2019版数学题组训练：第10章第4讲 直线与圆锥曲线的综合应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第四讲直线与圆锥曲线的综合应用题组1圆锥曲线中弦的相关问题1。[2015浙江，5，5分］［理]如图10—4-1,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上，点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是（)图10—4-1A。|BF|-1|AF|-1 B.|BF|2。[2015四川，10,5分][理]设直线l与抛物线y2=4x相交于A，B两点,与圆(x—5）2+y2=r2（r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A。(1,3) B.（1,4) C。(2,3) D.（2，4）3.[2014新课标全国Ⅱ，10，5分］［理］设F为抛物线C：y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.334 B。938 C.4。[2013江西,14，5分］[理］抛物线x2=2py（p〉0)的焦点为F，其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点，若△ABF5。［2015山东，20，13分][理]平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a〉b>0）的离心率为32，左、右焦点分别是F1,F2。以F1(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ）设椭圆E:x24a2+y24b2=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A(i)求|OQ（ii）求△ABQ面积的最大值。题组2直线与圆锥曲线的综合应用6.[2014辽宁，10,5分]［理］已知点A(-2,3）在抛物线C：y2=2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A。12 B。23 C。347。［2014湖南，14，5分］平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是。

8。[2016四川,20，13分]［理］已知椭圆E:x2a2+y2b2=1（a>b〉0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l(Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标;（Ⅱ)设O是坐标原点,直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B，且与直线l交于点P。证明:存在常数λ,使得｜PT|2=λ｜PA|·|PB｜,并求λ的值。9.[2015全国卷Ⅰ,20，12分][理]在直角坐标系xOy中,曲线C：y=x24与直线l：y=kx+a（a〉0)交于M,N（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN？说明理由.A组基础题1.[2018中原名校高三第三次质量考评，11]已知双曲线x24-y22=1右焦点为F,P为双曲线左支上一点，点A（0，2),则△APF周长的最小值为A.4(1+2） B.4+2C.2（2+6) D.6+322。［2018唐山市高三五校联考，10]直线l与双曲线C:x2a2—y2b2=1（a>0，b〉0）交于A,B两点，M是线段AB的中点,若l与OM(A。2 B.2 C.3 D.33。［2017郑州市第三次质量预测，10］椭圆x25+y24=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是A。55 B.655 C。84.[2017福建省高三质检,8］过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,交其准线于点C，且A，C位于x轴同侧，若｜AC|=2|AF|,则|BF｜等于（)A。2 B。3 C.4 D。55。［2018洛阳市尖子生第一次联考,20]如图10—4—2,点F是抛物线Γ：x2=2py（p〉0)的焦点,点A是抛物线上的定点，且AF=（2，0),点B,C是抛物线上的动点，直线AB,AC的斜率分别为k1，k2。（1)求抛物线Γ的方程;(2）若k2-k1=2,点D是抛物线在点B，C处切线的交点，记△BCD的面积为S,证明S为定值.图10—4-26。[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市联考，20］已知右焦点为F2(c，0）的椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b〉0）过点（1，3（1）求椭圆C的方程;（2）过点(12,0）作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点,求直线MA的斜率k的取值范围B组提升题7.［2018辽宁五校联考，12]一条动直线l与抛物线C:x2=4y相交于A，B两点，O为坐标原点，若AB=2AG，则(OA—OB）2—4OG2的最大值为(）A.24 B.16 C.8 D.—168.[2017广州市高三毕业班综合测试,8］已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a〉b〉0）的左、右焦点,若椭圆C上存在点P使∠F1PF2为钝角，则椭圆A。(22,1) B。（12,1) C.（0，22） 9.[2017合肥市三检,12]已知椭圆M：x2a2+y2=1，圆C：x2+y2=6—a2在第一象限有公共点P,设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则k1kA.(1,6) B.（1,5）C。(3，6） D。（3，5）10.