2015市高中数学竞赛试卷(终稿)

2015年丽水市高中数学比赛试题一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.1．已知x0为函数fxlog1x3x的零点，则2A．x01,1B．x01,1C．x01,1D．x01,154433222．函数ylog1x23x2的单一递加区间为2．已知会合的值为

,3B．1,3C．3,D．3,22222Axx22a4xa0，Bxx2b，若AB0,3，则abA．1B．2C．4D．54.将函数y3sin2xco2sx的图象向右平移0个单位可获得函数y3sin2xco2sx的图象，则的最小值为A．12B．C．4D．63R，不等式asinxbcosx1恒建立”，5.命题：“ab”；命题Q：“对随意的xP1则P是Q的A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件6.已知函数fxsinx0,0在,上单一递加，则当获得最大值43时，的最小值为A．3C．5B．D．22447.已知an是首项a11，公差为d的等差数列，其前n项和为Sn，若S7Snmin，则公差d的取值范围是A．13,1B．2,2C．1,1D．13,15366573636494x2y208．已知实数x，y知足条件xayb0，zxy的最大值、最小值分别为M、m，x0且Mm1，则ab的取值范围为A．332,3B．1,1C．63,1D．1,23222222109．若直线y2xa与曲线yx3ax1从左到右依次交于A,B,C三点，且AB2BC，则知足条件的实数a的个数为A．0个B．1个C．2个D．3个10.已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A、B、C知足条件cossinAsincosBsinsinC，有以下四个结论：①acb；②abc；③cba；④cab，有可能建立的是A．①②B．③④C．①③D．②④二、填空题：本大题共7小题，每题7分，共49分.11.已知正数x,y知足x21，则1y2y的最小值为_______．x12.若log23log34log45lognn15，则n___________．13．已知数列an知足：a11,a22,anan1an2anan1an2nN，数列an的前n项和为Sn，则S2015______________．x1;1x2114．已知函数fxx;的定义域为1,2015，则方程fxfx2的全部根之22和为______．15．已知fxabcosx2，f122，则f12___________．x1216．已知Mx,y0yx11，若x,yM，则zx22xy2y22y的最小值为___________．17．已知A、B、C是半径为1的圆O上的三点，AB为圆O的直径，P为圆O内一点（含圆周），则PAPBPBPCPCPA的取值范围为_____________________．三、解答题：本大题共3小题，每题17分，满分51分.18．已知数列an知足a12，an12an2n1nN．an为等差数列，并求通项公式an；（1）求证2n（2）求数列an的前n项和Sn．19．已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，ABC的面积为S，43S31a2b2c2．求角C的取值范围；(2)若c1，求ABC周长y的最小值．20.已知函数

