2019版数学题组训练：第3章第2讲 导数的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二讲导数的应用题组1应用导数研究函数的单调性1.[2017浙江,7，4分］函数y=f(x)的导函数y=f’(x）的图象如图3-2-1所示,则函数y=f（x)的图象可能是()图3—2—1A. B.C. D.2。［2016全国卷Ⅰ，12,5分］若函数f(x）=x—13sin2x+asinx在（-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A。[—1，1] B。［-1，13］C.[-13,13] D。[—1，3。[2015新课标全国Ⅰ，12,5分][理］设函数f（x）=ex（2x—1）-ax+a,其中a<1，若存在唯一的整数x0使得f(x0）<0，则a的取值范围是（）A。[-32e，1)B.［-32e，34）C。[32e,344。［2016山东,20,13分]［理］已知f(x)=a(x-lnx）+2x-1x2(Ⅰ）讨论f（x）的单调性;（Ⅱ)当a=1时,证明f（x)〉f'（x）+32对于任意的x∈［1，2]成立题组2应用导数研究函数的极值与最值5。［2017全国卷Ⅱ，11，5分]［理］若x=—2是函数f(x）=（x2+ax-1）ex—1的极值点，则f（x)的极小值为（)A。-1 B.—2e—3C。5e—3 D.16。［2014新课标全国Ⅱ，12,5分]［理］设函数f(x）=3sinπxm。若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f（x0)］2<m2,则m的取值范围是A.（-∞,—6）∪(6，+∞)B。(-∞,—4）∪（4,+∞）C.(—∞,-2)∪（2,+∞)D.（-∞，-1)∪（1，+∞)7.［2013辽宁,12，5分]［理］设函数f（x)满足x2f’（x)+2xf(x）=exx，f（2）=e28,则x>0时，f(x）A.有极大值,无极小值B。有极小值,无极大值C。既有极大值又有极小值D。既无极大值也无极小值8。［2017北京，19,13分]［理]已知函数f(x)=excosx—x.(Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0,f（0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在区间［0,π2］上的最大值和最小值9.[2015山东，21,14分][理］设函数f(x)=ln(x+1)+a（x2—x)，其中a∈R.(Ⅰ）讨论函数f（x)极值点的个数，并说明理由;(Ⅱ)若∀x>0,f（x）≥0成立,求a的取值范围。题组3生活中的优化问题10.［2013重庆，20,12分]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度).设该蓄水池的底面半径为rm,高为hm,体积为Vm3.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率）。(Ⅰ）将V表示成r的函数V（r),并求该函数的定义域;（Ⅱ)讨论函数V(r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.题组4导数与函数的综合11。［2014新课标全国Ⅰ,11，5分］［理］已知函数f（x)=ax3-3x2+1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0〉0，则a的取值范围是（)A.（2,+∞）B.(—∞,—2)C。（1，+∞） D。(—∞,-1）12.［2015四川,15，5分］[理]已知函数f(x)=2x，g(x）=x2+ax（其中a∈R）.对于不相等的实数x1,x2，设m=f(x1)-f①对于任意不相等的实数x1,x2，都有m〉0;②对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n〉0;③对于任意的a,存在不相等的实数x1，x2，使得m=n;④对于任意的a,存在不相等的实数x1，x2，使得m=—n。其中的真命题有(写出所有真命题的序号）.