［2018湘东五校联考,20］已知椭圆C的中心在原点，离心率等于12,它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=83y的焦点(1)求椭圆C的方程;（2)如图10-4-3，已知P(2,3),Q（2,—3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.①若直线AB的斜率为12,求四边形APBQ②当A,B运动时，满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值?请说明理由.图10-4-311。［2017天星第二次联考,20]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1（a〉b>0）的离心率为33,过右焦点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点,当直线l(1)求椭圆C的方程；(2）椭圆C上是否存在点P，使得当直线l绕F转到某一位置时,有OP=OA+OB成立?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标与直线l的方程;若不存在，请说明理由。答案1.A由题可知抛物线的准线方程为x=-1。如图D10-4—2所示，过A作AA2⊥y轴于点A2，过B作BB2⊥y轴于点B2，则S△BCFS△ACF=|BC|图D10-4—22.D当直线l的斜率不存在时，这样的直线l恰有2条,即x=5±r，此时0<r<5,所以当直线l的斜率存在时,这样的直线l有2条即可.设A（x1,y1）,B（x2,y2），M（x0，y0）,则x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.又y12=4x1,y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1—y2）=4(x1-x2),则kAB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=2y0。设圆心为C3.D易知抛物线中p=32，焦点F（34,0），直线AB的斜率k=33，故直线AB的方程为y=33（x—34）,代入抛物线方程y2=3x，整理得x2-212x+916=0.设A(x1,y1),B（x2，y2）,则x1+x2=212.由抛物线的定义可得弦长|AB｜=x1+x2+p=212+32=12,结合图形(图略）可得O到直线AB的距离d=p2sin30°=38，所以4。6由x2=2py(p>0）得焦点F（0,p2）,准线l为y=-p2，所以可求得抛物线的准线与双曲线x23-y23=1的交点A(—12+p22,-p2),B(12+p22,-p2),所以｜AB｜=12+p2，若△ABF5.(Ⅰ）由题意知2a=4,则a=2.又ca=32，a2-c2=b2,可得所以椭圆C的方程为x24+y2=（Ⅱ）由(Ⅰ)知椭圆E的方程为x216+y2（i）设P(x0，y0）,|OQ||OP|=λ,由题意知Q（—λx0因为x024+y02=1，又(-λx0)216+所以λ=2,即|OQ||(ii）设A(x1，y1），B（x2,y2)。将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2—16=0.由Δ>0,可得m2〈4+16k2①,则有x1+x2=-8km1+4k2，x1x所以｜x1-x2|=416因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0，m）,所以△OAB的面积S=12|m|｜x1-x2=2=2=2(4设m21+4将y=kx+m代入椭圆C的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2②。由①②可知0〈t≤1。因此S=2(4-t)t=2-t当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值23。由（i)知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63.6。D因为A（-2，3)在抛物线y2=2px的准线上，所以-p2=-2，所以p=4，所以y2=8x，设直线AB的方程为x=k(y—3)—2①,将①与y2=8x联立,得x=k(y-3)-2,y2=8x,消去x，得y2-8ky+24k+16=0②,则Δ=（—8k）2-4（24k+16）=0，即2k2-3k—2=0，解得k=2或k=—12（舍去），将k=7。（-∞，-1)∪(1，+∞)由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y2=4x,过点P（—1,0）且斜率为k的直线方程为y=k(x+1）,由题意知直线与抛物线无交点,联立直线与抛物线的方程，消去y得k2x2+（2k2—4)x+k2=0,则Δ=(2k2-4)2—4k4〈0,所以k28。（Ⅰ）由已知，a=2b,则椭圆E的方程为x22b2+由方程组x22b2+y2b2=1,y=-x+3,方程①的根的判别式为Δ=24（b2-3)，由Δ=0，得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=（Ⅱ）由已知可设直线l'的方程为y=12x+m(m由方程组y=1所以点P的坐标为（2—2m3，1+2m3)，|PT|2=设点A，B的坐标分别为A（x1，y1),B（x2,y2）.由方程组x26+y23=1,y=12x+m,方程②的根的判别式为Δ=16（9-2m2),由Δ〉0,解得-322〈m<由②得x1+x2=—4m3,x1x2=所以｜PA|=(2-2m3-x1)2同理|PB｜=52|2—2m3—x所以|PA|·｜PB|=54|(2-2m3-x1)(2-2m=54｜（2-2m3）2-（2—2m3)(x1+x2）=54|(2—2m3)2-（2-2m3）（—=109m2故存在常数λ=45，使得|PT|2=λ|PA｜·9。（Ⅰ)由题设可得M（2a，a),N（-2a，a）或M（—2a,a）,N(2a,a）。又y=x24，得y’=x2，故y=x24在x=2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y-a=a(x—2ay=x24在x=-2a处的导数值为-a,C在点(—2a,a）处的切线方程为y-a=—a(x+2a），即ax+y+a=故所求切线方程为ax-y—a=0和ax+y+a=0。