普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(新课标卷I)解析版

精心整理绝密★启封并使用完成前试题种类：A2016年一般高等学校招生全国一致考试理科数学本试题卷共5页，24题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考据号填写在试题卷和答题卡上，并将准考据号条形码粘贴在答题卡上的指定地点。用2B铅笔将答题卡上试卷种类A后的方框涂黑。2、选择题的作答：每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。3、填空题和解答题的作答：用署名笔挺接答在答题卡上对应的答题地区内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的地点用2B铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题地区内，写在试题卷、底稿纸和答题卡上的非答题地区均无效。5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.（1）设会合A{x|x24x30}，B{x|2x30}，则AB（A）(3,3333)（B）(3,)（C）(1,)（D）(,3)2222【答案】D考点：会合运算（2）设(1i)x1yi，此中x，y是实数，则xyi=（）（）2（）3（）A1BCD2【答案】B【分析】试题剖析：由于(1i)x=1+yi,因此xxi=1+yi,因此x=1,yx1,故|xyi|=|1+i|2,应选B.精心整理精心整理考点：复数运算（3）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【分析】9a136d27试题剖析：由已知，9d,因此a11,d1,a100a199d19998,a18应选C.考点：等差数列及其运算（4）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间抵达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超出10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）【答案】B考点：几何概型（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是A）(–1,3)（B）(–1,)（C）(0,3)（D）(0,)【答案】A【分析】由题意知：双曲线的焦点在x轴上，因此m2n3m2n4，解得：m21，由于方程x2y21n0n11表示双曲线，因此1,3，故3n，解得n，因此n的取值范围是1n3n03选A．考点：双曲线的性质（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是A）17π（B）18π（C）20π（D）28π【答案】A【分析】试题剖析：由三视图知：该几何体是7个球，设球的半径为R，则V74R328，解得8833R2，因此它的表面积是742232217，应选A．84考点：三视图及球的表面积与体积精心整理精心整理（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大概为（A）（B）（C）（D）【答案】D考点：函数图像与性质（8）若ab10，c1，则（A）acbc（）abcbacB（C）alogbcblogac（D）logaclogbc【答案】C考点：指数函数与对数函数的性质（9）履行右边的程序框图，假如输入的x0，y1，n1，则输出x，y的值知足（A）y2x（B）y3x（C）y4x（D）y5x【答案】C【分析】试题剖析：当x0,y1,n1时，x011,y111，不知足2x2y236；精心整理精心整理n2,x0211,y212，不知足x2y236；n3,x1313,y236，知足22222x2y236；输出x3,y6，则输出的x,y的值知足y4x，应选C.2考点：程序框图与算法事例（10）以抛物线C的极点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为（A）2（B）4（C）6（D）8【答案】B【分析】试题剖析：如图，设抛物线方程为y22px，圆的半径为r,AB,DE交x轴于C,F点，则AC22，即A点纵坐标为22，则A点横坐标为4，即OC4，由勾股定理知DF2OF2DO2r2，pp222222ACOCAOr，即(5)2()p2(22)，解得p4，即C的焦点到准线的距离为4，()42p应选B.考点：抛物线的性质（11）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的极点A，α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（A）3（B）2（C）3（D）12233【答案】A考点：平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角精心整理精心整理（12）已知函数f(x)sin(x+)(0，πππf(x)图像的对),x为f(x)的零点，x为y244称轴，且f(x)在(π5π的最大值为，)单一，则1836（A）11????????（B）9?????（C）7????????（D）5【答案】B考点：三角函数的性质第II卷本卷包含必考题和选考题两部分.第(13)~(21)题为必考题，每个试题考生都一定作答.第(22)~(24)题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题：此题共4小题，每题5分.222【答案】2【分析】222试题剖析：由|ab||a||b|，得ab，因此m112

0，解得

m

2.考点：向量的数目积及坐标运算（14）(2xx)5的睁开式中，x3的系数是.（用数字填写答案）【答案】10【分析】试题剖析：(2xx)5的睁开式的通项为C5r(2x)5r(x)r25rC5r5rrx2(r0，1，2，，5)，令532得r4，因此x3的系数是2C5410.考点:二项式定理（15）设等比数列{an}13，24，则12鬃?an的最大值为.知足a+a=10a+a=5aa【答案】64考点：等比数列及其应用（16）某高科技公司生产产品A和产品B需要甲、乙两种新式资料.生产一件产品A需要甲资料1.5kg，乙资料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲资料0.5kg，乙资料0.3kg，用3精心整理精心整理个工时，生产一件产品A的收益为2100元，生产一件产品B的收益为900元.该公司现有甲资料150kg，乙资料90kg，则在不超出600个工时的条件下，生产产品A、产品B的收益之和的最大值为元.【答案】216000【分析】试题剖析：设生产产品A、产品B分别为x、y件，收益之和为z元，那么由题意得拘束条件1.5x0.5y,150,x0.3y,90,5x3y,600,目标函数z2100x900y.x0,y0.3xy?300,10x3y,900,拘束条件等价于5x3y,600,①x0,y0.作出二元一次不等式组①表示的平面地区，即可行域，如图中暗影部分所示.将z2100x900y变形，得y7xz，作直线：y7x并平移，当直线y7xz经过390033900点M时，z获得最大值.10x3y900.解方程组3y，得M的坐标为(60,100)5x600因此当x60，y100时，zmax210060900100216000.故生产产品A、产品B的收益之和的最大值为216000元.考点：线性规划的应用三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分），，的对边分别为，，，已知2cosC(acosB+bcosA)c.△ABC的内角ABCabcI）求C；II）若c7,△ABC的面积为33，求△ABC的周长．2【答案】（I）C（II）573【分析】精心整理精心整理试题分析：（

