4.4探索三角形相似条件第2课时相似三角形判定2同步练习含答案

第2课时利用两边及一角的关系判断三角形相像重点问答①假如已知两边成比率且夹角相等，那么这两个三角形相像吗？假如已知两边成比率且有一组对应角相等，那么这两个三角形相像吗？1．①能判断△ABC∽△DEF的条件是()AB＝ACAB＝AC，∠A＝∠FA.DEDFB.DEDFAB＝ACAB＝ACC.DEDF，∠B＝∠ED.DEDF，∠A＝∠D2．如图4－4－11，在三角形纸片ABC中，AB＝9，AC＝6，BC＝12，沿虚线剪下的暗影部分的三角形与△ABC相像的是()图4－4－11命题点1利用两边成比率且夹角相等证明两三角形相像[热度：93%]3．2017·景德镇模拟如图4－4－12，在四边形ABCD中，假如∠ADC＝∠BAC，那么以下条件中不可以判断△ADC和△BAC相像的是()图4－4－12A．∠DAC＝∠ABCB．CA是∠BCD的均分线C．AC2＝BC·CDD.AD＝DCABAC4．②如图4－4－13，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是8×7的方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F，G，H，K四点中的()图4－4－13A．点FB．点GC．点HD．点K方法点拨②判断相像三角形的基本思路：条件中如有一平等角，可再找一平等角或证明夹这平等角的两组边对应成比率．③·兴庆模拟如图4－4－14，在等边三角形AE1，则和△AED(不5．2017ABC中，D为AC的中点，＝EB3包括△AED)相像的三角形有()图4－4－14A．1个B．2个C．3个D．4个易错警告③考虑问题要全面，不要漏解．6．④如图4－4－15，已知P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB＝3，BF⊥BP于点B，若在射线BF上找一点M，使得以点B，M，C为极点的三角形与△ABP相像，则BM的值为()图4－4－152525A．3B.3C．3或3D．3或5易错警告④对应边能否已经确立？7．⑤如图4－4－16，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，点E在边AB上且AE＝3，点F在边AC上，连结EF，若△AEF与△ABC相像，则AF＝________．图4－4－16解题打破⑤要使△AEF与△ABC相像，因为此题没有说明对应关系，故采纳分类议论法．有两种可能：AEF∽△ABC；△AEF∽△ACB.⑥8．已知：如图4－4－17，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.图4－4－17求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)BC·AD＝DE·AC.方法点拨⑥由两角分别相等判断两个三角形相像是判断三角形相像的全部方法中最常有的方法，重点是找准对应角，公共角、对顶角、同(等)角的余角(或补角)一般是对应角，解题时应注意发掘题且中的隐含条件．命题点2相像三角形的判断的应用[热度：87%]9．如图4－4－18，M，N为山双侧的两个乡村，为了两村交通方便，依据国家的惠民政策，政府决定打向来线涵洞．工程人员为了计算工程量，一定计算M，N两点之间的直线距离，选择丈量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离．图4－4－1810．⑦如图4－4－19，在△ABC中，AB＝AC，P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．图4－4－19方法点拨⑦证明比率式或等积式的基本方法是证明三角形相像，而后列出比率式，有时需要进行适合的变形．⑧11.已知：如图4－4－20，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是边AC，AB的中点，DF⊥AC，DF与CE订交于点F，AF的延伸线与BD订交于点G.(1)求证：AD2＝DG·BD；(2)连结CG，求证：∠ECB＝∠DCG.图4－4－20方法点拨⑧证明比率式或等积式的基本方法是证明比率式或等积式中的四条线段所在的两个三角形相似．假如不易直接证明，那么可经过等线段变换或等比变换以后再证明．12．⑨如图4－4－21，在△OAB和△OCD中，∠A<90°，OB＝kOD(k>1)，∠AOB＝∠COD，∠OAB与∠OCD互补．尝试究线段AB与CD之间的数目关系，并证明你的结论．图4－4－21解题打破⑨已知一对相等的角和一组对应边的比，我们应怎样结构相像三角形？13．⑩已知：如图4－4－22，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动，同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动．1(1)经过多长时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的9？(2)能否存在某一时刻

t，使以

A，M，N

为极点的三角形与

△ACD

相像？若存在，求出

t的值；若不存在，请说明原因．图4－4－22解题打破⑩(1)可设运动时间为xs，依据运动速度表示出所波及线段的长度，由面积关系列方程求解；(2)先假定存在，利用相像三角形中的比率线段列出方程，若方程有解且解切合题意即可说明存在

