备战2019高考数学高中数学破题致胜微方法(函数的周期性)轴对称中心对称与周期函数的关系

对称性和周期性都是函数的重要性质，而这两种性质之间，有没有什么关系呢？今日我们就来经过几个例子，轴对称、中心对称与周期性之间的关系。先看例题例：f(x)是定义在R上的奇函数，fx1f1x，0x1时，fxlog2(x1)，则f(31)等于（）A.0B.1C.2D.1依据已知，由函数为奇函数，能够找到一个对称中心，依据fx1f1x，能够找到函数的一条对称轴即x=1fx1f1x=fx1fx2=fx由周期函数的知识，可知：fx4=fx2f(x)因此函数是以T=4为周期的函数，因此：f31f321f1f11一般规律：若函数f(x)的图象对于点(a,0)和直线x=b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a-b|是它的一个周期；fxf2axfxf2bxf2axf2bxfxf2b2axf

2b

2a

x

f4b

4a

xf

x

f

4b

4a

x整理：若函数f(x)对于直线x=a和直线x=b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期；若函数f(x)对于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a-b|是它的一个周期；若函数f(x)对于点(a,0)和直线x=b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a-b|是它的一个周期；练：f(x)是定义在R上的奇函数，fx2fx，当0x1时，fxx，则f7.5=0.5依据已知，由奇函数我们知道，函数有对称中心为(0,0)又依据fx2fx，函数有一条对称轴为，x=1因此原函数是一个周期函数，且T=4|1-0|=4因此f0.50.5注意：此类周期函数的周期，与轴对称，与中心对称所提到的周期算法不一致！总结：1.假如函数有不一样的对称中心和对称轴，那么它必定是周期函数2.该类函数的周期为T=4|a-b|练习：1.定义域为

R的函数

f

x

知足

f

4x

fx

8

，且

y

fx

8

为偶函数，则

f(x)（）（A）是周期为（C）是周期为

4的周期函数12的周期函数

（B）是周期为8的周期函数（D）不是周期函数2.若函数f(x)在R上是奇函数，且在1，0上是增函数，且f(x2)f(x).①求f(x)的周期；②证明f(x)的图象对于点(2k,0)中心对称;对于直线x2k1轴对称,(kZ);③议论f(x)在(1,2)上的单一性；3.已知函数xyxyf(x)对随意实数x,y均有f(x)f(y)2f()f(),f(0)0，且存在22非零常数c,使f(c)0.1）求f(0)的值；2）判断f(x)的奇偶性并证明；（3）求证f(x)是周期函数，并求出f(x)的一个周期.答案：1.C2.解：①由已知f(x)f(x2)f(x22)f(x4)，故周期T4.②设P(x,y)是图象上随意一点,则yf(x),且P对于点(2k,0)对称的点为P(4kx,y).P1对于直线x2k1对称的点为P2(4k2x,y)∵f(4kx)f(x)f(x)y,∴点P1在图象上,图象对于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x2)f(x)f(x)∴f(4k2x)f(2x)f(x)y∴点P2在图象上,图象对于直线x2k1对称.③设1x1x22，则2x2x11，02x22x11∵f(x)在(1,0)上递加,∴f(2x1)f(2x2)(*)又f(x2)f(x)f(x)∴f(2x1)f(x1),f(2x2)f(x2).因此：f(x2)f(x1)，f(x)在(1,2)上是减函数.3.解：（1）取，得f2(0)a0,b0f(0)f(0)2f(0)f(0),f(0)f(0)0,f(0)1f(x)是偶函数。证明：原式中，不变，取yx,得f(x)x(x)x(x)22即f(x)f(x)2f(0)f(x)2f(x),f(x)f(（3）令，yxc,则f(x)f(x2c)2f(xx=xf(x)f(x2c)0,将换成，f(x2c)xx2cf(x2c)f(x2c),