【名师导学】数学(江苏理,提高版)大一轮复习练习：16.3重要不等式及其应用(含答案解析)

第81课重要的不等式及其应用【自主学习】第81课重要的不等式及其应用自主学习回归教材1.(选修4-5P24例2改编)求函数y=1-x+42x的最大值.【解答】由于y21-x22x2222=(+·))]·(1-x+2+x)=9，因此y≤3，当且仅当+(121-x=2x，即x=0时取“=”，故ymax=3.42.(选修4-5P38习题6改编)求函数f(x)=x+x2(x>1)的最小值.4xx43xx4x4【解答】由于x>1，因此f(x)=x+x2=2+2+x2≥322xx=3，当且仅当2=x2，即x=2时取等号，故f(x)min=3.3.(选修4-5P37习题6改编)已知正数a，b，c知足a+2b+3c=6，求证：a1+2b2+3c3≤6.【解答】由于a+2b+3c=6，因此(a+1)+(2b+2)+(3c+3)=12.由柯西不等式，得[(a+1)+(2b+2)+(3c+3)](12+12+12)≥(a1+2b2+3c3)2，则a1+2b2+3c3≤6，当且仅当a1=2b2=3c3时取等号，此时a=3，1b=1，c=3.a4b4c44.(选修4-5P37习题11改编)设a，b，c均为正实数，求证：a+b+c≤abc.【解答】设a≥b≥c，右边a4b4c4111111111abc3bc3ac3ab3ac3ab3bc2a2b2c==a·+b·+c·≥a+c·≥a·+c·=a+b+c=左侧.·+b··+b柯西不等式：设n为大于1的自然数，ai，bi(i=1，2，3，，n)为随意实数，则nnn2b1b2bnaibi22i1aii1bii1，此中等号当且仅当a1a2==an时建立(当ai==0，i=1，时，商定b=02，3，，n).2.排序不等式：设两组实数，a，，a与b，b，，b，且a≤a≤≤a，b≤b≤≤b，a12n12n12n12n若记c1，c2，，cn为b1，b2，，bn的随意一个摆列，则和数a1c1+a2c2++ancn在a1，a2，，an与b1，b2，，bn同序时最大，反序时最小，即1122++ann≥a1122++ann≥a1n2bn-1++an1，等号当且仅当a12==an或ab+abbc+accb+ab=ab1=b2==bn时建立.a1a2an3.均值不等式：若a1，a2，，an均为正数，则