，反之则不存在．详解详析【重点问答】①假如已知两边成比率且夹角相等，那么这两个三角形相像；假如已知两边成比率且有一组对应角相等，那么这两个三角形不必定相像．1．D2.B3．C[分析]在△ADC和△BAC中，∠ADC＝∠BAC，假如△ADC∽△BAC，需知足的条件有：①∠DAC＝∠ABC或CA是∠BCD的均分线；②AD＝DC.应选C.ABAC4．C[分析]设小方格的边长均为1.依据题意知△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6，DE＝2，DE∶AB＝DM∶AC，∴DM＝3，∴点M就是点H.应选C.5．C[分析]∵△ABC是等边三角形，AB＝AC＝BC.又∵D是AC的中点，∴BD⊥AC，∠ABD＝30°，AD∶AC＝1∶2.AE＝1，∴AE∶AB＝1∶4，EB3AE∶AD＝1∶2＝AD∶AB.又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ADB，∴∠AED＝∠ADB＝90°.∵∠A＝∠C＝60°，CD∶BC＝AE∶AD＝1∶2，∴△AED∽△CDB.∵∠AED＝∠DEB＝90°，∠ADE＝∠DBE＝30°，∴△AED∽△DEB.应选C.6．C[分析]∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝5.又∵∠PBF＝90°，∴∠ABP＝∠CBF＝90°－∠CBP.①若△ABP∽△MBC，则AB＝BM，PBBC即5＝BM，解得BM＝25；353②若△ABP∽△CBM，则AB＝BC，PBBM5即3＝BM，解得BM＝3.应选C.7．2或4.58．证明：(1)∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAD.∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，∴∠ABE＝∠ACD，∴△ABE∽△ACD.(2)∵△ABE∽△ACD，ABAEABACAC＝AD，即AE＝AD.又∵∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△AED，BC＝AC，∴BC·AD＝DE·AC.DEAD9．解：在△ABC与△ANM中，∵∠A＝∠A，AC＝30＝5，AM＝1＝5，AB549AN1.89ACAMACAB∴AB＝AN，即AM＝AM，∴△ABC∽△ANM，ACAM301∴BC＝MN，即45＝MN，解得MN＝1.5(千米)．∴M，N两点之间的直线距离是1.5千米．10．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，BPAB∴CD＝CP，∴AB·CD＝CP·BP.AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.(2)∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.BABP∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BC＝BA.AB＝10，BC＝12，∴10＝BP，∴BP＝25.1210311．证明：(1)∵AB＝AC，D，E分别是边AC，AB的中点，∴AD＝AE.又∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE.DF⊥AC，AD＝CD，∴AF＝CF，∴∠GAD＝∠ACE，∴∠GAD＝∠ABD.又∵∠GDA＝∠ADB，∴△GDA∽△ADB，AD＝DG，∴AD2＝DG·BD.BDADADDGCDDG(2)∵BD＝AD，AD＝CD，∴BD＝CD.又∵∠CDG＝∠BDC，∴△DCG∽△DBC，∴∠DCG＝∠DBC.AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠GCB.∵∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE＝∠GCB，∴∠ECB＝∠DCG.12．解：AB＝kCD.证明：如图，在OA上取一点E，使OE＝kOC，连结EB.OB＝kOD，∴OBOD＝OEOC＝k.又∵∠AOB＝∠COD，∴△OEB∽△OCD，EB＝OB＝k，即EB＝kCD，∠OEB＝∠OCD.CDOD∵∠OAB＋∠OCD＝180°，∴∠OAB＋∠OEB＝180°.又∵∠AEB＋∠OEB＝180°，∴∠OAB＝∠AEB，∴EB＝AB，AB＝kCD.13．解：(1)设经过xs后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的19，则有1(6－2x)x＝1×3×6，29即x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，经查验，可知x1＝1，x2＝2切合题意，∴经过

1s或

2s后，△AMN

的面