小升初数学思维训练教程上册

数学思维训练教程

小升初系统总复习

目录

目录................................................................................1

第1讲计算（一）速算与巧算.......................................................2

第3讲数字谜、数阵图、幻方..........................................................31

第4讲数论（一）整除、奇偶性、极值问题............................................48

第5讲数论（二）约数倍数、质数合数、分解质因数................................61

第6讲数论（三）带余除法、同余性质、中国剩余定理..............................74

第7讲几何（一）平面图形........................................................87

第8讲几何（二）曲线图形.......................................................110

第9讲几何（三）立体图形........................................................125

第1讲计算(一)速算与巧算

一、知识地图

基本公式

二、基础知识

平方、立方公式

z整数计算《

(-)整数计算

数列及特殊公式

1、基本公式

(1)加法交换律：a+b=b+a特殊方法

速算与巧算《

(2)加法纪合律：a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c

C拆分与裂项

(3)减法的性质：u—b—c=u-(b+c)

乘法交1精数法第=/,xJ几个常用拆分分数

(4)

(5)乘法结合律：axbxc=a<(bxc)=(axb)xc

循稣力、数化分数

ax.(b+c)=ay.b+axc

(6)乘法分配律：

ax(b-c)=axb-axc

(7)除法的性质：a+/?+c=a+(/?xc)

2、平方、立方公式

(a+b)2=。2+b2+2ab

(1)完全平方公式：(a-b)2=a2+b2-2ab

(a+b+c)2-a'+b2+c~+2ab+2bc+2ac

(2)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

(a+bp=a3+3a2b+3ab2+b'

(3)完全立方公式:

(a-b)3=a3-3a2b+3ab°-b3

＞仅做了解

(4)立方和公式：+b3-(a+b)(cr—ah+b1)

(5)立方差公式：a3—b3—(a—h)(a2+ab+b2)

3、数列及特殊公式

(1)等差数列:

A)通项公式：q,=q+(〃-l)d...........为什么要“n-1”呢？

B)求项数公式：/=81J+1...........为什么要“+1”呢？

d

0求和公式：S="吆此4...........为什么要“+2”呢？

关于这个等差数列，同学们可以联系植树问题的数量关系来看，怎么把植树

问题与等差数列联系在一起呢？

“在数轴上植树”，这可是带有一定的技术含量的……

如图：

47101316192225

请体会这里数字与“树”对应、公差与“株距间隔”对应。

例如：

a)22这个数是“第七棵树”，要由“第一棵树”加上六个“间隔”得到，算式

为：22=4+(7-1)X3；

b)如果要求这个数列从4到25,一共有多少个数，相当于把4看作第一棵树，

问25是第几棵树？

可以思考，从4到25一共有多少个“间隔”，

(25-4)+3=7,

所以应该是“第8棵树”，这里注意到了为什么求项数“加1”了吧？

c)求和公式的来龙去脉，同学们不可不知：

法一：高斯“配对法”。

例如，在计算1+2+3+…+8+9这一串数列的和时，我们可以把第一个数加上最

后一个数，第二个数加上倒数第二个数，这样，一直到第四个数加上倒数第

四个数，每一对数的和都是10,这里，要注意还有一个“中间数”5,,没有

配上对，所以，这组数列9个数的和是10X4+5=45。

法二：借来还去法。

例如，还是计算1+2+3+-+8+9这一串数歹U吧，如果我再''借”来一串“9+8+7+…

+3+2+1”，

这么一串数只是把原来的数列颠倒一下顺序，可以知道两串数是相等的。所以，

如果我把这两串数的和求出来，是一定要“除以2”的！

问题在于，本来要求一串数的和，干嘛我还扯上了另一串，这样做好算吗？

答案正在这个地方，就是因为再有这么一串倒过来的数，好算不得了——“变

异为同”了！

如图：

1+2+3+4+5+6+7+8+9=S

+9+8+7+6+5+4+3+2+1=S

101010101010101010=2S

所以，可以得出，10X9+2=45

回头再看，这里的10可以用(1+9)为代表，则得：

(1+9)X94-2=45

再推广开去，对于其他等差数列，都有这么一个公式：

和=(首项+末项)X项数+2

(2)等比数列：

1

(3)1+2+3++〃=gx〃x(〃+l)

a)I2+22+32++»2=—x/?x(/?+1)x(2n+1)

