基本不等式 教学设计

PAGEPAGE1用心爱心专心3.4基本不等式（1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式的几何背景：探究：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。2合作探究（1）问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关。系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为、，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形的面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式，。什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：（板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立。提问5：你能给出它的证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书)证明:所以注意强调当且仅当时,(2)特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式的性质推导(板书,请学生上台板演):要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证(-)④显然,④是成立的,当且仅当时,④的等号成立(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数探究：课本中的“探究”在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大的是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2a,b是正数，则三个数的大小顺序是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案BC例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.解：∵x，y都是正数∴＞0，＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0(1)＝2即≥2.(2)x＋y≥2＞0x2＋y2≥2＞0x3＋y3≥2＞0∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.变式训练：Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少解析：因为Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式的用法，1正2定3相等可以具体解释每一项的意思。当堂检测： 1.下列叙述中正确的是（）.（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值12下面给出的解答中，正确的是（）.（A）y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2，∴y有最小值2（B）y＝|sinx|＋eq\f(4,|sinx|)≥2eq\r(|sinx|·eq\f(4,|sinx|))＝4，∴y有最小值4（C）y＝x（－2x＋3）≤eq（eq\f(x－2x＋3,2)）\s\up8(2)＝eq（eq\f(－x＋3,2)）\s\up8(2)，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值eq（eq\f(－1＋3,2)）\s\up8(2)＝1（D）y＝3－eq\r(x)－eq\f(9,eq\r(x))≤3－2eq\r(eq\r(x)·eq\f(9,eq\r(x)))＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋eq\f(4,x)＋3的最小值为（）.（A）4（B）7（C）8