课件plecture第五章二级相变的平均场理论

第五章二级相变的平均场一微观S1212S1212S122S2212

1S2SS2J1SS1

S1SS22 2 22

其中SS1

HJSiSjSiSj,SiSi𝑖𝑗𝑆SiSj,SiSi𝑆𝑖=𝑆𝑆𝑖′HJ如果𝑆𝑖是3如果𝑆𝑖是2维矢量,上面的模型则称为𝑥−𝑦模型.如果𝑆𝑖是1维矢量,上面的模型则称为Ising模型.对Ising𝑆𝑖=𝜎𝑖=±1,这时模型一般写为:HJij,iHJij

Zexp[H HJi,jij,i1,Ji,i,

0,Ji,jJi, 𝑖,𝑗是任意2个自旋指标,这个模型称为Sherington-如果模型不能精确求解,统计物理发展出很多方法.如果是2阶相变,可以用重整化群方法来.对1当然还有一个重要的方法是数值模拟方法.但是数值Ising模型的平均场近 i, 其中,𝜇是磁矩,𝐵是外磁场.考虑𝐽>0,对应的系统是铁𝐽<0对应的系统是反铁磁系统,我们在本课程ℎ>0(如果ℎ<0,可以通过变换𝜎𝑖→−𝜎𝑖,ℎ→−ℎ>0).Gibbs通过考虑把热库和系统的组合作为一个孤立系统，热𝐻,𝑌𝑖为广义外力,𝑦𝑖为广义坐标.设热源温度固定为𝑖平衡，系统温度和热源相等，系统的广义外力和外界施加的外力𝑌𝑖相等.状态处于某微观态𝑠,它出现的几率为𝜌𝑠𝐸1𝑦𝑖.和巨正则系综同样的推导得出:sE1,yi2E2=2EE1YiyiYiyi为对系统做的功.根据能量守恒：E2E1EYisE1,yi2EE1Yiyi

EEY

exp

Yy;

iE

exp

Y

;

i

exp

Y

; Es,

i

iGT,N,YiTlogZ;dGSdT对P,V系统yV,Y N kTlnZ kTlni i

在低况下,系统处于较低能量态,如ℎ>0，对应的𝜎𝑖→1.在𝑇=0𝜎𝑖=1.因而当温度较低时候,𝜎𝑖的统计平均应该有1 m𝑚为磁化强度.这种𝑚0ℎ<0,在 况下，𝜎𝑖=−1,在 −1 =𝑚< 一),𝜎𝑖=1或者𝜎𝑖=−1.得到零外场的正确的方法是,算𝑍𝑇,ℎ ,然后取T→0,ℎ→0.但是ℎ→0+,还是ℎ→0−,分别得到𝜎𝑖=1,和𝜎𝑖= 形下T→∞,𝜎𝑖=1或者𝜎𝑖=−1出现的几率 m𝑐, i𝐻𝑀𝐹

hN

i kTln

sinh

h

442--24--

TcJd/

T如果𝑇>𝑐,只有一个解𝑚0.如果𝑇<𝑐,有二个不为零的解和一个为零的解.可以证明,零解对应的不是自由能极小值,故不需考虑.当温度小于𝑐,但接近𝑐,𝑚很小,我们可以展开自恰方程:

1T mtanhcmcm

cm 3 m

T3Tc3Tc3Tc3Tc3Tcm00

TTT

TTm T

Jdmi i TcT NJd3 ,T

00

T

TT

C

0 0

T平均场理论给出𝛼0.

CT 如果有外磁场,对任何温度𝑚0.如果ℎ𝑇𝑐, 1T c在小磁场，及TT： c1Tc c

1 T

ℎ高阶相，ℎ𝑚2也是高阶相可以忽略(相比 m3h 在临界温度附近,实验确实发现𝑚1/𝛿.平均场理论给出𝛿=3,平均场的𝛿在数值上和实验测量得到的𝛿的如果𝑇<𝑇𝑐,外磁场为零,有𝑚≠0 1

T hcm hcm c3c 3 1T c

m(T)33m(T

T 1m(T1TT

3T c

m(T)T 3 1T 3h0项m(Tcm(T

c

m(T

3T T

T 2h1项m(Tcm(T2

c

m1(T)m0(T)c

m(T) 0m(T)20

T T T2 TcTcm(T)2 T

m0(T (1m(T) T (1T T

T 1 cc

c

T T

1 1TT

c T 磁化率为：TT，m c c理论.如果系统处于高 一般都不错.如果空间维度低,如1 一维Ising模型的严周期边界

HJii1 N⊗…1N⊗…12⊗3⊗4⊗HJ

2

N NZN

J

Nexp

J

h

M1,1

exp

J

expJ

expJh

N NMN

1

0

MU

1 N N

expJ

expJ

1

N

m kT N

在非零温,当ℎ→0,上式m→0.故在非零 m1

考虑对平均场计算的修正,修正 NN

FkTln kTln2coshJN

ijij

NNN NN N exp

J i i

N

ZZ

J NjZNJ Ji

i i

l1N