13.［2017全国卷Ⅲ,21,12分］［理]已知函数f(x）=x-1—alnx.(1）若f(x)≥0,求a的值;（2)设m为整数，且对于任意正整数n，(1+12)（1+122）·…·（1+12n）14。[2017江苏，20,16分]［理]已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f’(x）的极值点是f（x）的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）(1）求b关于a的函数关系式,并写出定义域；(2）证明:b2>3a;(3）若f(x），f’（x)这两个函数的所有极值之和不小于—72,求a的取值范围15。［2016全国卷Ⅱ,21,12分］［理]（Ⅰ）讨论函数f（x）=x-2x+2ex的单调性,并证明当x〉0时,(x—2）ex(Ⅱ）证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=ex-ax-ax2（x〉0）有最小值。设g（x)的最小值为h（16.[2015新课标全国Ⅰ，21，12分][理］已知函数f(x）=x3+ax+14，g（x）=-ln(Ⅰ)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x）的切线;（Ⅱ)用min｛m，n}表示m,n中的最小值，设函数h(x）=min{f（x），g（x）｝（x>0），讨论h(x)零点的个数。A组基础题1.［2018浙江省温州市一模，6］已知函数f(x）的导函数f’(x）的图象如图3-2-2所示，则函数f(x)的图象可能是（）图3-2-2A.B.C。D。2。［2018成都市高三摸底测试,7]已知函数f(x）=x3-ax在（—1，1）上单调递减,则实数a的取值范围为（)A。(1,+∞) B.[3，+∞）C.（-∞,1] D。（—∞,3］3。［2017南昌市三模,10］已知函数f'（x)是函数f(x）的导函数，f（1)=1e，对任意实数x，都有f(x）f'（x）>0，则不等式f(x)〈ex—2的解集为（)A。(—∞,e） B.(1,+∞） C。(1,e） D.（e，+∞）4.［2017石家庄市二模，12]若函数f（x）=x3+2ax2—3bx+3b在（0,1）上存在极小值点，则实数b的取值范围是()A。(—1，0］ B。（-1，+∞)C。[0，+∞） D。(1，+∞）5.[2017郑州市第三次质量预测，12］设函数f（x)满足2x2f(x)+x3f'(x)=ex,f(2）=e28.则x∈［2，+∞)时,f(x）的最小值为(A。e22 B.3e22 6。［2018辽宁省五校联考,21]已知函数f（x)=2lnx+x2-2ax(a>0）。(1)讨论函数f(x)的单调性；(2）若函数f（x)有两个极值点x1，x2(x1〈x2),且f(x1）—f（x2)≥32—2ln2恒成立,求a的取值范围7.［2017长春市高三第四次质量监测,21]已知函数f（x）=x2eax。（1)当a<0时,讨论函数f（x）的单调性；(2)在（1）条件下,求函数f（x)在区间［0,1]上的最大值;(3）设函数g(x)=2ex—lnxx,求证:当a=1时，∀x∈（0,1）,g（x）—xf(x)〉B组提升题8.[2018河南省南阳一中三模，12］关于函数f(x）=2x+lnx,下列说法错误的是()A。x=2是f(x)的极小值点B.函数y=f（x）—x有且只有1个零点C。存在正实数k，使得f（x)〉kx恒成立D.对任意两个正实数x1,x2，且x2〉x1,若f（x1)=f（x2)，则x1+x2〉49。［2018河北“五个一名校联盟”高三第二次考试,16]已知函数f（x）=x+alnx(a〉0），若∀x1,x2∈（12，1)（x1≠x2)，｜f(x1)—f(x2）｜〉｜1x1—1x2|10。［2018西安八校联考,21]已知函数f（x)=x,g(x)=λf(x）+sinx(λ∈R)在区间［—1,1］上单调递减。