奇异边界法中的两种反插技术

-.z奇异边界法中的两种反插技术1)1)10672051.陈文2)2):.〔河海大学工程力学系，****210098〕摘要奇异边界法直接使用根本解做为插值基函数，且源点和配点为同一组物理边界上的离散点，是一种真正的无网格边界离散方法。奇异边界法的核心是通过反插值技术，计算源点强度因子，即插值矩阵的对角线元素。而非对角线元素可以使用根本解直接求得。本文考察了奇异边界法中消除根本解原点奇异性问题的两种反插值技术，对它们做了比较研究；以Laplace和Helmholtz方程为例检验了这些方法，并做了一些数值分析。关键词奇异边界法，根本解，反插值技术引言与基于网格划分的有限元法等方法相比，无网格法由于不需要划分网格，自上世纪90年代兴起了广泛研究的热潮ADDINNE.Ref.{08E9EFFA-1903-45BE-AFB5-47BD40BFA351}[1-3]。无网格法可分为区域型无网格法和边界型无网格法，边界型无网格法只需要一组边界节点来离散求解区域边界，直接借助于边界离散点来构造近似函数，因此受到众多学者的青睐。目前备受关注的边界型无网格法主要包括：根本解法〔methodoffundamentalsolutions:MFS〕ADDINNE.Ref.{3A1602D1-EE10-4CB1-90E0-EEC6FCD5176A}[4-8]、边界节点法〔boundaryknotmethod:BKM〕ADDINNE.Ref.{B080150E-0FA6-41F6-A255-31CA74811DC5}[9,10]、奇异无网格法〔singularmeshlessmethod:SMM〕ADDINNE.Ref.{B0E72E48-CB7D-446F-B8CC-65DD62C0D88A}[11,12]、修正根本解法〔modifiedmethodoffundamentalsolutions:MMFS〕ADDINNE.Ref.{5300B502-A419-4A35-AA10-4B2B0F603E1E}[13]等。根本解法由于数学简单、编程容易和高精度等优点，吸引许多国际力学和数学学者近年来的深入研究。该方法的主要缺点是为了防止控制微分方程根本解的原点奇异性，在物理边界之外引入了虚假边界，而虚假边界的选取随意性较大，在求解复杂几何域问题时容易造成计算不稳定，因此根本解法多用于计算常规几何形状问题。为了防止使用虚假边界，Chen等ADDINNE.Ref.{B080150E-0FA6-41F6-A255-31CA74811DC5}[9,10]提出了边界节点法，使用控制微分方程的非奇异径向基函数一般解代替奇异根本解。该方法在计算二维和三维复杂几何域时，其解的精度和稳定性都很高ADDINNE.Ref.{B080150E-0FA6-41F6-A255-31CA74811DC5}[9,10]，但对于一些控制方程，如Laplace方程等，没有非奇异一般解，从而限制了边界节点法的应用*围。为了抑制以上缺点，Young等ADDINNE.Ref.{B0E72E48-CB7D-446F-B8CC-65DD62C0D88A}[11,12]基于双层势理论提出了一种奇异无网格法，利用去奇异〔desingularization〕技术计算插值矩阵中的对角元素，该方法的缺乏是计算精度不高且需要在物理边界上等间距布点ADDINNE.Ref.{6E5B8502-63EF-4DA6-9AE9-3AAEED9F489E}[14]，难于处理复杂几何区域问题。类似于奇异无网格法，BozidarADDINNE.Ref.{5300B502-A419-4A35-AA10-4B2B0F603E1E}[13]最近提出了修正根本解法，该方法解的精度高于根本解法，并且仅仅需要边界节点信息，然而在计算插值矩阵的对角元素时仍需要积分计算。基于以上研究，ChenADDINNE.Ref.{93B4A145-A7BD-4966-94D5-B6284F28E504}[15]提出了奇异边界法〔singularboundarymethod:SBM〕，该方法利用控制方程的根本解，通过反插值技术(inverseinterpolationtechnique)计算插值矩阵的对角元素，编程简单，是一种真正的无网格法。本文对奇异边界法中的两种反插值技术进展了研究，并将得到的结果与奇异无网格法做了比较。奇异边界法的近似格式本文以二维Helmholtz方程为例描述奇异边界法的根本技术路线：〔1〕〔2〕其中是待求未知量，为波数，是空间坐标，和分别代表计算域及其边界，和为函数。二维Helmholtz方程的根本解是〔3〕这里代表和两点间的欧几里得距离。根据根本解法的原理，以根本解为插值基函数，Helmholtz方程〔1〕的待求函数可以近似为〔4〕其中是边界离散点的数目，为待求插值系数。当配点和源点重叠时，不存在，即产生原点奇异性。为了防止根本解的奇异性，根本解方法的策略是将源点虚拟地布置在物理域以外的虚假边界上，而将配点*i布置在真实的物理边界上，即插值源点和配点是两组完全不同的点。但到目前为止，对于复杂几何域或多连通几何域问题，如何较好地布置虚拟源点以保证计算结果可靠和稳定收敛，仍是根本解方法中一个未能解决的关键问题。奇异边界法不同于根本解方法的关键之处在于，插值源点和配点是同一组物理边界的离散点，因而不存在根本解方法中的虚假边界选取问题。奇异边界法的插值公式为ADDINNE.Ref.{18FD56D2-72BD-4EA0-8EAE-5B91A989FF77}[15]：〔5〕这里是插值点的总数，是待定插值系数。值得注意的是，插值公式(5)和(4)都用根本解为基函数，但插值公式〔5〕在配点和源点重合处，假设了一个源点强度因子〔originintensityfactor〕。