2021年新高考数学模拟试卷

2021年新高考数学模拟试卷6一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，0] C．[0，3] D．[﹣3，3]2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3iA．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i3．（5分）命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1 B．∀x∈R，x2+x≤1 C．∃x∈R，x2+x＜1 D．∀x∈R，x2+x＜14．（5分）设M是△ABC边BC的中点，若AM→=λAB→A．14 B．12 C．1 D5．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、B两点．若|OA|＝|OF2|，|A．2+12 B．3+12 C．26．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．83π B．433π C．7．（5分）已知数列{an}前n项和为Sn，满Sn＝an2+bn（a，b为常数），且a9=π2，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2x2，记yn=fA．172π B．9π C．11 D8．（5分）[普通高中]已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）＝（x﹣1）2，如果g（x）＝f（x）﹣log5x，则函数y＝g（x）的零点个数为（）A．1 B．3 C．5 D．7二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）函数f（x）＝2sin（x+π6）的图象可由函数g（x）=3sin2x﹣cos2A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12D．先将g（x）的图象上所有点向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的210．（5分）某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（）A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加11．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f(A．-62 B．-32 C．-12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60° B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1D C．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且A1ED．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若直线l：x﹣3y＝0与圆C：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0交于M，N两点，则|MN|＝．14．（5分）函数f(x)=log12(-x15．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（结果用区间表示）．16．（5分）观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n＝．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）如图，在△ABC中，M是AC的中点，∠C（1）若∠A=5（2）若BM=218．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}中，a5+a7＝22，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1anan+1，求数列{19．（12分）为了解学生的身体素质情况，现从我校学生中随机抽取10人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示．根据有关国家标准，成绩不低于79分的为优秀，将频率视为概率．（1）另从我校学生中任取3人进行测试，求至少有1人成绩是“优秀”的概率；（2）从前文所指的这10人（成绩见茎叶图）中随机选取3人，记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求X的分布列及期望．20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，BC=CD=12DA，BC∥AD，∠ADC＝90°，点P在底面ABCD上的射影是（1）求证：直线BD⊥平面POC；（2）若BC＝1，M、N分别为PO、CD的中点，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣PC﹣D的大小．21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0），右准线方程为x＝4．过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G（1）求椭圆C的标准方程；（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；（3）如果A1H→22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）=12mx（1）若函数f（x）与g（x）的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围（2）设F（x）＝f（x）﹣g（x），已知F（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞1．