（1）求λ的最大值；（2）若g(x）<t2+λt+1在[-1,1]上恒成立，求t的取值范围;（3)讨论关于x的方程lnxf(x)=x211。[2017甘肃省张掖市高三一诊，21]设函数f(x)=x22-a(1）当a=1时,求曲线y=f（x）在点（1，f(1))处的切线方程;（2）求函数f(x）的单调区间和极值;（3)若函数f（x)在区间(1,e2］内恰有两个零点，试求a的取值范围.答案1.D根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数f（x)在这些零点处取得极值,排除A,B;记导函数f’(x）的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-∞，x1)上f’(x)〈0,在(x1，x2)上f'(x）>0,所以函数f(x)在（-∞，x1)上单调递减,排除C,选D。2.C函数f(x)=x—13sin2x+asinx在(-∞，+∞）上单调递增,等价于f'(x)=1—23cos2x+a—43cos2x+acosx+53≥0在(-∞，+∞)上恒成立.设cosx=t,则g(t）=—43t2+at+53≥0在［—1，1]上恒成立,所以g(1)=-43.D由题意可知存在唯一的整数x0,使得ex0（2x0—1）〈ax0-a，设g（x)=ex（2x—1）,h(x）=ax—a，由g’(x）=ex(2x+1）可知g(x）在(—∞,—12)上单调递减,在(-12，+∞）上单调递增，作出g（x)与h(x)的大致图象如图所示，故h(0)>4。（Ⅰ）f（x)的定义域为(0,+∞），f'（x)=a-ax-2x2+2当a≤0时，x∈（0,1）时，f’(x）>0，f(x）单调递增,x∈（1,+∞）时，f’（x)<0,f（x)单调递减。当a>0时，f’（x）=a(x-1)x3（①0〈a<2时,2a>当x∈（0,1）或x∈(2a，+∞)时,f’（x）〉0，f(x当x∈(1，2a）时，f'(x)<0,f(x）单调递减②a=2时，2a=1，在x∈（0，+∞)内，f'（x）≥0，f（x）单调递增③a>2时,0〈2a〈当x∈（0,2a）或x∈(1，+∞)时，f'（x)>0,f(x当x∈(2a，1）时,f’(x)〈0，f（x）单调递减综上所述，当a≤0时，f（x)在（0,1)内单调递增,在（1，+∞）内单调递减；当0〈a<2时，f（x)在(0，1)内单调递增,在(1，2a)内单调递减,在(2a，当a=2时，f(x）在(0，+∞）内单调递增;当a〉2时,f（x)在(0，2a)内单调递增,在(2a，1)内单调递减,在（1,+∞(Ⅱ)由(Ⅰ）知，a=1时，f(x)—f'(x)=x-lnx+2x-1x2-（1-1x-2x2+2x3)=x—lnx+3设g（x)=x—lnx,h（x）=3x+1x2—2x3—则f（x)—f’(x）=g（x）+h（x）。由g’(x)=x-1x≥0，可得g（x）≥g(1)=1,当且仅当x=1时取得等号，h’（x)设φ(x）=-3x2—2x+6,则φ（x)在x∈［1，2］上单调递减,因为φ（1)=1，φ(2)=—10,所以∃x0∈（1，2)，使得x∈（1,x0）时，φ(x)〉0,x∈（x0，2）时，φ(x)〈0。所以h（x)在(1，x0)内单调递增,在(x0,2）内单调递减。由h（1）=1,h(2)=12，可得h(x）≥h(2）=1当且仅当x=2时取得等号.所以f(x)-f'（x)>g(1)+h(2)=32即f(x)>f’(x）+32对于任意的x∈[1,2]成立5.A因为f（x)=（x2+ax-1）ex—1,所以f’(x)=(2x+a）ex—1+(x2+ax-1）ex-1=[x2+（a+2)x+a-1］ex—1.因为x=—2是函数f（x)=(x2+ax-1)ex—1的极值点，所以—2是x2+（a+2）x+a—1=0的根,所以a=—1,f'（x）=（x2+x—2）ex—1=（x+2)(x-1）ex-1。令f’（x)〉0,解得x〈—2或x>1，令f'（x)〈0,解得—2<x<1，所以f（x)在（—∞，—2)上单调递增，在(—2，1）上单调递减,在(1，+∞）上单调递增,所以当x=1时，f(x)取得极小值，且f(x）极小值=f（1)=—1,故选A.6。