n≥na1a2a3an，等号当且仅当a1=a2==an时建立.【重点导学】重点导学各个击破利用柯西不等式证明不等式2a2b2c例1已知ad231，d，d均大于零，求证：d1d2d32+++bd+cd=2，且a，b，c，d.【思维引导】利用ad1+bd2+cd3=2变形为2a2b2cabcabcd1+d2+d3=2d1d2d3=(ad1+bd2+cd3)d1d2d3，结构切合柯西不等式的形式，再利用柯西不等式进行证明.【解答】已知ad1+bd2+cd3=2，因此由柯西不等式，得2a2b2cabcd1+d2+d3d1d2d3=2abc=(ad1+bd2+cd3)d1d2d3222abcad12+(bd22+(cd32d1d2d3=[()))]·++2≥(a+b+c).故原不等式得证.变式(2015·苏州期末)设实数x，y，z知足x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值，并求此时x，y，z的值.【解答】由于6=x+2y+3z=(1，2，3)·(x，y，z)≤122232·x2y2z2，18因此x2+y2+z2≥7，xyz当且仅当1=2=3时，取等号.又x+2y+3z=6，369因此x=7，y=7，z=7.36918综上所述，当x=7，y=7，z=7时，x2+y2+z2获得最小值7.利用排序不等式证明不等式例2已知a，b，c均为正实数，求证：333222a+b+c≥ab+bc+ca.【思想指引】题目中没有给出a，b，c三个数的大小次序，且a，b，c在不等式中的“地位”是平等的，不如设a≥b≥c，再利用排序不等式加以证明.【解答】由于a，b，c均为正实数，不如设222a≥b≥c>0，则a≥b≥c，>0由排序不等式，333222a.得a+b+c≥ab+bc+c【精重评论】运用排序不等式证明的重点点在于：(1)不要忘掉使用排序不等式的前提条件，即不要忘掉“不如设”；(2)要创建出两个数相乘的项之和的形式；(3)在证明过程中一直记着“同序和最大，乱序和其次，反序和最小”.利用均值不等式证明不等式11例3若a>0，b>0，且2ab+b1=1，求a+2b的最小值.11【思想指引】利用“1的”代换，将a+2b凑成2a+4b+3，再将2a+4b+3乘以2ab+b1=1，而后再利用均值不等式求解.11【解答】由于a>0，b>0，且2ab+b1=1，113(b1)2ab因此2a+4b+3=(2a+4b+3)2ab+b1=4+2ab+b1≥4+23，133当且仅当a=2+3，b=3时取等号，231因此a+2b的最小值为2.【精重评论】运用均值不等式证明不等式，当题目中未显然给出组成均匀值的n个正数时，需要作拆项、添项等办理，学会创建条件再利用均值不等式解题.变式222222(2015·常州期末)已知a>0，b>0，求证：(a+b+ab)(ab+ab+1)≥9ab.【解答】由于a>0，b>0，因此a2+b2+ab≥33a2?b2?ab=3ab>0，ab2+a2b+1≥33ab2·a2b·1=3ab>0，当且仅当a=b时上式取等号，因此(a2222b+1)22+b+ab)(ab+ab.几个重要不等式的综合应用例4(2015·陕西卷)已知对于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}.务实数a，b的值；求at12+bt的最大值.-b-a2，b-a4，解得a=-3，b=1.(2)由(1)知-3t12+t=34-t+t≤[(3)212]?[(4-t)2(t)2]=24-tt=4，4-tt当且仅当3=1，即t=1时等号建立，故(-3t12+t)max=4.【精重评论】此题先经过代数变形，将问题转变，再两次灵巧运用柯西不等式，进而使问题获解，对于一些表达式较为复杂的不等式，这样的办理方法值得我们好好地加以领会.要注意运用柯西不等式证题的重点是可以创建“模型”：(a12+a22++an2)(b12+b22++bn2)，领会了这一点，解题时就能灵巧自如，驾轻就熟.变式(2015·泰州二模)已知不等式a+b+2对于知足条件222=1的随意实2c≤|x-1|a+b+c数a，b，c恒建立，务实数x的取值范围.【解答】由于(a+b+22222c)≤(1+1+2)(a+b+c)=4，因此a+b+2c≤2.2222=1的随意实数a，b，c恒建立，又a+b+2c≤|x-1|对于知足条件a+b+c故|x2-1|≥(a+b+2c)max=2，解得x≤-3或x≥3，故x的取值范围是{x|x≤-3或x≥3}.1.(2014陕·西卷改编)设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，求m2n2的最小值.【解答】由柯西不等式可知2222222(a+b)(m+n)≥(ma+nb)，因此m+n≥5，当且仅当an=bm时等号建立，故m2n2的最小值为5.2.(2015南·京调研)已知a，b是正数，且a+b=1，求证：(ax+by)(bx+ay)≥xy.【解答】由于a，b是正数，且a+b=1，因此(ax+by)(bx+ay)=abx2222+(a+b)xy+aby=ab(x2+y2)+(a2+b2)xy2ab·2xy+(a+b)xy=(a+b)2xy=xy.即(ax+by)(bx+ay)≥xy建立.3.(2015南·京、盐城、徐州二模)已知x，y，z都是正数且xyz=1，求证：(1+x)(1+y)(1+z)≥8.【解答】由于x为正数，因此1+x≥2x.同理1+y≥2y，1+z≥2z.xy·2z=8xyz.因此(1+x)(1+y)(1+z)≥2·2由于xyz=1，因此(1+x)(1+y)(1+z)≥8.1114.(2014无·锡一模)已知a，b，c均为正数，且a+2b+4c=3，求a1+b1+c1的最小值，并指出获得最小值时a，b，c的值.【解答】由于a+2b+4c=3，因此(a+1)+2(b+1)+4(c+1)=10.由于a，b，c为正数，因此由柯西不等式得111[(a+1)+2(b+1)+4(c+1)]a·1+b1+c1≥(1+2+2)2，当且仅当(a+1)2=2(b+1)2=4(c+1)2时等号建立，1111162因此a1+b1+c1的最小值是10，取最小值时8-52152-1723-1022(c+1)+22(c+1)+4(c+1)=10，因此c=7，b=7，a=7.一鼓作气，事半功倍.请同学们实时达成《配套检测与评估》中的练习第161~162页.【检测与评估】第81课重要的不等式及其应用111.(2015苏·北四市期末)若a>0，b>0，且a+b33=ab，求a+b的最小值.12.(2015南·京三模)已知实数x，y知足x>y，求证：2x+x2-2xyy2≥2y+3.8(2015南·通、扬州、淮安、连云港二调)已知实数a，b，c知足a+2b+3c=4，求证：a2+b2+c2≥7.4.(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知实数a，b，c，d知足a>b>c>d，求证：14936a-b+b-c+c-d≥a-d.5.(2014苏·北四市期末)已知a，b，c均为正数，求证：222a+b+c+