2021年新高考数学模拟试卷6参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∪B＝（）A．[﹣2，3] B．[﹣2，0] C．[0，3] D．[﹣3，3]【解答】解：∵B＝{x|x2﹣3x≤0}，∴B＝{x|0≤x≤3}，∴A∪B＝[﹣2，3]，故选：A．2．（5分）设i为虚数单位，复数z=2+3iA．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i【解答】解：∵z=∴z=3+2故选：B．3．（5分）命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是（）A．∃x∈R，x2+x≤1 B．∀x∈R，x2+x≤1 C．∃x∈R，x2+x＜1 D．∀x∈R，x2+x＜1【解答】解：全称命题的否定为特称命题，命题∀x∈R，x2+x≥1的否定是∃x∈R，x2+x＜1，故选：C．4．（5分）设M是△ABC边BC的中点，若AM→=λAB→A．14 B．12 C．1 D【解答】解：如图，则AM→=AB→+所以λ+μ=12故选：C．5．（5分）设F1，F2是双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，O是坐标原点．过F2的一条直线与双曲线C和y轴分别交于A、B两点．若|OA|＝|OF2|，|A．2+12 B．3+12 C．2【解答】解：如下图所示，由于|OB|=3|O所以，|B∵|OA|=|OF2|=连接BF1（F1为双曲线C的左焦点），由对称性可知，∠OF1B=π∵A为BF2的中点，∴AF1⊥BF2，∴|A由双曲线的定义可得2a因此，双曲线的离心率为e=故选：D．6．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．83π B．433π C．【解答】解：如图所示：三棱锥S﹣ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB＝SA＝SB＝SC＝2，则：SD=3设外接球的半径为R，则：在△BOD中，利用勾股定理：(3解得：R=所以：S＝4π•R2＝4π⋅故选：D．7．（5分）已知数列{an}前n项和为Sn，满Sn＝an2+bn（a，b为常数），且a9=π2，设函数f（x）＝2+sin2x﹣2sin2x2，记yn=fA．172π B．9π C．11 D【解答】解：f（x）＝sin2x+cosx+1，由Sn=an2+bn，得an＝2na﹣a+a1+a17＝2a9＝π，y1+y17＝f（a1）+f（a17）＝sin2a1+cosa1+1+sin2a17+cosa17+1＝sin2a1+cosa1+1+sin（2π﹣2a1）+cos（π﹣a1）+1＝2，数列{yn}的前17项和为2×8+1＝17．故选：D．8．（5分）[普通高中]已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）＝（x﹣1）2，如果g（x）＝f（x）﹣log5x，则函数y＝g（x）的零点个数为（）A．1 B．3 C．5 D．7【解答】解：根据题意，函数g（x）＝f（x）﹣log5x，若g（x）＝f（x）﹣log5x＝0，则有f（x）＝log5x，分别作出函数y＝f（x）与y＝log5x的图象，分析可得：两个函数图象有5个交点，则函数y＝g（x）的零点个数为5，故选：C．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）函数f（x）＝2sin（x+π6）的图象可由函数g（x）=3sin2x﹣A．先将g（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位B．先将g（x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位C．先将g（x）的图象上所有点向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12D．先将g（x）的图象上所有点向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2【解答】解：把函数g（x）=3sin2x﹣cos2x＝2sin（2x-π6可得y＝2sin（2x+π再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得函数f（x）＝2sin（x+π或者先将g（x）＝2sin（2x-π6）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的可得y＝2sin（x-π再向左平移π3个单位，可得可得函数f（x）＝2sin（x+故选：AD．10．（5分）某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：则下列结论正确的是（）A．与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．与2016年相比，2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加【解答】解：依题意，设2016年高考考生人数为x，则2019年高考考生人数为1.5x，由24%•1.5x﹣28%•x＝8%•x＞0，故选项A正确；由（40%•1.5x﹣32%•x）÷32%•x=78，故选项由8%•1.5x﹣8%•x＝4%•x＞0，故选项C不正确；由28%•1.5x﹣32%•x＝42%•x＞0，故选项D正确．故选：AD．11．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f(A．-62 B．-32 C．-【解答】解：由函数的最小值可知：A=2，函数的周期：则ω=由于当x=712据此可得：φ=2令k＝0可得：φ=则函数的解析式为：f(可得：f(故选：C．12．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是线段BC1上的动点，则下列说法错误的是（）A．当点F移动至BC1中点时，直线A1F与平面BDC1所成角最大且为60° B．无论点F在BC1上怎么移动，都有A1F⊥B1D C．当点F移动至BC1中点时，A1F与B1D相交于一点E，且A1ED．在BC1上存在点F，使异面直线A1F与CD所成角是30°【解答】解：对于A，当点F移动到BC1的中点时，直线A1F与平面BDC1所成角由小到大再到小，如图1所示；且F为B1C的中点时最大角的余弦值为OFA1F=6对于选项B，在正方形中，DB1⊥面A1BC1，又A1F⊂面A1BC1，所以A1F⊥B1D，B正确；对于选项C，F为BC1的中点时，也是B1C的中点，它们共面于平面A1B1CD，且必相交，设为E，连A1D和B1C，如图2，根据△A1DE∽△FB1E，可得A1EEF=对于D，当点F从B运动到C1时，异面直线A1F与CD所成角由大到小再到大，且F为B1C的中点时最小角的正切值为221=22故选：AD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若直线l：x﹣3y＝0与圆C：x2+y2﹣8x﹣4y+16＝0交于M，N两点，则|MN|＝6105【解答】解：依题意，圆C：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝4，故圆心（4，2）到直线l：x﹣3y＝0的距离d=∴|MN故答案为：61014．