将插值公式(5)代入方程〔1〕和〔2〕，令，因为根本解满足控制方程，我们得到下面矩阵形式的边界条件离散代数方程：(6)源点强度因子实际上是插值矩阵的对角线元素。由于根本解的原点奇异性，我们不能够简单地用根本解插值基函数来计算。理想的方法是从数学理论上导出一个计算源点强度因子的公式，但目前这是一个非常有挑战性的数学物理问题。下面我们通过反插值技术来求解源点强度因子。反插值技术〔inverseinterpolationtechnique〕注意到插值公式(5)和离散代数方程(6)中的待求插值系数与边界上的配点分布，边界条件和右边项有关，而源点强度因子仅依赖于边界条件和边界上的配点分布，与右边项无关。因而，我们可以设计一个反插值技术来计算对角线元素。对方程(1)和(2)所描述的Helmholtz有限域问题，在其物理域的边界上布置个配点，在物理域内部布置个计算辅助点。对于有根本解的控制方程，容易发现它们的一些特解。对Helmholtz方程，有许多的简单特解，例如。利用插值公式(5)，我们有 (7)这里，是在边界配点上的影响系数。因为辅助点和配点完全不重叠，因而没有奇异性问题。由方程(7)，我们就可以求得影响系数。这里内部辅助点的个数可以等于或多于边界配点的数目。本文中采取两种方案：方案1——在物理区域内部布置与边界配点相等数目的辅助点〔即〕，可以得到插值方阵；方案2——在物理区域内部布置辅助点的数目多于边界配点数〔即〕，可以得到插值矩阵，需用移动最小二乘近似求解。下一步，我们将计算辅助点换成边界源点，即配点和源点完全重叠在边界上；我们有 (8)这里插值矩阵A的非对角线元素可由公式得到。因而利用方程(7)中求得的系数，我们就能用方程(8)计算出关键的未知对角元素，即源点强度因子。利用上面得到的源点强度因子，我们就可以用边界插值公式(5)，计算具有一样几何形状和控制方程的任意问题。数值算例和讨论为了验证奇异边界法的实际有效性并比较两种反插值技术的可行性，本节中我们用该方法数值检验了Laplace方程和Helmholtz方程问题。当式〔1〕中的时，可以得到Laplace方程 (9)本文所用的平均相对误差定义如下ADDINNE.Ref.{A0CAEFCE-FBBF-448F-80A0-61B0EFE58CDC}[16]： (10)其中当时，，当时，，代表分布在计算域上的检验点的数目。我们在检验点上检验边界奇异法的精度和收敛性。注意奇异边界法是一个边界离散数值方法，计算量最终只涉及了下面各图中所示的边界点数。对Laplace方程和Helmholtz方程问题，这里分别用和做为特解，计算边界源点的源点强度因子。算例1：圆形域上的Laplace算例考虑以原点为中心的单位圆区域，解析解取为。用两种反插值技术以及奇异无网格法〔图中用双层势表示〕计算得到的平均相对误差收敛曲线图如图1所示。方案2所用内部辅助点数为475，检验点数。图1算例1平均相对误差〔RMRSE〕的收敛曲线图从图1我们可以看出用方案1求解的结果精度高且误差收敛曲线收敛性较好；方案2求解的精度较差且误差收敛曲线有高度震荡现象；用奇异无网格法求解的结果精度比方案1精度低，虽然有较好的收敛性，但收敛速度较低。图2为图1误差对应的插值矩阵条件数曲线图，从中我们可以看出方案1和方案2的条件数的变化不规则，随着边界节点数的增加总体有增加的趋势。然而奇异无网格法对应的条件数非常小，且随着边界点数的增加逐渐减小。图2算例1对应的条件数曲线图算例2：方形域上的二维Laplace算例本算例考虑以为中心的正方形区域，方案2所用内部辅助点数441，检验点数。用两种反插值技术及奇异无网格法求解，图3和图4分别给出了对应的误差收敛曲线图和条件数曲线图。图3说明当边界节点数时，方案2和方案1都有较好的收敛性。尽管方案2的精度比方案1的精度略高，但当时，方案2得到的误差收敛曲线产生振荡现象且精度低于方案1。奇异无网格法比方案1的求解结果低一个精度。从图4可以看出，方案1的插值矩阵条件数与求解精度大致成反比例的关系，即插值矩阵条件数增加一个数量级，对应的数值解提高一个精度。同算例1，奇异边界法的插值矩阵条件数非常小且没有明显变化。图3算例2平均相对误差〔RMRSE〕的收敛曲线图图4算例2对应的条件数曲线图算例3:不规则区域上的Helmholtz算例本算例考虑了不规则区域〔图5〕ADDINNE.Ref.{07AA26B6-83E3-4A44-8CC3-4A7324A9A130}[17]上的Helmholtz方程，解析解取为。方案2所用内部辅助点数350，检验点。由于奇异边界法需要对边界节点等间距分布，对图5所示区域难于处理，因此本算例没有给出该方法的结果。图5算例3所用的不规则图形图6和图7分别给出随着边界节点数的增加，平均相对误差和条件数的曲线图。从图6可以看到方案1求得解的收敛性较好，而方案2求得解的收敛曲线有严重的振荡现象。方案2的插值矩阵条件数比方案1的条件数高且随着插值节点数的增加而增大〔图7〕。图6算例3平均相对误差〔RMRSE〕的收敛曲线图图4算例3对应的条件数曲线图结论奇异边界法不需要网格划分和奇异积分、数学简单、编程容易，直接利用控制方程的根本解为基函数，通过反插值技术计算插值矩阵的对角元素，是一种真正的无网格法。本文对奇异边界法中的两种反插值技术进展了研究，通过数值算例比较了两种反插值技术的求解精度及收敛性，并与奇异边界法的结果做了比较。数值结果说明反插值技术方案1，即物理区域内部辅助点数与边界点数一样时，求得解的结果精度较高且收敛性较好。