fx

xx

aa

0（1）不等式

fx

1在

0,n上恒建立，当

n获得最大值时，求

a的值；（2）在（1）的条件下，若关于随意的

xR，不等式

fx

t

fx

tt

0

恒建立，求t的取值范围．答案：一、选择题：CDDBAADCCD剖析：1、f10，f10，应选C322、函数的定义域为1,2，且ylog1t为单一递减函数，又tx23x2的单2调递减区间为3,2，应选D23x0是方程x22a4xa0的根，则a0，A4,0不合题意。、若故x0为x2b的根，b2，B0,4，x3为方程x224xa0a的根，a3，应选D4、y3sin2xcos2x2sin2x，6y3sin2xcos2x2sin2x，应选Bb65、“对随意的xR，不等式asinxbcosx1恒建立”Q22恒建立a2b21Pabsinx1oa由图可知，PQ，应选A6、由已知T122341212又122k2k7，应选A2min422S7S67、由已知S7S8615d721d615d828d721d828d131d6131536d1536，应选Dd4949b0xyz8、由已知，11ya2Ay2xAb,2bxayb0由ayb01oxx2a12ambB12ay2xBb,2bM3b由ayb01，x2a12a12a由Mm3bb1b4a2112a12a4a1ab2a13131a1363,1，应选C4a2229、由y2xa得x3a2x1a01，设A,B,C三点的横坐标yx3ax1分别为x1,x2,x3x1x2x3，则方程1可化为xx1xx2xx30x2x12x3x22x1x2x303，由2,3得x15x2，代入3,4得x1x2x2x3x1x3a24x34x2x1x2x31a521x221a220x2321x2210x214x215x21020x23ax15x11x1541不合题设，舍去，119或11x21或x2或x2a，应选Cx344516x31x34510、sinA0,1,cosB1,1，cossinA0，sincosB0cosB0,1，B为锐角由sincosBcossinAsin2sinAcosB2sinAsinAcosB2sinBcosBsinAsinBab2由sincosBsinsinCcosBsinC（1）若BC，则A22cosBsinA12B，abc2224（2）若CB，则C为钝角，cab2答案：D二、填空题：11、9；12、31；13、4029；14、614115、6；216、1；17、4,453剖析：11、11229，x12y2yx52xy3时取到等号xxyxyy312、log23log34log45lognn1log2n15n3113、由递推关系，数列各项为：1，2,3,1,2,3，,，S201512367112402914、方程的根为3，3，6，,形成公比为2的等比数列，第n个根为32n1，由2232n12015n11，全部根的和为：31222210614122215、fxabcosx2absinx12，fx的图像能够x112x2由奇函数absinx向右平移一个单位，向下平移两个单位获得，fx的图像关yx2于1,2对称，f12f124，f126216、由已知：yx2y0y1，z5y22y5y1115551答案：517、解：设G为ABC的重心，则PAPBPBPCPCPAGAGPGBGPGBGPGCGPGCGPGAGPGAGBGBGCGCGA2GAGBGCGP23GPGAGBGBGCGCGA23GP1a2b2c23GP26424,43GP33答案：4,43三、解答题：18、（1）由已知得：an1an1an1an1，an是以a11为首项，以d12n12n2n12n2n2为公差的等差数列；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5annann2n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,82n（2）Sn121222323n12n1n2n2Sn122223n22n1n12nn2n1两式相减得：Sn222232n12nn2n11n2n12Snn12n12,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1719、（1）由已知：23absinC3a2b22abcosC2ab3sinCcosC4absinC63a2b2,,,,,,,4sinC63a2b223ab3,,,,,,,,,,,,,64ab4ab2C2C,,,,,,,,,,,,,,,,,,836362（2）由（1）：3a2b223sinC2cosCab又：1a2b22abcosCa2b23sinCcosC3sinC13cosC113,,,,,,,,,,,,,,2ab3sinC13cosC3sinC2cos2C33sinCcosCcosCsin2Cab222223sinC13cosCCC2C2C213sin3sincoscos2222tanC2tan2CC3tanC31131tan2213222223tanC131tan2C31tan2C23tanC132222123,,,,,,,,,,,,,,,151tan2C3tanC32132212321tan23423tan413y12,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,17a2a2x2axx;xay20、（1）解一、fxxxa24a2a2x2axx;xa24当a21，即0a2时，由x2ax1oax4aa24naa2412解得x2，2当a21，即a2时，由x2ax1解得xaa24，42naa24212aa24nmax12，此时a2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,y81解二、不等式fx1xax1由图可知，当yxa与y相切时，x1n能取到最大值，由xa得x2ax10，oanxxa240a2,,,,,,,,,,,,,,,8（2）解一：fxtfxtxtxt2xx2t0当x2时，2222230恒建立，xtxtxxttxtttt对随意t0原不等式在2,上恒建立。,,,,,,,10当2tx2时，xtxt2xx2t2x22(t2)xt2t0当2t2t即0t2时，22t22t22tt2tt2t021t2时，不等式恒建立当2t2t即t2时，22t22tt22tt2tt22022222不等式恒建立当t1时原不等式在2t,