(新课标)2020版高考数学二轮复习专题八数学文化及数学思想第3讲分类讨论思想、转化与化归思想学案文

第3讲分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想3．能不分类的要尽量避免,决不无原论题分解成若干个基础性问题问题的策略[典型例题] (1)若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4,最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)错误!在[0，＋∞)上是增函数,则a＝________．(2)在等比数列{an}中，已知a3＝错误!，S3＝错误!，则a1＝________．此时g(x)＝－错误!为减函数，不合题意． 99，22错误! (1)指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时,应分 (2)利用等比数列的前n项和公式时，若公比q的大小不确定，应分q＝1和q≠1两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n项和公式决定的． [对点训练]1．已知函数f(x)＝错误!若f(1)＋f(a)＝2，则a的所有可能取值为________．解析：f(1)＝e0＝1,即f(1)＝1。由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1.当a≥0时,f(a)＝1＝ea－1,所以a＝1。所以πa2＝2kπ＋错误!(k∈Z)．所以a2＝2k＋错误!(k∈Z),k只能取0，此时a2＝错误!.2.2．若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0，1)内单调递增，则实数a的取值范围为________．解析：若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)内单调递增，即函数g(x)＝ax2＋x在(0，1)内单调递增，当a〈0时，需满足g(x)的对称轴x＝－错误!≥1，错误!120°，则m的取值范围是[典型例题]B()A．(0，1]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)B．(0，错误!]∪[9,＋∞)D．(0,错误!]∪[4，＋∞)错误!，所以错误!或错误!，解得0〈m≤1或m≥9。故选A。错误!关键点 (1)确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定．(2)分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类． ． [对点训练]已知变量x,y满足的不等式组错误!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k12A．－B.错误!2CD解析：选D.不等式组错误!，表示的可行域如图(阴影部分)所示．由图可知,若要使不等式组错误!表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kx－y＋1＝0与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．结合图形可知斜率k的值为0或－错误!. [典型例题] (2019·广东深圳第二次调研)已知函数f(x)＝aex＋2x－1,其中常数e＝2。718讨论函数f(x)的单调性．【解】由题意知，f′(x)＝aex＋2.①当a≥0时，f′(x)〉0,函数f(x)在R上单调递增；②当a<0时，由f′(x)〉0，解得x<ln错误!，由f′(x)<0,解得x>ln错误!.故f(x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．当a<0时，f(x)在错误!上单调递增，在错误!上单调递减．错误!若遇到题目中含有参数的问题,常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当到分类标准明确、不重不漏．本例研究函数性质对参数 [对点训练]种a进a已知函数f(x)＝mx2－x＋lnx,若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数,则实数m的取值范围为________．解析：f′(x)＝2mx－1＋x＝错误!，即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解，综上所述，实数m的取值范围为错误!。二转化与化归思想单化4.正难则关数学问题时，采用某种手段将问题通解决的一种数学思想方法 [典型例题] 满足错误!＝3错误!，错误!＝2错误!，则错误!·错误!＝()B由错误!＝3错误!,错误!＝2错误!,错误!·错误!＝6×2＋3×(－1)＝9。如图所示,由题设可知,错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!，错误!＝错误!－错误!＝错误!错误!－错误!错误!，所以错误!·错误!＝错误!·错误!＝错误!|错误!|2－错误!|错误!|2＋错误!错误!·错误!－错误!错误!·错误!错误!破解此类题的关键点:(2)寻找转化元素，由一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”;由特殊问题转化 (3)转化为新问题，根据转化对象与“特殊元素”或“一般元素"的关系,将其转化为新 [对点训练]bcacbtantan155则由C＝90°,得tan错误!＝1.解得tan错误!＝错误!.所以tan错误!·tan错误!＝错误!×1＝错误!。 [典型例题]已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1，m]，mZmf(x＋t)≤3ex，试求m的最大值．所以f(x＋t)≤3ex?ex＋t≤ex?t≤1＋lnx－x.所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋lnx－x，对令h(x)＝1＋lnx－x(1≤x≤m)．因为因为h′(x)＝x－1≤0，所以函数h(x)在[1，＋∞)内为减函数．xmhxminhmlnmmx1，m]t值恒存1，且函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数m的值为3.错误!问题需要函数帮助．(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因为借助函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范 [对点训练]若方程2x＋3x＝k的解在[1,2)内，则k的取值范围为________．