(Ⅱ）存在符合题意的点,证明如下:设P（0,b)为符合题意的点，M（x1，y1)，N(x2，y2）,直线PM,PN的斜率分别为k1，k2。将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0，故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=y1-=2=k(当b=-a时，有k1+k2=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-a)符合题意。A组基础题1。A设双曲线左焦点为F'，由题意得点F(6,0）,|AF|=22,a=2，△APF的周长l=｜AF|+｜AP|+|PF|=|AF|+2a+｜PF'|+|AP|，要使△APF的周长最小,只需|AP｜+|PF’｜最小,如图D10-4-3,当A，P,F'三点共线时取到最小值,故l=2a+2|AF|=4（1+2).故选A.图D10—4-32。B设直线l与双曲线C：x2a2—y2b2=1（a〉0，b>0）的交点A(x1，y1),B（x2，y2）,易知x1≠x2,则x12a2-y12b2=1（a〉0,b〉0)①,x22a2—y22b2=1(a〉0，b>0）②,②—①3.C设椭圆的右焦点为E,由椭圆的定义知△FMN的周长为L=｜MN|+|MF｜+|NF|=｜MN|+(25-｜ME|)+（25—｜NE｜)。因为｜ME｜+|NE|≥|MN|,所以|MN｜-|ME|—｜NE|≤0，当直线MN过点E时取等号，所以L=45+｜MN｜—|ME|-|NE｜≤45，即直线x=a过椭圆的右焦点E时,△FMN的周长最大,此时S△FMN=12×｜MN｜×｜EF|=12×2×45×2=4.C设抛物线的准线与x轴交于点D,则由题意,知F（1,0）,D(-1,0）,分别作AA1，BB1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A1,B1,则有|AC||FC|=|AA1||FD|,所以｜AA1｜=43，故|AF｜=43.又|5.（1)设A（x0，y0）,由题意知F(0，p2),所以AF=（-x0，p2—y0)=（2，0)，所以x0=-2,y0=p2,代入所以抛物线的方程是x2=4y.(2）过D作y轴的平行线交BC于点E，设B（x1，x124),C（x2由（1)知A（-2，1）,所以k2-k1=x224-1又k2—k1=2,所以x2-x1=8.由x2=4y，得y’=x2，因为B,C所以直线BD：y=x12x—x124①，直线CD:y=x联立①②，解得x而kBC=x224-x124x2-x1=x2+x14，所以直线BC的方程为y—x124=所以S=12|DE|(x2-x1)=12（yE-yD）(x2—x1)=12·(x2-x1)故S为定值.6.(1)∵椭圆C过点(1，32），∴1a2+94b∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点，∴a=2c.∵a2=b2+c2,∴b2=34a2②由①②得a2=4，b2=3,∴椭圆C的方程为x24+y2(2)依题意,直线l过点(12，0)且斜率不为零，故可设其方程为x=my+1由x=my+12,x24+y23=1,

设E(x1，y1）,F（x2，y2）,M（x0，y0）,则y1+y2=—3m∴y0=y1+y∴x0=my0+12=2∴k=y0x0①当m=0时，k=0;②当m≠0时，k=14∵|4m+4m|=4｜m｜+4|m|≥8，∴0<∴0〈|k|≤18,∴-18≤k≤18且综合①②可知,直线MA的斜率k的取值范围是［-18，18B组提升题7.B由AB=2AG,知G是线段AB的中点,∴OG=12（OA+OB)，∴(OA-OB)2-4OG2=(OA—OB)2-（OA+OB)2=—4OA·OB.由A，B是动直线l与抛物线C:x2=4y的交点,不妨设A（x1,x124），B（x2,x224），∴—4OA·OB=-4（x1x2+x12x2216)=-4［（x1x24+2)2—4]=8。A解法一设P（x0，y0),由题易知｜x0｜<a，因为∠F1PF2为钝角,所以PF1·PF2<0有解,即c2>x02+y02有解,即c2〉（x02+y02）min，又y02=b2—b2a2x02,x02〈a2,故x02+y02=b2+c2a2x02∈[b2,a2),所以(x02+解法二椭圆上存在点P使∠F1PF2为钝角⇔以原点O为圆心，以c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b<c.如图D10-4-4，由b<c,得a2—c2〈c2,即a2<2c2,解得e=ca〉22，又0<e〈1，故椭圆C的离心率的取值范围是(。图D10—4-49。D由于椭圆M:x2a2+y2=1,圆C：x2+y2=6-a2在第一象限有公共点P，所以a2>6-a2,6-a2>1,解得3〈a2〈5.设椭圆M:x2a2+y2=1与圆C：x2+y2=6—a2在第一象限的公共点P(x0,y0),则椭圆M在点P处的切线方程为x0xa2+y0y=1,圆C在点P处的切线方程为x0x+y0y=10.（1）设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(由ca=12,a2=c2+b2,得∴椭圆C的方程为x216+y2(2)设A（x1，y1），B（x2，y2).①设直线AB的方程为y=12x+t代入x216+y212=1,得x2+tx+t2由Δ〉0，解得—4<t〈4，由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=—t，x1x2=t2—12,∴|x1—x2|=(x1+x2∴四边形APBQ的面积S=12×6×|x1-x2｜=348∴当t=0时,S取得最大值,且Smax=123.②若∠APQ=∠BPQ,则直线PA,PB的斜率之和为0,设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k，直线PA的方程为y-3=k(x-2）,由y-3=k(x-2),x216+y212=1,得(3+4k2)x2∴x1+2=8(2k将k换成-k可得x2+2=