C由正弦型函数的图象可知：f（x)的极值点x0满足f（x0）=±3,则πx0m=π2+kπ（k∈Z),从而得x0=（k+12)m(k∈Z).所以不等式x02+[f(x0)]2<m2，即(k+12)2m2+3〈m2，变形得m2[1—(k+12）2］>3，其中k∈Z.由题意,存在整数k使得不等式m2[1—（k+12）2］>3成立.当k≠—1且k≠0时,必有（k+12)2〉7.D由题意知［x2f(x）］'=exx,令g（x)=x2f（x），则g’（x）=exx，且f(x）=g(x)x2,因此f'(x)=xg'(x)-2g(x)x3=ex-2g(x)x3。令h（x）=ex—2g(x）,则h'(x)=ex-2g'(x)=ex—2exx=ex(x-2)x，所以x〉2时,h’(x)〉8.(Ⅰ）因为f（x)=excosx—x，所以f’(x）=ex(cosx-sinx)-1，f'(0）=0.又f（0）=1,所以曲线y=f(x)在点（0,f（0）)处的切线方程为y=1。（Ⅱ）设h(x）=ex(cosx-sinx）—1,则h’（x)=ex(cosx—sinx—sinx—cosx)=-2exsinx.当x∈(0,π2）时,h'（x)<所以h(x)在区间[0，π2]上单调递减所以对任意x∈(0，π2］有h(x)<h(0）=0,即f’(x）〈0所以函数f(x）在区间[0,π2]上单调递减因此f（x）在区间［0,π2]上的最大值为f（0）=1,最小值为f（π2）=—9。(Ⅰ)由题意知函数f(x）的定义域为（-1，+∞），f’（x）=1x+1+a(2x—1）=令g(x)=2ax2+ax-a+1,x∈（-1,+∞）。（1）当a=0时，g（x）=1，此时f'(x)>0,函数f（x)在（-1，+∞）单调递增,无极值点;（2）当a>0时，Δ=a2—8a（1—a）=a(9a-8）。①当0<a≤89时,Δ≤0,g（xf'(x）≥0,函数f（x)在(-1,+∞）单调递增,无极值点；②当a>89时,Δ>设方程2ax2+ax-a+1=0的两根为x1，x2(x1<x2）,因为x1+x2=—12所以x1<—14,x2〉-1由g(-1)=1〉0,可得—1〈x1<—14所以当x∈（—1，x1)时,g(x)>0,f'（x)>0，函数f（x）单调递增;当x∈(x1，x2)时,g（x)〈0，f'(x）〈0，函数f(x）单调递减;当x∈（x2,+∞)时,g(x)〉0,f’(x)>0,函数f(x）单调递增;因此，函数有两个极值点.（3）当a〈0时，Δ〉0，由g(—1）=1>0,可得x1〈—1.当x∈（—1，x2)时,g（x）〉0,f'(x)>0,函数f（x)单调递增;当x∈(x2，+∞)时,g（x）〈0，f’（x）〈0，函数f(x）单调递减；所以函数有一个极值点.综上所述,当a<0时，函数f(x）有一个极值点;当0≤a≤89时，函数f(x当a>89时,函数f（x)有两个极值点（Ⅱ)由（Ⅰ）知，（1)当0≤a≤89时，函数f(x）在（0,+∞因为f（0)=0，所以x∈(0，+∞）时，f(x)>0,符合题意；（2）当89<a≤1时，由g（0）≥0,得x2所以函数f（x)在(0，+∞)上单调递增。又f(0)=0,所以x∈(0，+∞）时,f（x)〉0，符合题意；（3）当a〉1时,由g（0)〈0，可得x2〉0.所以x∈(0，x2)时,函数f(x)单调递减,因为f（0)=0，所以x∈（0,x2）时,f(x）<0,不合题意;（4）当a<0时，设h(x）=x—ln(x+1）.因为x∈(0,+∞）时，h'（x)=1—1x+1=x所以h（x)在（0,+∞)上单调递增,因此当x∈（0，+∞）时,h（x）〉h(0)=0，即ln（x+1)〈x.可得f（x）<x+a（x2-x)=ax2+(1—a)x,当x〉1-1a时，ax2+(1—a）x〈此时f（x)<0，不合题意。综上所述，a的取值范围是[0，1］。10。（Ⅰ）因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为（200πrh+160πr2)元。根据题意得200πrh+160πr2=12000π,所以h=15r（300—4r从而V（r)=πr2h=π5（300r-4r3）由h>0，且r>0,可得0<r〈53,故函数V(r)的定义域为（0,53).