6

b)F+23+33++〃3=［如”与=力(〃+且

24

(4)1+2+3++n++3+2+l=〃2

(5)ll2=121

1112=12321

111I2=12345n54321(nW9)

n个

/八abx\01=abab

(6)________

abx10101=ababab

—4z/?cx1001=abcabc

abedx10001=abedabed

这一类的数不妨称之为"重码数"，关键于把一个循环节的“个位”的“1”

作为记数单位，结合位值原则，我们可以得到上述结果。

4、特殊方法

(1)凑整法：利用运算公式和运算律(如交换律、结合律、分配律)将

一些数凑成整一或整十整百再计算。

(2)换元法：将一些数或一个式子记为某个字母，如a,b,c……达

到化繁为简的目的。

(二)分数计算

1、拆分与裂项

nx(n+l)nn+1

(2)——-——=-(--一—)(左>1)

几x(〃+Z)knn+k

72x(〃+1)x(〃+2)nx(n+l)(n+l)x(/z+2)2

(4)--------=—(-------)(a>1且左>1)

nx(n+k)knn+k

2、几个常用拆分分数

111511

——------=—।—

623623

111711

--——-3--4--二---31----4

11212

-1111

=---=-+-

4545

2102U0

-1111

----=--

31056305+•6

-

1113一11

--_-42---

426767

3、循环小数化分数

Aaaah

0.4——0.0。Q.ab

99099

ab-a

O.ab=

90

abcabc-aabed-ab

O.abcO.abc=O.abcd

9999909900

请聪明的你，来比较1与0.99999999……的大小？

你可能已经知道:0.9999999……=1

也就是：0.9=1,可是这是为什么呢？

铺垫:

.12-111

0.12=-------

9090

12_123-1237

0.120.123=

99~33900300

123411234-1231111

0.123=」0.1234=

99933390009000

12341234-12611

0.12340.1234

999999004950

1234-1137

0.1234=

99901H0

以此题为例推导:

1234-12611

0.1234=

99004950

设0.1234为A,那么100A=12.34

10000A=1234.34

所以：10000A-100A=1234-12

9900A=1234-12

1234-12611

A—______________—________

9900—4950

注意：循环小数化分数，分母中9的个数与其循环节的位数对应，0的个数与小数点

后不循环的位数对应。分子是不循环部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部

分组成的多位数相减所得到的差。

三：经典透析

【例1】：(☆☆☆)11+192+1993+19994+199995=

审题要点：

1)看题目中的数，聪明的你是否发现了什么秘密？

对了，每一个数都有一个小秘密：

11-10+1

192-200-8

2)发现了秘密就赶紧动手吧！

详解过程：

11+192+1993+19994+199995

=(10+1)+(200-8)+(2000-7)+(20000-6)+(200000-5)

=222210+1-26

=222185

专家点评:

这道题目不是很难，关键是要学会“凑整”的思路！

〈恍然大悟,

【例2】(☆☆☆)38765432-3876542x3876544=原来平方差公式还可

以这么用！

审题要点：

cc-b2—(a+b)(a-b)

1)好大的数啊！别怕，肯定有绝招。

2)哈哈，终于发现了数之间的小秘密。

3876543T3876542=(3876543-1)

3876543->3876544=(3876543+1)

详解过程:

原式=38765432-(3876543-l)x(3876543+1)

=38765432-(3876543：-俨)

=1

专家点评：

做这道题目，你会发现，奥数的很多题目，不仅仅是记公式就能解决的，很多

时候需要你对公式进行消化吸收，达到灵活应用才能在用时得心应手.

[^|J3](☆☆☆☆)212+222+232++5O2=

审题要点：

〈友情提示〉

1)这题看着很熟悉一联想平方求和公式^12+22+32++n2

①I

=—xwx(rt+l)x(2〃+1)

2)可是起始的数不是V?6

②凑整；

没关系，缺什么补什么！

③提取公因数；

详解过程：④“借来还去”思想。

212+222+232++5O2

=(12+22+32++202+212+222++502)-(12+22+32++202)

=-x50x51x101--x20x21x41

66

=1x[50x51x(100+1)-20x21x(40+1)]

=40055

专家点评：

〈友情提示〉

很多题目不能就题论题，你必须要在熟练应用公式①提取公因数的两大特征：

一是要有“公因数”，“疑似”

的前提下，做适当的变换，这道题目就是一个很好的例

公因数也不错，我们可以借助下

子。面两招对它加工。

二是要有互补数。

【例4】(☆☆☆☆)1995-x73+—x730+153.3=

225--②--a-x-Z-?=(axlO)x(^)