2111abc≥63.bca6.(2015泰·州期末)已知正实数a，b，c知足a+b+c=3，求证：a2+b2+c2≥3.7.(2015苏·州、无锡、常州一调)求函数y=1-x+3x2的最大值.(2015福·建卷)已知a>0，b>0，c>0，函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4.(1)求a+b+c的值；1求4a2+9b2+c2的最小值.【检测与评估答案】第81课重要的不等式及其应用1121.由于a>0，b>0，因此a+b≥ab.11又由于a+b=ab，因此ab≥2，当且仅当a=b=2时取等号，因此a3+b3≥2a3b3≥42，当且仅当a=b=2时取等号，因此a3+b3的最小值为42.2.由于x>y，因此x-y>0，进而1左侧=(x-y)+(x-y)+(x-y)2+2y3(x-y)1(x-y)2≥3(x-y)+2y=2y+3=右侧，因此原不等式得证.22222223.由柯西不等式得(a+b+c)(1+2+3)≥(a+2b+3c).由于a+2b+3c=4，8因此a2+b2+c2≥7，abc当且仅当1=2=3，246即a=7，b=7，c=7时取等号.4.由于a>b>c>d，因此a-b>0，b-c>0，c-d>0，a-d>0，149故[(a-b)+(b-c)+(c-d)]a-b+b-c+c-d

2≥(1+2+3)=36，14936因此a-b+b-c+c-d≥a-d.25.方法一：由于a，b，c均为正数，由均值不等式得222)3a+b+c≥3(abc.111-1)3，由于a+b+c≥3(abc1112-2因此abc)3≥9(abc，222故a+b+c+

11122-2abc3(abc)33+9(abc)≥.-2又3(abc)3+9(abc)3

≥227=63，因此原不等式建立.方法二：由于a，b，c均为正数，由基本不等式得222222a+b≥2ab，b+c≥2bc，c+a≥2ca，因此a2+b2+c2≥ab+bc+ca.111111同理a2+b2+c2≥ab+bc+ca，111233343时取等号，因此a2+b2+c2+abc≥ab+bc+ca+ab+bc+ca≥63，当且仅当a=b=c=因此原不等式建立.由于正实数a，b，c知足a+b+c=3，因此3=a+b+c≥33abc，因此abc≤1，bca3bca13因此a2+b2+c2≥3a2b2c2=3abc≥3，当且仅当a=b=c时取等号.123-3x3x2111201-x+3x2)2=37.由于(≤(3-3x+3x+2)3=3，215因此y=1-x+3x2≤3.3-3x13x2当且仅当3=1，7即x=12时等号建立，215因此y的最大值