(Ⅱ)由(Ⅰ）知V(r)=π5（300r—4r3故V'（r)=π5（300—12r2)令V'（r)=0,解得r1=5,r2=—5(r2=—5不在定义域内,舍去）。当r∈(0,5)时,V'（r）>0,故V（r）在（0,5）上为增函数;当r∈（5,53)时，V’（r)〈0,故V（r)在(5，53）上为减函数.由此可知,V(r）在r=5处取得最大值,此时h=8，即当r=5，h=8时,该蓄水池的体积最大。11。B当a=0时,f（x）=—3x2+1有两个零点，不符合题意，故a≠0。f'(x)=3ax2—6x=3x(ax—2),令f'（x)=0，得x=0或x=2a，由题意得a〈0且f(2a）〉0，解得a〈—12。①④因为f（x）=2x在R上是单调递增的，所以对于不相等的实数x1，x2,m=2x1-2x2x1-x2〉0恒成立，①正确；因为g(x)=x2+ax,所以n=x12+ax1-(x22+ax2)x1-x2=x1+x2+a,正负不定，②错误；由m=n，整理得f（x1）—g（x1)=f(x2)-g（x2）.令函数p（x）=f（x)—g(x)=2x-x2—ax,则p’（x）=2xln2—2x-a,令t（x）=p’(x)，则t'（x）=2x（ln2）2—2,又t'（1)=2（ln2)2-2<0，t'（3)=8（ln2)2—2>0，从而存在x0∈（1，3),使得t’(x0）=2x0（ln2）2-2=0，于是p'(x)有极小值p’（x0）=2x0ln2—2x0-a=2ln2-2log22(ln2)2-a，所以存在a=—2log22(ln2)2，使得p'（x0)=2ln2〉0，此时p（x)在R上单调递增，故不存在不相等的实数x1,x2，使得f（x1）—g（x1）=f（x2)—g(x2)，不满足题意，③错误；由m=—n,得f'（x)=—g’(x）,即—a=2xln2+2x。设h(x）=2xln2+2x，则h'(x13.(1)f(x）的定义域为(0,+∞）。①若a≤0,因为f(12)=-12+aln2②若a〉0，由f’（x)=1—ax=x-ax知,当x∈（0,a)时,f'(x）<0；当x∈（a,+∞）时,f'(x）〉0。所以f(x)在(0,a)单调递减,在(a,+∞）单调递增.故x=a是f（x由于f（1）=0,所以当且仅当a=1时,f(x）≥0。故a=1。（2)由（1）知当x∈(1,+∞)时，x-1-lnx〉0.令x=1+12n得ln(1+12n）ln(1+12)+ln（1+122)+…+ln（1+12n）<12+122+…+故（1+12）(1+122）…（1+12而（1+12)(1+122)（1+123)14.(1）由f(x）=x3+ax2+bx+1，得f’(x）=3x2+2ax+b=3（x+a3)2+b-a当x=—a3时，f'(x）有极小值b-a因为f'（x）的极值点是f(x）的零点,所以f(-a3）=—a327+a39—ab3+1=0,又a>因为f(x)有极值，故f’(x）=0有实根，从而b-a23=19a（27—a3）≤0，即a≥3。当a=3时，f'（x)〉0(x≠—1），故f(x）在R上是增函数,f(x）没有极值;当a>3时,f'（x)=0有两个相异的实根x1=-a-ax（—∞,x1）x1（x1,x2）x2（x2，+∞）f'（x）+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗故f(x）的极值点是x1,x2。从而a>3。因此b=2a29+3a（2）由(1)知,ba=2aa设g(t)=2t9+3t,则g’(t)=29—当t∈（362，+∞)时,g'（t)>0，从而g(t)在（362因为a>3，所以aa>33,故g(aa）〉g(33)=3,即ba〉3因此b2〉3a.（3)由(1)知，f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-23a，x12+x从而f(x1）+f(x2）=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=x13(3x12+2ax1+b)+x23（3x22+2ax2+b)+13a（x12+x22记f（x)，f’（x)所有极值之和为h（a）,因为f'（x）的极值为b—a23=—19a2所以h(a）=-19a2+3a，a>因为h’(a）=-29a—3a2〈0，于是h(a)在(3,因为h（6）=-72,于是h(a)≥h（6)，故a≤6因此a的取值范围为(3，6]。