解析：令函数f(x)＝2x＋3x－k,则f(x)在R上是增函数．当方程2x＋3x＝k的解在(1，2)内时，f(1)·f(2)<0，即(5－k)(10－k)〈0解得5〈k〈10。当f(1)＝0时,k＝5.答案:[5,10)[典型例题](1)设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2，2]上变化时,y恒取正值，则x的取值范围是______．(2)若对于任意t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋错误!x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．【解析】(1)设y＝f(t)＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1,即0<x<错误!或x>8，故实数x的取值范围是错误!∪(8，＋∞)．(2)由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．由②得m＋4≤－3x，当x∈(t，3)时恒成立,所以使函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为错误!。【答案】(1)错误!∪(8,＋∞)(2)错误!错误!(1)正与反的转化要点立的情形相对很少，从反面考虑较简单．因(2)主与次的转化要点(或参数)，将其看作是“主元",而把其他变元看作是常量,从而达到减少变元简化运算的目的．通常给出哪个“元”的取值[对点训练]则实数a的取值是()A．(－∞,1)B．(－∞，2)解析:选C.由命题“存在x0∈R,使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m〉0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞,1)为同一区间，故a＝1.1．已知函数f(x)＝x2＋(a＋1)x＋ab，若不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤4},则a＋2b的值为()Axaxab解得错误!所abA。loga为()13解析:选B.f′(x)＝3x2－12x＋4，22所以a2＋a2018＝4.又因为数列{an}为等差数列,所以a2＋a2018＝2a1010，即a1010＝2，从而log错误!a1010＝log错误!2＝－错误!。yaxaF物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的AaBCyaxa准方程为x2＝错误!y(a〉0)，焦点F错误!.过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝2a，所以错误!＋错误!＝4a.4．已知函数f(x)＝x2－4x＋2的定义域为[1，t],f(x)的最大值与最小值之和为－3,则实数t的取值范围是()A．(1，3]B．[2,3]解析：选B.f(x)＝x2－4x＋2的图象开口向上，对称轴为x＝2,f(1)＝－1，f(2)＝－题意；当t≥2时,f(x)min＝f(2)＝－2,则f(x)max＝－3－f(2)＝－1，令f(x)＝－1，则x2－4x＋2＝－1，解得x＝1或x＝3,所以2≤t≤3，故选B。围是()Ac①结合①②③可得c的取值范围是(1,错误!)∪(5,7)．6．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈[－2,2]恒成立，则a的取值范围为()C．(0，2]D．[2，＋∞)解析：选B。因为x∈[－2，2]，当x＝0时，原式为02－a·0＋1≥0恒成立，此时a∈R；当x∈(0，2]时，原不等式可化为a≤错误!，而错误!≥错误!＝2,当且仅当x＝1时等号成立，所以a的取值范围是(－∞，2]；当x∈[－2，0)时，可得a≥错误!,令f(x)＝错误!＝x＋错误!，由函数的单调性可知，f(x)max＝f(－1)＝－2，所以a∈[－2，＋∞)．解析:由题意得，y＝错误!，所以2x＋y＝2x＋错误!＝错误!＝错误!错误!≥3，当且仅当x＝直角三角形的三个顶点，且|PF1|〉|PF2|，则的值为________．解析：①若∠PF2F1＝90°。又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2错误!，解得|PF1|＝错误!，|PF2|＝错误!，FPFFFPFPFPFPF1|)2＝20，所以|PF1|＝4,|PF2|＝2,所以错误!＝2.729．已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导解析：由题意,知g(x)＝3x2－ax＋3a－5，令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.故x的取值范围为错误!。错误!10．(2019·长春市质量监测(二))已知函数f(x)＝(a－1)lnx－错误!－x(a∈R)． (1)当a＝2时,求曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)若函数f(x)在[1，3]上的最大值为－2，求实数a的值．解：(1)a＝2时，f(x)＝lnx－错误!－x，f′(x)＝错误!＋错误!－1，f(2)＝ln2－3，f′(2)＝0，所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＝ln2－3。(2)f′(x)＝错误!＋错误!－1＝错误!(1≤x≤3),当a≤1时,f′(x)≤0，f(x)在[1，3]上单调递减，所以f(1)＝－2,a＝1；当a≥3时，f′(x)≥0，f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(3)＝－2，a＝错误!〈3，舍去;11．(2019·唐山市摸底考试)设f(x)＝2xlnx＋1. (1)求f(x)的最小值； (2)证明：f(x)≤x2－x＋错误!＋2lnx。解：(1)f′(x)＝2(lnx＋1)．所以当x∈错误!时,f′(x)<0，f(x)单调递减;当x∈错误!时，f′(x)〉0,f(x)单调递增．所以当x＝错误!时，f(x)取得最小值f错误!＝1－错误!. xx!＋2lnx－f(x)＝x(x－1)－错误!＋2(1－x)lnx令g(x)＝x－错误!－2lnx,则g′(x)＝1＋错误!－错误!＝错误!≥0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g(1)＝0,所以(x－1)错误!≥0，即f(x)≤x2－x＋错误!＋2lnx.12．(2019·重庆市学业质量调研)已知离心率为错误!的椭圆错误!＋错误!＝1(a>b〉0)(1)求椭圆的标准方程;(2)过椭圆左焦点F的直