其简单函数的概率分布。教学内容：随机变量及其分布函数的概念及其性质。离散型随机变量及其分布律。连续型随机变量及其概率密度。常见随机变量的概率分布。

随机变量的函数分布。思考题：引入随机变量的意义何在？如何用微积分的工具来研究随机试验？分布函数有哪些性质？离散型随机变量的分布律有哪些性质？若有一组数，它们是不是某个离散型随机变量的概率分布？二项分布何时取得极大值？其极大值是什么？什么类型的实际问题可以用二项分布来研究？如何解决二项分布的计算问题？什么类型的实际问题可以用泊松（Poisson）分布来研究？指数分布的密度函数在不同的教材上有不同的定义，它们的区别何在？连续型随机变量的概率密度有哪些性质？正态分布N(μ，)与标准正态分布的分布函数之间有何了解？如何利用标准正态分布来计算正态分布N(μ，)落在某个区间的概率？什么是正态分布的“3法则”？如何利用“3法则”来研究实际问题？若随机变量X的密度函数不单调，如何求密度函数？第三章多维随机变量及其概率分布课时分配：12课时教学要求：1、理解二维随机变量的概念、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形式：离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布；连续型联合概率密度、边缘密度和条件密度。会利用二维概率分布求有关事件的概率。2、理解随机变量的独立性概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。3、掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的联合概率密度，理解其中参数的概率意义。4、会求两个随机变量的简单函数（和、顺序统计量）的分布。教学内容：二维随机变量及其概率分布

。二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布。

二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，常用二维随机变量的概率分布。

随机变量的独立性和相关性。

两个随机变量函数的分布。思考题：二维随机变量概率分布和相应的两个一维随机变量的概率分布间有何了解？如何用一张概率分布表同时表示二维随机变量的联合分布律、边缘分布律？能否同时表示两个条件分布律？二维均匀分布的联合概率密度与一维均匀分布的概率密度有何共性？如何由此推出三维及n维随机变量的联合概率密度？二维正态分布的联合概率密度和相应的两个一维正态分布的概率密度间有何了解？二维正态分布的联合概率密度各参数的涵义是什么？何时相应的两个一维正态分布是相互独立的？如何确定条件密度表达式的函数定义域？设某离散型随机变量与某连续型随机变量是相互独立的，如何求它们的和分布？哪些独立随机变量具有可加性？随机变量的独立性与事件的独立性有何区别？第四章随机变量的数字特征课时分配：12课时教学要求：1、理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数字特征基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布（如0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布等）的数字特征。2、

会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的概率分布求其函数的数学期望。3、了解切比雪夫不等式及其应用。教学内容：随机变量的数学期望（均值）、随机变量函数的数学期望

。方差、标准差及其性质，切比雪夫（Chebyshev）不等式。协方差、

相关系数及其性质。

矩、协方差矩阵。思考题：数学期望和方差的统计意义是什么？如何求一维与二维随机变量函数的期望？写出0－1分布、二项分布、泊松（Poisson）分布、均匀分布、正态分布、指数分布的数学期望和方差。数学期望和方差有哪些重要性质？其中哪些性质需要“相互独立”这一前提条件？切比雪夫不等式的表达式是什么？它的证明过程中关键步骤是什么？它在处理实际问题中有何作用？方差与协方差的实用计算公式是什么？不相关与相互独立之间的关系是怎样的？若随机变量X与Y不相关，它们是否必然相互独立？若随机变量X与Y是正态分布，结论怎样？若随机变量X与Y的相关系数r=0，是否说明X与Y之间没有关系？举例说明之。事件A与B的相关系数是如何定义的？写出其定义式。10、n维正态分布有哪些重要性质？第五章大数定律和中心极限定理课时分配：4课时教学要求：1、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）。2、了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维－林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）。教学内容：1、几乎处处收敛、依概率收敛、依分布收敛。2、切比雪夫大数定律、

伯努利大数定律、

辛钦（Khinchine）大数定律。3、

棣莫弗－拉普拉斯（De

Moivre－Laplace）定理

、

列维－林德伯格（Levy－Lindberg）定理。思考题：1、几乎处处收敛、依概率收敛、依分布收敛之间的关系是怎样的？2、切比雪夫大数定律、

伯努利大数定律、

辛钦（Khinchine）大数定律成立的条件是什么，它们之间的差别是什么？3、哪个大数定律可以用来说明频率的稳定性？试说明之。4、棣莫弗－拉普拉斯定理和列维－林德伯格定理之间的关系是怎样的？如何用列维－林德伯格定理来近似求独立同分布随机变量的和分布？第六章样本及抽样分布课时分配：6课时教学要求：理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解