15.(Ⅰ）f(x)的定义域为(-∞,—2)∪（-2,+∞).f'(x）=(x-1当且仅当x=0时，f’（x)=0，所以f(x)在（-∞，—2）,（—2，+∞)上单调递增.因此当x∈(0，+∞）时,f(x)>f(0)=—1.所以（x-2)ex〉—(x+2)，（x—2）ex+x+2>0.(Ⅱ）g’（x）=(x-2)ex+a(x由(Ⅰ)知,f(x)+a单调递增.对任意的a∈［0，1)，f(0）+a=a-1〈0，f（2）+a=a≥0。因此，存在唯一xa∈（0,2］,使得f（xa）+a=0，即g’（xa)=0.当0〈x<xa时，f(x）+a〈0,g’（x）〈0，g（x）单调递减；当x〉xa时，f（x)+a>0，g'（x)〉0，g（x）单调递增。因此g（x）在x=xa处取得最小值,最小值为g(xa）=exa-a(于是h（a）=exaxa+2,由（exx+2所以,由xa∈（0，2]，得12=e00+2〈h（a)=exa因为exx+2单调递增,对任意的λ∈（12，e24］，存在唯一的xa∈（0，2］,a=-f（xa)∈［0，1），使得h(a）=λ，所以h(a综上，当a∈[0,1）时，g（x）有最小值h(a）,h(a）的值域是（12，e216.（Ⅰ)设曲线y=f（x）与x轴相切于点（x0,0），则f（x0）=0，f’(x0）=0，即x解得x0=12,a=—3因此，当a=—34时,x轴为曲线y=f(x）的切线（Ⅱ）当x∈(1，+∞)时，g（x）=—lnx<0,从而h(x)=min{f（x），g(x)}≤g（x）〈0,故h（x）在（1,+∞）上无零点.当x=1时,若a≥-54，则f（1)=a+54≥0,h（1)=min{f（1)，g（1）｝=g(1)=0,故x=1是h（x）的零点；若a〈-54,则f（1)<0，h（1）=min{f（1），g(1）}=f(1)<0，故x=1不是h(当x∈（0，1)时,g(x)=-lnx>0.所以只需考虑f（x）在(0,1）上的零点个数。(i)若a≤-3或a≥0，则f’(x)=3x2+a在(0,1)上无零点,故f（x)在（0，1）上单调.而f(0）=14,f（1）=a+54,所以当a≤-3时，f（x）在（0,1)上有一个零点;当a≥0时，f（x（ii）若-3<a<0,则f（x)在（0，-a3)上单调递减,在(-a3，1)上单调递增,故在(0，1)中,当x=-a3时，f(x)取得最小值,最小值为f(-①若f（-a3)〉0，即—34<a〈0,f②若f（-a3）=0,即a=—34,则f③若f（-a3）〈0，即—3〈a〈—34,由于f(0)=14，f（1）=a+54,所以当-54〈a<—34时，f(x)在（0，1)上有两个零点；当—3〈a≤-综上，当a>—34或a〈-54时,h(x）有一个零点;当a=-34或a=-54时，h（x)有两个零点；当-54<a〈-34A组基础题1.C由导函数f'(x）的图象可知,函数y=f(x）先减再增,可排除选项A，B；又f’(x)=0的根为正数,即y=f（x）的极值点为正数，所以可排除选项D，选C.2。B∵f(x）=x3-ax,∴f’（x）=3x2-a。又f(x)在(-1,1）上单调递减，∴3x2—a≤0在(-1,1）上恒成立，∴a≥3,故选B.3.B设g(x)=f(x)ex，则g’(x)=f'(x)ex-exf(x)(ex)2=f'(x)-f(x)ex。∵对任意实数x，都有f（x）—f'（x)〉0，∴g'(x)〈0，即g(x)为R上的减函数.又g(1）=f(1)e=1e2,由不等式f（x）<ex—2,得f(4。B若函数f（x)=x3+2ax2—3bx+3b在（0，1)上存在极小值点,则f’（x）=3x2+4ax-3b在(0,1)上有两个零点或一个零点在（0，1）上,一个零点在（—∞，0]上。