审题要点：

axbxc=ax(bxc)

1)“73”好像是关键。

③什切ac

变招—xc=—xa

2)如果可以提取73,那不是很简单？hh

试试吧！

详解过程：

原式=1995.5x73+0.24x73x10+73x2.1

=73x(1995.5+2.4+2.1)

=73x2000

=146000

专家点评：此处利用了分拆法，将730分拆为73X10,153.3分拆为73X2.1,

目的都是为了构造出“公因数”73。此种构造方法很常用，你学会了吗？

[例5](☆☆☆☆)

1111

—I----1-------F+

11+21+2+31+2+3++100

审题要点：

1)分母很特别哦：1,1+2,1+2+3,,1+2+3++100

2)1+2+3++〃=-------

2

3)

〃(几+1)n(n+1)nn+\

2

详解过程:

原式=2xd」)+2xd」)++2x(--1

)

1223n〃+1

=2x(1」+，——++—-----—)

223100101

=2x(1---)

101

200

-loT

专家点评：

这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题,

所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。

【例6】（☆☆☆☆）--1---1----Fd----=_____

2612110

审题要点：

1）分数相加，分子不相等，似乎不能裂项;

2）如果做一下变换呢？

试试吧。

详解过程:

原式=(1)+(1)+(1---)++(1-----)

2612110

AII、

=10-(-+-++——)

26110

=10-(——+——+H------)

2x12x310x11

，八八11111、

=10-(1——+----+-------)

2231011

-10-(1--)

11

-9—

11

专家点评:

这道题目的解题关键在于对裂项的熟练应用。题目本身并不是很难，但是

需要同学认真仔细。

(54+4)X(94+4)X(134+4)XX(494+4)

[例7](☆☆☆☆)

(34+4)X(74+4)X(114+4)XX(474+4)-

审题要点:

1）既然题目这样出了，说明绝大部分项能够裂项约掉！试验可知:

44

5+4629379+46565101加人到中也*±工口以、+、如

—=——=一，1——=----=——（区两个利用辗转相除法），能

34+485574+4240537

够约掉37,看来确实可以裂项。

详解过程:

观察到5,37,101以及约去的最大公约数17和65都是偶数的平方+1,所以

494+4502+125011

立刻猜测最后的"约分后等于42，原式等于必•=500-o

47+446-+155

专家点评：这是一道比较难的计算题，很多人认为只有到了初中，学了因式分解

才有可能做出来。但是，小学生如果能够有“找规律”的思维，也是完全可以得出答

案的。本题解题的关键在于“试算观察法”与“辗转相除法”的综合运用，你学会了

么？

【例8】（☆☆☆☆）

(^+Z29+4^7^+^+3786^+739+458+378739+458

126358947358947207126358947207358947

审题要点:

1）看到这么庞大的算式，应该想到要换元；

2）换元时注意要整个括号作为一个整体代换;

3）不妨设

621739458

Cl=--------1----------1--------

126358947

,739458

358947

详解过程:

店j〃378、,378、,

原式=axSH----)—(tzH-----)xb

207207

,378,,378

二cib+。x-----cib—bx----

207207

378,,、

=---x(a—/?)

207

378621

----X----

207126

=9

专家点评:

“换元”法在庞大的数学计算中经常用到，数学题目很少是需要你对一个复

杂的式子进行每一步的计算，一般都有简便算法，这些需要你平时多积累。利用

换元法解题时有两种可能性：一，换元的未知数最后都消去，可直接得出答案。

二，换元的未知数不能完全消去，那么就应该将原数或原式重新代入计算，此时

的代入计算将很简单，如本题中最后（a-b）须换回原来式子计算得四。

126

【例9】（☆☆☆☆）0.12+0.23+0.34+0.45+0.56++0.89=

审题要点:

1）：有循环小数的计算，首先要进行分数转换。

2）：每个数都是混循环小数，应该怎样化成分数?

