第二十一讲空间向量在立体几何中的应用原卷版

第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用【考点梳理】1.法向量的求解=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一个平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有．第一步：写出平面内两个不平行的向；第二步：那么平面法向量，满足．第三步：化解方程组令其中一个为1，求其它两个值.2.判定直线、平面间的位置关系=1\*GB3①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．若∥，即，则；若，即，则．=2\*GB3②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．若∥，即，则；若，即，则．3.平面与平面的位置关系平面的法向量为，平面的法向量为．若∥，即，则；若⊥，即，则⊥．4.空间角公式．（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则．（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．（3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中．5.点到平面的距离为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线．【典型题型讲解】考点一：直线与平面所成的角【典例例题】例1．（2022·广东茂名·一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.(1)证明：；(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所成角的正弦值.【方法技巧与总结】设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则．【变式训练】1．（2022·广东惠州·一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将△ABE沿BE折叠，使得平面ABE⊥平面BCDE（如图2）.(1)求证：AF⊥CD；(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.2．（2022·广东广州·一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，，，.(1)求证：平面平面ACD；(2)若，，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.3．（2022·广东汕头·一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，为底面直径，，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点.(1)是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)当为何值时，直线与面所成的角的正弦值最大.考点二：二面角【典例例题】例1．（2021·广东佛山·一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，，，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹．(1)证明底面；(2)设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值．【方法技巧与总结】设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为．【变式训练】1．（2022·广东·一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线.(1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.2．（2022·广东湛江·一模）如图，在三棱柱中，平面平面，，，四边形是菱形，，是的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.3．（2022·广东深圳·一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，，，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点．(1)求证：平面ABE；(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值．4．（2022·广东广东·一模）如图，在四棱锥中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，，，，M，N分别是AB，AD的中点．(1)证明：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角的大小为60°，求四棱锥的体积．5．（2022·广东韶关·一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，.(1)求证：；(2)点为棱上一点，若，求二面角的余弦值.6.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，，点E是线段BC（包括端点）上的动点．（1）探究点E位于何处时，平面平面PED；（2）设二面角的平面角的大小为，直线AD与平面PED所成角为，求证：考点三：点到平面距离【典例例题】例1．（2022·广东中山·高三期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是的中点，且．（1）求三棱锥的表面积；（2）求A到平面的距离．例2.在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．（1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；（2）若，求点D到平面AEF的最大距离．【方法技巧与总结】如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或【变式训练】1．（2022·广东梅州·二模）如图①，在直角梯形中，，，，，､分别是，的中点，将四边形沿折起，如图②，连结，，.(1)求证：；(2)当翻折至时，设是的中点，是线段上的动点，求线段长的最小值.2.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．3.如图，矩形和梯形，，平面平面，且，过的平面交平面于．（1）求证：与相交；（2）当为中点时，求点到平面的距离：4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1．（1）求与平面所成角的正弦值；（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由．【巩固练习】一、单选题1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（

）个．①若E为的中点，则直线平面②三棱锥的体积为定值③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为④过点，C，E的截面的面积的范围是A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题2．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列说法正确的是（

）A．点关于平面对称的点的坐标为B．若平面的法向量，则直线平面C．若，分别为平面，的法向量，则平面平面D．点到直线的距离为3．直三棱柱，中，，，点D是线段上的动点（不含端点），则（

）A．平面B．与不垂直C．的取值范围为D．的最小值为三、填空题4．如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：①；②；③．以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：___________．5．如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为___________．四、解答题6．如图，在三棱柱中，，．（1）证明：平面平面．（2）设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值．7．如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G，H，现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q．（1）求证：平面平面HGQ；（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值．8.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，，，，四边形是正方形．（1）指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该