当导函数f’(x)的一个零点在（0，1)上，一个零点在（-∞,0］上时，需满足f'(0)=-3b≤0,f'(1)=3+4a-3b>0,∴b≥0,3+4a-3b>0,必会存在a使得f’（1）∴-4a29<b<1+4a3,b<0,-325.D由已知，得2xf（x）+x2f’（x)=exx，即［x2f（x)]’=exx,因此令F（x)=x2f（x），则F’（x）=exx，F（2）=4f(2）=e22。又由已知得f’(x)=ex-2x2f(x)x3=ex-2F(x)x3，此时再令φ（x）=ex—2F（x）,则φ’（x）=ex—2F’（x）=ex-2·exx=ex(x-2)x，所以当0<x〈2时，φ’（x）〈0,当x〉2时,φ’(x)>0,所以φ(x)min=φ（2)6。(1)由题意知,函数f（x)的定义域是（0，+∞）,f’(x)=2(x2-ax+1)x，令x2①当0〈a≤2时,Δ≤0，f’（x)≥0恒成立，函数f(x）在(0，+∞)上单调递增;②当a〉2时,Δ>0,方程x2-ax+1=0有两个不同的实根，分别设为x3，x4,不妨令x3<x4,则x3=a-a2-42,x4=a因为当x∈(0,x3）时，f’(x)〉0，当x∈(x3，x4)时，f’(x)<0，当x∈(x4，+∞）时,f’（x）〉0,所以函数f(x)在（0,a-a2-42)上单调递增，在（a-a（2)由(1）得f（x）在（x1,x2）上单调递减,x1+x2=a,x1·x2=1，则f（x1)—f(x2）=2lnx1x2+(x1-x2）（x1+x2-2a)=2lnx1x2+x22令t=x1x2，则0〈t<1,f(x1)—f(x2)=2lnt+令g(t）=2lnt+1t-t(0〈t〈1),则g’(t）=—(t故g（t）在（0,1）上单调递减且g（12）=32故g（t)=f(x1)-f(x2)≥32—2ln2=g(12)，即0<t≤而a2=（x1+x2)2=x1x2+x2x1+2=t+1令h（t）=t+1t+2，t∈（0，1所以h'(t）=1—1t2〈0在t∈（0，故h(t)=t+1t+2在(0,1从而a2≥92故a的取值范围是[322，+∞7。（1)由题意知f'(x)=eax(ax2+2x），令f’(x）=0,可得x=0或x=-2a又a〈0,则由f'（x)<0,得x<0或x>—2a，由f’(x)>0,得0〈x〈-2a.所以函数f(x)在(—∞，0)和（—2a，+∞)上单调递减,在(0,-(2）在（1）条件下,当—2a≥1，即-2≤a<0时，f（x则f（x）的最大值为f（1)=ea;当—2a〈1，即a〈—2时,f(x）在[0，—2a)上单调递增，在(—则f（x)的最大值为f(-2a）=4a2e(3）要证g（x）—xf(x）〉2，即证(2-x3)ex>2+lnx令h（x）=（2—x3）ex，则h'（x)=（—x3—3x2+2)ex=-ex(x+1）（x2+2x—2),又x∈(0，1）,易知在(0，1)上h（x)存在极大值点,又h(0）=2,h（1）=e，则h（x)在(0，1）上恒大于2，而2+lnxx在(0，1)上恒小于2，因此g（x)-xf（x)〉B组提升题8.C由题意知,f’（x)=x-2x2，∴函数f(∴x=2是f(x）的极小值点，即A正确;∵y=f(x)—x=2x+lnx-x，∴y'=-x∴函数y在（0,+∞）上单调递减,又当x趋近于0时，y趋近于+∞∴函数y=f(x)-x有且只有1个零点，即B正确；由f（x）〉kx,可得k<2x2+令g(x）=2x2则g'(x）=-令h(x）=—4+x-xlnx，则h’（x）=-lnx，∴函数h(x）在区间(0,1）上单调递增，在区间（1,+∞）上单调递减，∴h（x）≤h(1）〈0,∴g'(x）<0,∴函数g（x）=2x2+lnxx在区间（0，+∞）上单调递减，函数∴不存在正实数k,使得f（x)>kx恒成立,即C不正确；对任意两个正实数x1，x2,且x2〉x1,函数在区间(0,2）上单调递减，在(2，+∞)上单调递增,若f（x1)=f（x2），则x1+x2〉4,D正确.选C。9。[32，+∞)由f（x）=x+alnx(a〉0),得当x∈（12,1)时,f'（x)=1+ax>0，f（x不妨设x1〉x2,则|f（x1）—f(x2)|〉｜1x1—1x2|,即f（x1）