I）由已知及正弦定理得，

2cosCsin

cos

sin

cos

sinC

，2cosCsin

sinC

．故2sinCcosCsinC．可得

cosC

1，因此

C

．2

3考点：正弦定理、余弦定理及三角形面积公式（18）（本小题满分12分）如图，在以A，，，，，为极点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD90，BCDEF且二面角D-AF-E与二面角C--60．BEF都是I）证明：平面ABEF平面EFDC；II）求二面角E-BC-A的余弦值．【答案】（I）看法析（II）21919【分析】试题剖析：（I）证明F平面FDC，联合F平面F，可得平面F平面FDC．（II）成立空间坐标系，利用向量求解.试题分析：（I）由已知可得FDF，FF，因此F平面FDC．又F平面F，故平面F平面FDC．（II）过D作DGF，垂足为G，由（I）知DG平面F．以G为坐标原点，GF的方向为x轴正方向，GF为单位长，成立如下图的空间直角坐标系Gxyz．由（I）知DF为二面角DF的平面角，故DF60，则DF2，DG3，可得1,4,0，3,4,0，3,0,0，D0,0,3．考点：垂直问题的证明及空间向量的应用（19）（本小题满分12分）某公司计划购置2台机器，该种机器使用三年后即被裁减.机器有一易损部件，在购进机器时，能够额外购置这类部件作为备件，每个200元.在机器使用时期，假如备件不足再购置，则每个500元.现需决议在购置机器时应同时购置几个易损部件，为此收集并整理了100台这种机器在三年使用期内改换的易损部件数，得下边柱状图：以这100台机器改换的易损部件数的频次取代1台机器改换的易损部件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需改换的易损部件数，n表示购置2台机器的同时购置的易损零件数.精心整理精心整理（I）求X的散布列；（II）若要求P(Xn)0.5，确立n的最小值；（III）以购置易损部件所需花费的希望值为决议依照，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？【答案】（I）看法析（II）19（III）n19考点：概率与统计、随机变量的散布列（20）（本小题满分12分）设圆x2y22x150的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程；II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）x2y21（y0）（II）[12,83)43【分析】试题剖析：利用椭圆定义求方程；（II）把面积表示为对于斜率k的函数，再求最值。试题分析：（Ⅰ）由于|AD||AC|，EB//AC，故EBDACDADC，因此|EB||ED|，故|EA||EB||EA||ED||AD|.又圆A的标准方程为(x1)2y216，进而|AD|4，因此|EA||EB|4.由题设得A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：x2y241（y0）.3考点：圆锥曲线综合问题（21）（本小题满分12分）已知函数有两个零点.（I）求a的取值范围；（II）设x1，x2是的两个零点，证明：+x2<2.【答案】(I)(0,)（II）看法析【分析】试题剖析：(I)求导，依据导函数的符号来确立（主要要依据导函数零点来分类）；(II)借组(I)的结精心整理精心整理论来证明，由单一性可知x1x22等价于f(x1)f(2x2)，即f(2x2)．0设2xx(x，)则g('x)(x1)(e2xx．则当x1时，g'(x)0，而g(1)0，故当x1g(x)xee2)e时，g(x)0．进而g(x2)f(2x2)0，故x1x22．试题分析：（Ⅰ）f'()(1)x2(x1)(x1)(x2)．xxeaea（i）设a0，则f(x)(x2)ex，f(x)只有一个零点．（ii）设a0，则当x(,1)时，f'(x)0；当x(1,)时，f'(x)0．因此f(x)在(,1)单一递减，在(1,)单一递加．又

f(1)

e，f(2)

a，取b知足b

0且b

lna

，则2f(b)

a(b

2)

a(b

1)2

a(b2

3b)

0，2

2故f(x)存在两个零点．考点：导数及其应用请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,假如多做,则按所做的第一题计分。精心整理精心整理（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，OA为半径作圆.I）证明：直线AB与⊙O相切；II）点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.【答案】(I)看法析(II)看法析考点：四点共圆、直线与圆的地点关系及证明（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.I）说明