5运用空间向量解题的三技巧

#运用空间向量解题三技巧524500广东省吴川市第一中学331信箱柯厚宝从引入空间向量后,立体几何问题的解题思路变得明确、有序.但是,也不能认为它是万能的,有时用不好,还可能弄巧成拙,招来繁重的运算量,使得解题步步艰难.下面结合例题谈三点技巧,供同学们参考.一、能写出的,直接写出建立空间直角坐标后,有些向量可以通过观察后直接写出的,这时我们不防将其直接写出,避免一些不必要的无用计算.例1已知三棱柱ABC—ABC的三111B1视图如图所示，其中主视图AA例1已知三棱柱ABC—ABC的三111B1视图如图所示，其中主视图AA1B1B和左视图BBCC均为矩形,在俯视图4ABC中,111113AC=3AB=5cos/A=-ii,ii,i5.CA1Bi主视图CC俯视图⑴在三棱柱ABC—A1B1C1中,求证:BC1AC；俯视图(2)在三棱柱ABC-A1B1c1中,若D是底边AB的中点，且BB1=BC,求二面角B-CD-B的余弦值.1分析:△ABC中，运用余弦定理得BC=4,知/ACB=90，进而可证BC1AC；建TOC\o"1-5"\h\z111 11 111立空间直角坐标系后可求二面角B-CD-B1的余弦值. a解:(1)(略);(2)由(1)知，以C为原点建立空间直角坐标系， B14 广A1如图所示，则C(0,0,0),D(2,3,0),B1(4,0,4),CD=(2,3,0),CB=(4,0,4).设平面CDB的法向量为n=(x,y,z), 4一D―21 1'CD-n=0 14x+3y=0由| ,得| 八，令x=-3，得y=4,z=3,n=(-3,4,3).CB-n=0 〔x+z=01又平面ABC的法向量为又平面ABC的法向量为nf=(0,0,1),cos<n,n>=n'n' 3n|'n'\=y/34x134—一— 3J34,一面角B-CD-B1的余弦值为二.评注:平面ABC的法向量是经过观察后直接得到的，从而回避了大量的无用重复运算，使得解答简洁明了.

、能猜出的,先猜后证解题时,充分挖掘图形的结构特征,对线线、线面关系进行大胆的猜测与论证,采取“先猜后证”的策略,常可收到很好的效果.例2长方体ABCD—ABCD中,AA=；2,TOC\o"1-5"\h\z1111 1AB=BC=2,0是底面对角线的交点.(1)求证:B1D1//平面BC1D;(2)求直线AC^与平面BC1D所成的角的大小.分析：由BD//BD可证BD//平面BCD；由图我们猜测AO1平面BCD，建立空11 11 1 1 1间直角坐标系,稍加证实即可进一步求所求的角的大小.解:(1)(略);(2)以D为原点建立空间直角坐标系，则D(0,0,0),0(1,1,0),A1(2,0,J2),C(0,2,、.2).则AO=(-1,1,-,①,DC=(0,2,、2),DO=(1,1,0),1 1 1・•・AO-DC=0,AO-DO=0,于是AO1平面BCD,11 1 1 1・•・/OCA为直线AC与平面BCD所成的角.而CO=(1,-1,<2),CA=(2,-2,0),11 11 1 1 11得cos/OCA11得cos/OCA11CO-CACO卜^1A142义2J2豆，二/OCA

2. 11二45评注:本题猜得A1O1平面BC1D后,直接实施验证，回避了繁杂的法向量的求解，使得解答简明流畅.三、能取整数的,整数优先求平面的法向量时,通常要求出一个三元一次方程组的一组解,在寻找这组解的过程中,若能以“整数解优先”为取解原则,常可有效的降低运算量,进而顺利地解决问题.例3如图,已知点P在圆柱OO的底面圆O上,AB为圆O的直径.1(1)求证:BP1A1P；(2)若圆柱OO1的体积V=12兀,OA=2,/AOP=120°,求二面角P-AB-A的余弦值.1分析:(1)不难得证;对于(2)，先由题意求AA1，再以A为原点建立空间直角坐标系可得解.解:(1)略;(2)如图,以A为原点，分别以AB,AA1为j,z轴,并以建立空间直角坐标系.由题意V=k-OA2•AA=4兀-AA=12兀,11解得AA1=3.易得相关点的坐标分别为：A(0,0,0),P(弗,3,0),A1(0,0,3),B(0,4,0).

・•・AP=・•・AP=(3,3,—3),AB=(0,4,—3)，设平面A1BP的法向量为n=(x,y,z),TOC\o"1-5"\h\zn-AP=0 [出x+3y—3z=0 广由\ 1 ,得\ ，令z=4,则y=3,x=6n-A]B=0 14y-3z=0・•・n=(<3,3,4)，又平面A1AB的法向量为%=(1,0,0),n-n<3 <21cos<n,n〉= l=