分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。教学内容：总体、个体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差和样本矩。

分布、t分布和F分布，分位数，正态总体的常用抽样分布。思考题：总体和随机变量之间有何关系？什么是简单随机样本？数理统计中所说样本空间和随机变量X的样本空间是否同一概念？为何能用样本观察值推断总体的状况？它依据的原理是什么？什么叫统计量？常用的统计量有哪些？

分布是怎样定义的？它有哪些重要的性质？它的主要作用是什么？写出它的数学期望和方差。t分布是怎样定义的？它有哪些重要的性质？它的主要作用是什么？写出它的数学期望和方差。F分布是怎样定义的？它有哪些重要的性质？它的主要作用是什么？写出它的数学期望和方差。随机变量的上侧分位数和双侧分位数是怎样定义的？如何通过查表求标准正态分布、

分布、t分布和F分布的分位数？关于正态总体的样本均值、样本方差有何重要结论？第七章参数估计课时分配：8课时教学要求：理解参数的点估计、估计量与估计值的概念。掌握矩估计法（一阶、二阶矩）和最大似然估计法。了解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并会验证估计量的无偏性。了解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。教学内容：点估计的概念、估计量与估计值。矩估计法、

最大似然估计法。估计量的评选标准。区间估计的概念。单个正态总体的均值和方差的区间估计。两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。（0-1）分布参数的区间估计。单侧置信区间。思考题：参数估计主要处理在社会经济中遇到的什么类型的问题？矩估计法的优点和缺陷各是什么？

最大似然估计法依据的原理是什么？写出一般情况下最大似然估计法的解题步骤。这个步骤对服从均匀分布的总体是否适用？如何用最大似然估计法对服从均匀分布的总体进行点估计？估计量有哪几个评选标准？其中最基本的标准是什么？为何要进行参数的区间估计？它与点估计相比有何优越性？写出确定参数的置信区间的一般步骤。单个正态总体均值的区间估计用到哪几种抽样分布？单个正态总体方差的区间估计用到哪种抽样分布？10、两个正态总体的均值差的区间估计用到哪几种抽样分布？11、两个正态总体方差比的区间估计用到哪种抽样分布？第八章假设检验课时分配：7课时教学要求：1、

理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。2、了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验，会用公式进行单边及双边假设检验。了解分布拟合检验和秩和检验概念与步骤。教学内容：显著性检验。单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。假设检验的两类错误，样本容量的选取。区间估计与假设检验之间的关系。分布拟合检验。秩和检验。思考题：假设检验分为哪两种类型？假设检验主要处理在社会经济中遇到的什么类型的问题？假设检验依据的原理是什么？确定双边假设检验与单边假设检验的原则是什么？对单边假设检验如何确定备择假设？写出显著性检验的一般步骤。单个正态总体均值的假设检验用到哪几种抽样分布？它和区间估计有何异同？单个正态总体方差的假设检验用到哪种抽样分布？它和区间估计有何异同？两个正态总体均值差的假设检验用到哪几种抽样分布？它和区间估计有何异同？10、两个正态总体方差比的假设检验用到哪几种抽样分布？它和区间估计有何异同？11、什么叫施行特征函数？如何用它来描述犯“取伪”错误的概率？12、对单边及双边假设检验，为同时控制犯两类错误的概率，其必要样本容量应取多大？分别写出其表达式。13、假设检验和区间估计之间的差别何在？14、

拟合检验法、偏度、峄度检验法、秩和检验法各自适用于检验什么问题？如何提出原假设？第九章方差分析和回归分析课时分配：9课时教学要求：1、了解方差分析的基本思想，试验因素和水平的意义。2、掌握平方和的分解，会作出方差分析表。3、了解回归分析的基本思想。4、掌握一元线性回归，了解可化为线性回归的一元非线性回归和多元线性回归。5、了解线性相关性检验和利用回归方程进行预测和控制。教学内容：1、单因素和双因素试验的方差分析。2、一元线性回归、非线性回归、多元线性回归。思考题：方差分析主要处理在社会经济中遇到的什么类型的问题？写出方差分析的一般步骤。如何进行平方和的分解？总偏差平方和、误差平方和、效应平方和的统计特性怎样？它们的自由度之间有何关系？回归分析主要处理在社会经济中遇到的什么类型的问题？如何用最小二乘法求一元线性回归方程的系数？相关系数与回归系数间有何关系？如何将特殊的非线性回归转化为线性回归？如何用回归方程进行预测与