【新步步高】高考数学(理全国甲卷)三轮增分练：高考小题分项练14(含答案解析)

高考小题分项练14推理与证明1．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必然值班的日期是()A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日D．2日和11日答案C分析由题意，得1至12的和为78，由于三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26.依据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必然值班的日期是6日和11日，应选C.2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0起码有一个实根”时，要做的假定是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰巧有两个实根答案

A分析

反证法证明问题时，反设实质是命题的否认，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程

22x＋ax＋b＝0起码有一个实根”时，要做的假定是方程x＋ax＋b＝0没有实根．应选A.3．察看以下规律|x|＋|y|＝1的不一样整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不一样整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不一样整数解(x，y)的个数为12，.则|x|＋|y|＝20的不一样整数解(x，y)的个数为

(

)A．76

B．80C．86

D．92答案

B分析察看可得不一样整数解的个数通项公式为an＝4n，则所求为第

4,8,12，能够组成一个首项为20项，所以a20＝80，应选B.

4，公差为

4的等差数列，4．以下三句话按“三段论”模式摆列次序正确的选项是

(

)①y＝cosx(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cosx(x∈R)是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①答案B分析依据“三段论”：“大前提”?“小前提”?“结论”可知：①y＝cosx(x∈R)是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝cosx(x∈R)是周期函数是“结论”．故“三段论”模式摆列次序为②①③，应选B.5．某电商在“双十一”时期用电子支付系统进行商品买卖，所有商品共有n类(n∈N*)，分别编号为1,2，，n，买家共有m名(m∈N*，m＜n)，分别编号为1,2，，m.若aij＝1，第i名买家购置第j类商品，1≤i≤m,1≤j≤n，则同时购置第1类和第2类商品的人数是0，第i名买家不购置第j类商品，( )．a11＋a12＋＋a1m＋a21＋a22＋＋a2m．a11＋a21＋＋am1＋a12＋a22＋＋am2C．a11a12＋a21a22＋＋am1am2．a11a21＋a12a22＋＋a1ma2m答案C1，第i名买家购置第j类商品，分析∵aij＝0，第i名买家不购置第j类商品，1≤i≤m,1≤j≤n，∴ai1ai2表示第

i名买家同时购置第

1类和第

2类商品，∴同时购置第1类和第2类商品的人数是a11a12＋a21a22＋＋am1am2，应选C.6．关于随意正整数n，定义“n！！”以下：当n是偶数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)··6，·4·2当n是奇数时，n！！＝n·(n－2)·(n－4)··5·，3且·1有n！＝n·(n－1)·(n－2)··3·现2·有四1.个命题：2016！！·2015！！＝2016！；②2016！！＝21008×1008！；③2015！！的个位数字是5；④2014！！的个位数字是0.此中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D分析依据题意，挨次剖析四个命题可得：对于①，2016！！·2015！！＝(2·4·6·8··2008·2010·2012·2014·2016)·(1·3·5·7··2009·2011＝·2013·2015)1·2·3·4·20125·2013·2014·2015·2016＝2016！，故①正确；关于②，2016！！＝2·4·6·8·10··2008·2010·100810082012＝·(12014·2··20163·4··＝21008)·1008！，故②正确；关于③，2015！！＝2015×2013×2011××3，×1其个位数字与1×3×5×7×9的个位数字相同，故其个位数字为