ADDINNE.Bib参考文献1 BelytschkoT,KrongauzY,OrganD,etal.Meshlessmethods:Anoverviewandrecentdevelopments.puterMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,1996,139:3~47.2 NguyenVP,RabczukT,BordasS,etal.Meshlessmethods:Areviewandputerimplementationaspects.MathematicsandputersinSimulation,2008,79:763~813.3*雄，*岩，马上.无网格法的理论及应用.力学进展,2009,39(1):1~36.4 Li*L,ZhuJL.Themethodoffundamentalsolutionsfornonlinearellipticproblems.EnginneringAnalysiswithBoundaryElements,2009,33(3):322~329.5 AntonioJ,TadeuA,GodinhoL.Athree-dimensionalacousticsmodelusingthemethodoffundamentalsolutions.EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2008,32:525~531.6 ChenCS,KarageorghisA,SmyrlisYS.TheMethodofFundamentalSolutions-AMeshlessMethod.2008:DynamicPublishers.7 FairweatherG,KarageorghisA.Themethodoffundamentalsolutionsforellipticboundaryvalueproblems.AdvancesinputationalMathematics,1998,9:69~95.8 PoullikkasA,KarageorghisA,GeorgiouG.Methodsoffundamentalsolutionsforharmonicandbiharmonicboundaryvalueproblems.putationalMechanics,1998,21:416~423.9 ChenW,TanakaM.AMeshless,Integration-Free,andBoundary-OnlyRBFTechnique.putersandMathematicswithApplications,2002,43:379~391.10 ChenW,HonYC.NumericalinvestigationonconvergenceofboundaryknotmethodintheanalysisofhomogeneousHelmholtz,modifiedHelmholtz,andconvection–diffusionproblems.puterMethodsinAppliedMechanicsandEngineering,2003,192:1859~1875.11 YoungDL,ChenKH,LeeCW.Novelmeshlessmethodforsolvingthepotentialproblemswitharbitrarydomain.JournalofputationalPhysics,2005,209:290~321.12 ChenKH,KaoJH,ChenJT,etal.Regularizedmeshlessmethodformultiply-connected-domainLaplaceproblems.EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2006,30:882~896.13 BozidarS.Amodifiedmethodoffundamentalsolutionsforpotentialproblem,inTheMethodofFundamentalSolutions-AMeshlessMethod,C.S.Chen,A.KarageorghisandY.S.Smyrlis,Editors.2008,DynamicPublishers.p.299~321.14 SongRC,ChenW.Aninvestigationontheregularizedmeshlessmethodforirregulardomainproblems.putationalMethodsinEngineeringandSciences,2009(Accepted).15陈文.奇异边界法：一个新的、简单、无网格、边界配点数值方法.固体力学学报,2009(已接收).16 WangFZ,ChenW,Jiang*R.Investigationofregularizedtechniquesforboundaryknotmethod.municationsinNumericalMethodsinEngineering,2009(Accepted).17 ChenCS,ChoHA,GolbergMA.Somementsontheill-conditioningofthemethodoffundamentalsolutions.EngineeringAnalysiswithBoundaryElements,2006,30:405~410.TwoInverseInterpolationSchemesinSingularBoundaryMethodWenChen,FuzhangWang(Departmentofengineeringmechanics,Hohai