《高考备考学案》广东高考数学理一轮复习配套能力提升作业4.24利用导数研究函数单调性(含答案解析)

第24课利用导数研究函数的单一性1．设f(x)、g(x)是R上的可导函数，f(x)、g(x)分别为f(x)、g(x)的导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axb时，有（）A．f(x)g(b)f(b)g(x)B．f(x)g(a)f(a)g(x)C．f(x)g(x)f(b)g(b)D．f(x)g(x)f(a)g(a)【答案】C【分析】设F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0，∴F(x)在R上是减函数，得F(a)F(x)F(b)，∴f(x)g(x)f(b)g(b)．2．函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对随意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为（）A．(1,1)B．(1,)C．(,1)D．(,)【答案】B【分析】令g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)20，∴g(x)在R上为增函数，∵g(1)f(1)2(1)40，∴由g(x)0，得x1．3（2012东城二模）已知函数f(x)1x22xaex．2（1）若a1，求f(x)在x1处的切线方程；（2）若f(x)在R上是增函数，务实数a的取值范围．【分析】（1）由a1，f(x)1x22xex，f(1)3e，22∴f(x)x2ex，∴f(1)1e，∴所求切线方程为y(3e)(1e)(x1)，2即2(1e)x2y10．（2）由已知f(x)1x22xaex，得f(x)x2aex．2∵函数f(x)在R上是增函数，∴f(x)0恒建立，即不等式x2aex0恒建立．整理得axx2．令g(x)xx2,g(x)xx3.eeex,g(x),g(x)的变化状况以下表：x(,3)3(3,)g(x)0+g(x)极小值由此得ag(3)=e3，即a的取值范围是,e3．4．（2012石景山一模）已知函数f(x)x22alnx．1）若函数f(x)的图象在(2,f(2))处的切线斜率为1，务实数a的值；2）求函数f(x)的单一区间；（3）若函数g(x)

2x

f(x)在[1,2]上是减函数，务实数a的取值范围．2a2x22a【分析】（1）f(x)2x由已知f(2)1，解得（2）函数f(x)的定义域为

x，1分xa3．3分(0,)．①当a0时,f(x)0，f(x)的单一递加区间为(0,)；②当a0时f2(xa)(xa)(x)x．当x变化时，f(x),f(x)的变化状况以下：x(0,a)a(a,)f(x)-0+f(x)极小值由上表可知，函数f(x)的单一递减区间是(0,a)；单一递加区间是(a,)．（3）由g(x)2x22alnx，得g(x)x由已知函数g(x)为[1,2]上的单一减函数，则g(x)0在[1,2]上恒建立，即22xx2即a1x2在[1,2]上恒建立．x

22x2ax2，x2a0在[1,2]上恒建立．x12[1,2]，∴h(x)12x(12x)0，令h(x)x，xx2x2x∴h(x)在[1,2]为减函数．h(x)minh(2)7,2∴a7．21a5．（2012东莞一模）已知函数f(x)lnxax1(aR)．x（1）当a1时，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（2）当a1时，议论f(x)的单一性．22－1,x【分析】（1）当a－1时，f(x)lnxx(0,)，11－22，f(2)ln2x∴f(x)2，f(2)1，xxyx－ln2．∴所求的切线方程为（2）∵f(x)lnxax1a1，x∴f(x)1a1ax2x1ax(0,)，xax2x2令(x)ax2x1,x(0,),ga当a0时，g(x)－x1,x(0,)∴x(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递减，x(1,)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递加，当a0时，由f(x)=0，解得x11,x211，a1①若a，函数f(x)在(0,+)上单一递减，2②若0a1，在(0,1),(1－1，)单一递减，在(1,1－1)上单一递加．2aa③当a0时，因为110，ax(0,1)时，g(x)0，此时f(x)0，函数f(x)单一递减；x(1,)时，g(x)0，此时函数f(x)0，函数f(x)单一递加．综上所述：当a0时，函数f(x)在(0,1)上单一递减，在(1,)上单一递加，当a1时，函数f(x)在(0,)上单一递减；2当0a1f(x)在(0,1),1)上单一递减；时，函数(－1，21－a函数f(x)在(1,上单一递加．a1)6．（2012北京西城一模）已知函数f(x)eax(aa1)，此中a1．x11时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（）当a（2）求f(x)的单一区间．【分析】（1）当a1时，f(x)ex(12)，f(x)ex(1212)．xxx因为f(1)3e，f(1)2e，∴曲线y2）f(x)aeax当a

f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是2exye0．(x1)[(a1)x1]0．x2，x1时，令f(x)0，解得x1．f(x)的单一递减区间为(,1)；单一递加区间为(1,0)，(0,)．当a1时，令f(x)0，解得x1，或x1．1a②当1a0时，f(x)的单一递减