详解过程:

…12-123-234-389-8

原式=-----+------+------+•••+

90909090

112181

=-------1-------+•••-!--------

909090

(11+81)x8+2

90

368

90

=4百

45

专家点评:

循环小数化分数，你学会了么？这是个很重要的知识，在比较大小和计算过

程中经常用到。

另外，如果对循环小数的性质很熟悉的话，知道0.9=1,则可观察到:

0.89=0.9

0.12+0.67=0.79=0.8

0.23+0.56=0.79=0.8

0.34+0.45=0.79=0.8

还有一个0.78,所以总和为

0.9+0.8x3+0.78

=4.08。

84

经验证，4.08=4—=4—o

9045

四、拓展训练

1111

1.-------1---------1---------FH--------------------

1x3x53x5x75x7x92001x2003x2005---------

［初级点拨］这道题目不难，关键是考察对公式的应用

〃(〃+攵)(〃+2左)2k〃(〃+%)(〃+%)(〃+2攵)

［深度提示］注意哦，分母中1与3,3与5都是要差2,所以在裂项时，括号外面要乘以工；

4

［全解过程］原式——X—x(----------1-------------FH--------------------------)

221x33x53x55x72001x20032003x2005

111、

二一X(z-----------------)

41x32003x2005

14016015-3

—X--------------

43x2003x2005

1004003

12048045

11,1111

2.(一--------y--…—)X(1-----1---1+―

23499100234599

23459910023499

［初级点拨］这么庞大的式子，换元毫无疑问，但是要找好，到底换什么哦。

1111

［深度提示］换元时，可以设"=-----11-—H------------F.........H-------

2349923499

设0」」+!一

［全解过程］

234

原式匚(aH----)xb—{h----)xa

100100

=ab+———ab+-^―

100100

1,，、

~-----(a+b)

100

1

100

3.4726342+4726352-472633x472635-472634x472636-—。

［初级点拨］类似于例题2；

［深度提示］运用平方差公式，你会了么？

［全解过程］原式

=4726342+4726352-(472634-l)x(472634+1)-(472635-l)x(472635+1)

=2

3x4x54x5x65x6x78x9x10

［初级点拨］=［］；

这题比较简单‘^nx(n+l)x(n+2)^h-(n+l)x(n+2)4

［深度提示］这道题目很简单，主要就是公式应用的问题;

［全解过程］原式=2xiX1

)

23x44x54x55x68x99x10

11

3x49x10

13

180

Ill11

---------1-----------1-------------1---------------FH----------------------

1x44x77x1010x132005x2008

直接利用公式——J——=-x(l———):

［初级点拨］

nx(n+k)knn+k

［深度提示］公式的直接应用，但是要注意,分母拆开后，差值是3；

-11I

［全解过程］原式=-X(1---+一—+•・・+------------------

344720052008

12007

=­x

32008

669

2008

J,1

6.1-+2-+3—+4—+5—+6—

2612203042

［初级点拨］带分数在计算过程中，通常有两种处理办法，或者化成整数和分数的和，或者化成

假分数，聪明的同学，想想这道题应该怎么处理呢？

［深度提示］拆成你熟悉的形式:

c1c1

2-=2+-

66

［全解过程］原式=(1+2+3+-+6)+(-+-+•••+—)

2642

c5cl19,41=1c71cl,1

7.2——3—+4——+5——6——+7——8——+9——1-=

6122030425672902

［初级点拨］类似于上面的第6题，但是要稍微难点，关键也是对带分数的处理，不要犹豫，你

想的没错，写出来试试。

［深度提示］将带分数拆成整数和分数的和；

［全解过程］原式=(3——)—(3+—)+(5——)+(5+—)—(7——)+(7+—)—

61220304256

(9——)+(9+—)—(1+—)

72902

ccuurrcc,、/11111111、

一(3-3+5+5-7+7-9+9-1)+(---1----1----1----1--------------------)

3042567290261220

+5-6+6-7+7-8+8_9+9_10_2_2+3_3+4_4+5

=9+(抬—1)

二8』

10

1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1

N______________________________________________=

88888888x88888888

［初级点拨］这道题目是典型的利用公式解题，所以公式一定要熟记哦。

［深度提示］记住两个公式即可，翻看前面的基础知识，你需要的都在那里;

Q2

［全解过程］原式=二-------------------

82x123456787654321

________1________

.23456787654321

()567+345x566

567x345+222

［初级点拨］提取公因数，但是要先做下变换，看看，怎么变动一下!

［深度提示］1）找题目中的特殊之处。

2）如果分母中也是566x345那多好啊!

3)变变嘛！567x345=566x345+345

567+345x566

［全解过程］原式==1.