（5分）函数f(x)=log12(-x2+x)【解答】解：令t＝﹣x2+x＞0，求得函数的定义域为（0，1），f（x）＝g（t）=log本题即求函数t在定义域（0，1）上的增区间和值域．∵t＝﹣x2+x在定义域（0，1）上的增区间为（0，12故函数f(x)=lo再根据t＝﹣x2+x=-(x-12)2+14故f（x）＝g（t）=log12t∈故答案为：（0，12）、[2，+15．（5分）若定义域为R的函数f（x）满足f'（x）＞f（x），则不等式ef（lnx）﹣xf（1）＜0的解集为（0，e）（结果用区间表示）．【解答】解：令g（x）=f则g′（x）=e因为f'（x）＞f（x），所以g′（x）＞0，所以，函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，由ef（lnx）＜xf（1），得：f(lnx)elnx＜f(1)e因为函数g（x）为（﹣∞，+∞）上的增函数，所以lnx＜1．所以不等式的解集是（0，e）．故答案为（0，e）．16．（5分）观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若某数n3按上述规律展开后，发现右边含有“2017”这个数，则：n＝45．【解答】解：由题意可得第n个式子的左边是n3，右边是n个连续奇数的和，设第n个式子的第一个数为an，则有a2﹣a1＝3﹣1＝2，a3﹣a2＝7﹣3＝4，…an﹣an﹣1＝2（n﹣1），以上（n﹣1）个式子相加可得an﹣a1=(故an＝n2﹣n+1，可得a45＝1981，a46＝2071，故可知2017在第45个式子，故答案为：45四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）如图，在△ABC中，M是AC的中点，∠C（1）若∠A=5（2）若BM=2【解答】解：（1）∠ABC=π在△ABC中，由正弦定理得ACsin∴AB=AC⋅（2）在△BCM中，由余弦定理得BM∴12＝4+BC2﹣2BC，解得BC＝4（负值舍去），…………（10分）∴S△ABC=18．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}中，a5+a7＝22，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=1anan+1，求数列{【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{an}中，a5+a7＝22，且a1，a2，a5成等比数列，可得2a1+10d＝22，即a1+5d＝11，又a22＝a1a5，即（a1+d）2＝a1（a1+4d），解得a1＝1，d＝2，则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）bn=1则前n项和Sn=12（1=12（1-119．（12分）为了解学生的身体素质情况，现从我校学生中随机抽取10人进行体能测试，测试的分数（百分制）如茎叶图所示．根据有关国家标准，成绩不低于79分的为优秀，将频率视为概率．（1）另从我校学生中任取3人进行测试，求至少有1人成绩是“优秀”的概率；（2）从前文所指的这10人（成绩见茎叶图）中随机选取3人，记X表示测试成绩为“优秀”的学生人数，求X的分布列及期望．【解答】解：（1）由茎叶图知，抽取的10人中成绩是“优秀”的有6人，频率为35依题意，从我校学生中任选1人，成绩是“优秀”的概率为35记事件A表示“在我校学生中任选3人，至少1人成绩是优良”，则P(（2）由题意可得，X的取值可能为0，1，2，3，P(P(P(P(∴X的分布列为：X0123P1303101216数学期望E（X）=0×20．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD，BC=CD=12DA，BC∥AD，∠ADC＝90°，点P在底面ABCD上的射影是（1）求证：直线BD⊥平面POC；（2）若BC＝1，M、N分别为PO、CD的中点，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值；（3）当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣PC﹣D的大小．【解答】解：（1）：（几何法）因为PO⊥平面ABCD，所以PO⊥BD，又因为BC＝CD，且O为BD的中点，故PO⊥BD．又PO∩OC＝O，所以BD⊥平面POC．（2）解析1：（几何法）连接ON，PN，过M作MH⊥PN，垂足为H，由于ON∥BC，所以ON⊥CD，而PO⊥CD，故CD⊥平面PON，所以CD⊥MH，MH⊥平面PCD，故MN与平面PCD所成角为∠MNH．由于BC＝1，PC=2，所以PO=故PN=72由△PMH∽△PON，所以MHON所以sin∠故直线MN与平面PCD所成角的正弦值为10535（2）解析2：（坐标法）以C为原点建立直角坐标系如图所示，则C（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），P(于是|PC|=14+所以N(12，设平面PCD的法向量为n→则n→令z＝﹣1，得n→所以sinθ=|故直线MN与平面PCD所成角的正弦值为10535（3）解析1：（几何法），设BC＝2a，则OC=2a所以VP当且仅当a2＝2﹣2a2即a=23=6且PC=PC=2，PB=过点B作BE⊥PC于点E，连接DE，则DE⊥PC，所以∠BED就是二面角B﹣PC﹣D的平面角．又BE=DE=所以∠BED故二面角B﹣PC﹣D的大小为2π（3）解析2：（坐标法）同解法1可求得当四棱锥P﹣ABCD体积最大时，BC=CD=26则C（0，0，0），D(263，设平面PBC的法向量为n1则n1令z1＝﹣1，得n1同理，可得平面PCD的一个法向量为的n2所以cos〈又因为二面角B﹣PC﹣D为钝二面角，所以二面角B﹣PC﹣D的大小为2π21．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2（2，0），右准线方程为x＝4．过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G（1）求椭圆C的标准方程；（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；（3）如果A1H→【解答】解：（1）由椭圆的左、右顶点分别为A1（﹣2，0），A2