5，故③正确；关于④，

2014！！＝2·4·6·8··2008·2010·2012，其·中2014含有10，故个位数字为

0，故④正确．应选

D.a1＋2a2＋3a3＋＋nan7.已知数列{an}是正项等差数列，若cn＝，则数列{cn}也为等差数列．已知数列{bn}是正项等比数列，类比上述结论可得( )A．若{dn}知足dn＝b1＋2b2＋3b3＋＋nbn，则{dn}也是等比数列1＋2＋3＋＋nB．若{dn}知足dn＝b1·2b2·3b3··nbn，则{dn}也是等比数列1·2·3··n1C．若{dn}知足dn＝[b1·(2b2)·(3b3)·(nbn)]，则{dn}也是等比数列1＋2＋＋n1＝[b23n12n，则{dD．若{dn}知足dn1·b2·b3··bn]n}也是等比数列答案D分析等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们能够类比得：若{dn}知足dn＝123n12n，则{dn}也是等比数列．[b1·b2·b3n]8．如图，在△ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；近似地有命题：在三棱锥A－BCD中，AD⊥平面ABC，若A点在平面BCD内的射影为点M，延伸DM交BC于点E，则有S2△△△ABC＝SBCM·SBCD.上述命题是( )．真命题．增添条件“AB⊥AC”才是真命题C．增添条件“M为△BCD的垂心”才是真命题D．增添条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”才是真命题答案A分析连结AE.由于AD⊥平面ABC，AE?平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥AE，AD⊥BC，在△ADE中，AE2＝ME·DE，又A点在平面BCD内的射影为点M，所以AM⊥平面BCD，212AM⊥BC，又AM∩AD＝A，所以BC⊥平面ADE，所以BC⊥DE，BC⊥AE，S△ABC＝(·BC·AE)2112＝BC·EM·BC·DE＝S△BCM·S△BCD，可得S△ABC＝S△BCM·S△BCD，应选A.229．以下推理是概括推理的是( )A．A，B为定点，动点P知足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P点的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式222222xyC．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆a2＋b2＝1的面积S＝πab．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇答案B分析由S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特别到一般的推理，所以B是概括推理．10．用数学概括法证明不等式1＋1＋1＋＋123n＝k递推n＋1n＋2n＋32n>24(n≥2)的过程中，由到n＝k＋1时，不等式左侧()A．增添了一项1k＋1＋1B．增添了一项2k＋1k＋C．增添了1＋1，又减少了1k＋2k＋1k＋1D．增添了1，又减少了1k＋12k＋1答案C分析当n＝k时，左侧＝1＋1＋＋1，k＋1k＋2k＋k当n＝k＋1时，左侧＝1＋1＋1＋＋1＝(1＋1k＋k＋＋2k＋＋k＋k＋1k＋2＋＋11＋1＋1，应选C.k＋k)－k＋12k＋12k＋211．已知每生产100克饼干的原资料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采纳两种包装，其包装花费、销售价钱如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价钱3.00元8.4元则以下说法正确的选项是( )盈余多．A．①②B．①④C．②③D．②④

3

1

1

3答案D分析大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装优惠，故②正确；卖1大包盈余8.4－0.7－1.8×3＝2.3(元)，卖1小包盈余3－0.5－1.8＝0.7(元)，则卖3小包盈余0.7×3＝2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈余多．故④正确，应选D.12．假如甲的身高数或体重数起码有一项比乙大，则称甲不亚于乙．在100个小伙子中，如果某人不亚于其余99人，就称他为棒小伙子，那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )A．3个B．4个C．99个D．100个答案D分析先推出两个小伙子的情况，假如甲的身高数>乙的身高数，且乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有2人．再考虑三个小伙子的情况，假如甲的身高数>乙的身高数>丙的身高数，且丙的体重数>乙的体重数>甲的体重数，可知棒小伙子最多有3人．由此可以假想，当有100个小伙子时，设每个小伙子为Ai(i＝1,2，，100)，其身高数为xi，体重数为yi，当y100>y99>>yi>yi－1>>y1，x12>>xi>xi＋1>>x100时，由身高看，Ai不亚于Ai＋1，Ai＋>x2，，A100；由体重看，Ai不亚于Ai－1，Ai－2，，A1，所以，Ai不亚于其余99人(i＝1,2，，100)，所以，Ai为棒小伙子(i＝1,2，，100)．所以，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有100个．应选D.13．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，点P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们能够获得结论：Pa＋Pb＋Pc＝1.把它类比到空间，hahbhc则三棱锥中的近似结论为______________．答案Pa＋Pb＋Pc＋Pd＝1hahbhchd分析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，点P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是能够得出结论：Pa＋Pb＋Pc＋Pdhahbhchd＝1.1111111114．设S＝1＋12＋22＋1＋22＋32＋1＋32＋42＋＋1＋20142＋20152，则不大于S的最大整数[S]＝________.答案20141分析∵1＋n2＋＋n222＋2＋1＝n＋nn＋nn2＋n22＋n＋1＝1＋(1－1＝nnn＋nn＋1)，∴S＝1＋(1－1)＋1＋(1－1)＋＋1＋(1－1)＝2015－1，故[S]＝2014.122320142015201515．在平面上，我们假如用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按以下图所标边长，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.假想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥面积，S4表示截面面积，那么类比获得的结论是

O－LMN，假如用________．

S1，S2，S3表示三个侧面答案S21＋S22＋S23＝S24分析将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得S21＋S22＋S23＝S24.16．若函数y＝f(x)的导数y′＝f′(x)还是x的函数，就把y′＝f′(x)的导数y″＝f″(x)叫做函数y＝f(x)二阶导数，记做y(2)＝f(2)(x)．相