345x566+345+222

19191919

10.(1+—)+(1+—x2)+(l+—x3)++(1+—xll)-

92929292

［初级点拨］第一步肯定是要去括号，聪明的你想到了吗？

［深度提示］去括号，提取公因式，两项结合；

191919

［全解过程］原式二(1+1+1++1)+(----1----x2+4-----x11)

巾、929292

19

-11+—x(l+2+3+.......+11)

11+—x66

92

〜29

-24——

46

11.(0.3x0.1875+—)x65=

400

［初级点拨］如果在计算中出现循环小数，那毫无疑问要先化为分数。

［深度提示］循环小数化分数的计算。

31

［全解过程］原式=(±x0.1875+——)x65

9400

=(0.0625+0.0025)x65

0.065x65

-4.225

第2讲计算（二）比较大小、估算、定义新运算

一：知识地图:

（通分

比倒数

二：基础知识

与1相减比较法

（一）：比较大"芬数的大小比较\

1、分数的大小比较\纭典结牝

比较大于,分：a）通分母：化成分母精镰勃■数比较，分子小的分数小;

'b）通分子：化成分子H藏麟酸，分母小的分数大。

2）小嬲碑新幌幼小。一,

3）与1相减比较法：a）真分数嘴程瞰敕彬瓢小；

b）假公数对币知激的命扉物瞰删■加上

4「M3褥a）对于两个真分孩.就翱耀fil背嬲匍锵分母都

估算\大的分数比较大；

.经典步骤b）对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子分母

都小的分数比较大。

I定义新运算r干分数的分子分母同时加上或减去相同的数和原分数进行比较:

（a>b,且a,0,c为非零自然数时）

,、hb+chb-c

（1）-<----,->----

aQ+Caa-c

334-133__i

即“真分数越加越大，越减越小"（a-cwO）如己<二一:—:

55+155-1

（2）产即“假分数越加越小，越减越大”。

bb+cbb-c

5）放缩法。

6）化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起。切记！

35352135

7）两个数相除进行比较。如：一和一，一+—=—〉1,所以一〉一。

47472047

2、小数的大小比较

常用方法：将小数排成一个竖列，并在它们的末尾添上适当的“0”，使它们都变

成小数位数相同的小数，然后比较。

（-）估算问题

1、常用方法

1）放缩法：为求出某数的整数部分，设法放大或缩小，将结果确定在两个接近

数之间，从而估算出结果。

2）变换结构：将算式变形为便于估算的形式。

2、经典步骤

估算和式整数部分：a）令和式结果等于A；

b）最小的数X个数VA〈最大的数X个数；

c）求A。

对于较简单的题目，使用“最小的数X个数<A（最大的数X个数”就可以确定整

数部分。对于较复杂的题目，这会造成放缩幅度过大。如果出现此情况，设法比较原

式与（最小的数+最大的数）X个数+2的大小，以及与（中位数X个数）的大小（总

共有偶数个数的时候，“中位数”视为中间两个数的平均数）。

（=）定义新运算

这是近年来出现的一种新题型，解题的过程可以归结为经典三步：阅读一理解一

应用。

三：经典透析

【例1】（☆☆☆☆）如果陋，6=陋，那么a,6中较大的数是。

20062007

审题要点：1°通分似乎太麻烦了，怎么办呢？

2°大小比较有6个经典方法，这个似乎与“4经典结论”相仿哦！

3°发现了吗？两个分数的分子分母的差值都相等：2006-2005=1,

2007-2006=1

详解过程：因为a与b都是真分数，且分母与分子差相同，并且丝与〈丝？，所以a

20062007

<b»

专家点评：分数比较问题，方法很多，做题时要注意从不同角度考虑。

下面再介绍两种解题方法：

方法二：

1°a与b都很接近“1”；

2°聪明的你，发现秘密了吧！

l-a=-------

2006

11

---->且a和b为真分数,

2006---2007

所以a<bo

方法（三）：比倒数。

12006120071

_—_____=]______

a-2005-2005~b2006-2006

11…

—>一所以aVb。

ah

方法（四）：两个数相除进行比较。

200520062005x200720062-!1

2006,2007—2006x2006—20062

-20052006

所以：-----<------

20062007

同学们开动脑筋看还有没有更多的思路!

111111110R_444444443

【例2】（☆☆☆）如果A与中哪个数较大?

222222221'—888888887AB

审题要点：1°快开动脑筋看这个题目适合用哪个方法?

2°不妨先试试比倒数。

详解过程：——1——,1二2——1——，

A111111110B444444443