傅里叶变换和工程窗函数

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傅里叶变换傅里叶级数周期函数的傅里叶级数（简称傅氏级数）是由正弦函数和余弦函数项组成的三角函数。周期为T的任一周期函数f(t)，若满足下列狄里克雷条件：在一个周期内只有有限个不连续点；在一个周期内只有有限个极大和极小值点；积分存在，则f(t)可展开为如下傅氏级数：（F-1）式中系数和由下式给出：式中称为角频率周期函数f(t)的傅氏级数还可以写为复数形式（或指数形式）：（F-2）式中系数其中欧拉公式假如周期函数f(t)具有某种对称性质，如为偶函数、奇函数，或只有偶次谐波，则傅氏级数中的某些项为0，系数公式可以简化，下表列出了具有几种对称性质的周期函数f(t)的傅氏级数简化结果：对称性特点偶函数只有余弦项0奇函数只有正弦项0只有偶次谐波只有偶数n只有奇次谐波只有奇数n傅里叶积分和傅里叶变换任一周期函数只要满足狄里克雷条件，便可以展开为傅氏级数，对于非周期函数，由于其周期T为趋于无穷大，不能直接用傅氏级数展开，而要做某些修改，这样就引出了傅里叶积分。若f(t)为非周期函数，则可视它为周期T为趋于无穷大，角频率趋于0的周期函数，这时，在傅氏级数展开式中，各个相邻的谐波频率之差便很小，谐波频率须用一个变量代替【注意，此处不同于（F-1）所述的角频率】。这样，式（F-2）便可改写为：（F-3）于是便得：当T—>时，—>，求和式变为积分式，上式可写为：（F-4）若令（F-5）（F-6）称为f(t)的傅氏变换，记为，而f(t)称为的傅氏反变换，记为。非周期函数f(t)必须满足狄里克雷条件才可以进行傅氏变换，并且狄里克雷的第三条件这时应修改为积分存在。时域卷积相应于频域相乘，根据傅里叶变换的对称性，时域相乘必然和频域卷积相相应拉普拉斯变换工程实践中常用的一些函数，如阶跃函数，它们往往不能满足傅氏变换条件，假如对这种函数稍加解决，一般都能进行傅氏变换，于是就引入了拉普拉斯变换，简称拉氏变换。对于任意函数f(t)，假如不满足狄里克雷第三条件，一般是由于当t—>时，f(t)衰变太慢，用因子乘以f(t)，则当t—>时衰减就快得多了。通常把叫做收敛因子。但由于它在t—>时，起相反作用，为此假设t<0时，f(t)=0。这个假设在事实上是可以做到的，由于我们总可以把外作用加到系统上的开始瞬间选为t=0，而t<0时的行为，即外作用加到系统之前的行为，可以再初始条件内考虑。这样，我们对函数f(t)的研究，就变为在时间t=0—>区间对函数的研究，并称之为f(t)的广义函数，它的傅里叶变换为单边傅氏变换，即：若令，则上式可写为：（L-1）而（L-2）上式中叫做f(t)的拉氏变换，也称象函数，记为而f(t)叫做的拉氏反变换，也称原函数，记为拉普拉斯变换的基本特性基本运算拉氏变换定义位移（时间域）相似性一阶导数n阶导数不定积分定积分函数乘以t函数除以t位移（s域）初始值终值卷积常用函数拉普拉斯变换对照表象函数原函数1Z变换Z变换来源于连续系统，线性连续控制系统的动态及稳定性能，可以用拉氏变换的方法进行研究分析。与此相似，线性离散系统的性能，可以采用Z变换的方法来获得，Z变换是从拉氏变换中引申出来的一种变换方法，他事实上是采样函数拉氏变换的变形，因此，Z变换又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统重要的数学工具。Z变换定义设连续函数e(t)是可拉氏变换的，则拉氏变换定义为由于t<0时有e(t)=0，故上式可写为：对于采样信号，其表达式为则采样信号的Z变换定义为（其中）（Z-1）记作其中，后一记号是为了书写方便，并不是意味着是连续信号e(t)的z变换，而是仍指采样信号的Z变换。应当指出，Z变换仅是一种在采样拉氏变换中，取的变量置换。通过这种置换，可将s的超越函数转换为z的幂级数或z得有理分式。Z变换方法级数求和法级数求和法是直接根据Z变换的定义，将式子写成展开形式：上式是离散时间函数的一种无穷级数表达形式。显然，根据给定的抱负采样开关的输入连续信号e(t)或其输出采样信号，以及采样周期T，由上式便得Z变换的级数展开式。通常，对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。部分分式法运用部分分式法时，先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换，然后将有理分式函数展成部分分式之和的形式，使每一个部分分式相应简朴的时间函数，其相应的Z变换是已知的，于是可方便的求出相应的Z变换。Z变换表拉氏变换时间函数e(t)Z变换111(t)Z变换性质变换性质定理数学表述线性定理若，，a为常数，则其中实数位移定理复数位移定理终值定理卷积定理若则Z反变换部分分式法幂级数法幂级数法又称综合法，z变换函数通常可以表达为按升幂排列的两个多项式之比：其中和均为常系数，通过对上式直接作综合除法，得到按升幂排列的幂级数展开式假如所得到的无穷级数是收敛的，则按Z变换定义知，式中的系数就是采样脉冲序列的脉冲强度。因此根据上式可以直接写出的脉冲序列表达式反演积分法反演积分法就是留数法。若为单极点，则若为n阶重极点，则关于Z变换的说明Z变换与拉氏变换相比，在定义、性质和计算方法等方面，有许多相似的地方，但是Z变换也有特殊的规律Z变换的非唯一性Z变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此Z变换与其原连续时间函数并非一一相应，而只是与采样序列相相应。与此类似，对于任一给定的Z变换函数，由于采样信号可以代表在采样瞬时具有相同数值的任何连续时间函数，所以求出的Z反变换也不也许是唯一的。Z变换的收敛区间对于拉氏变换，其存在行的条件是下列绝对值积分收敛：相应地，Z变换也有存在性问题。由Z变换定义，其式为：称为双边Z变换，由于，令，则。若令，则有于是，双边Z变换可以写为：显然，上述无穷级数收敛的条件是下式绝对值之和：若上式满足，则双边Z变一致收敛，即的Z变换存在。工程中的窗函数加窗是改善DFT分析的一种重要手段，选择合适的窗可以有效克制频谱泄漏，提高精度。加窗的实质就是对被分析信号在不同时刻加不同的权值，以使信号截断的影响尽也许的小。由于主瓣宽度决定了被截断以后所得序列的频域分辨率，而边瓣峰值有也许湮没信号频谱中较小的成分。因此，一个抱负的窗函数，应当具有最小的3dB带宽B(Δω)和第一边瓣峰值A(dB)以及最大的边瓣峰值衰减速度D(dB/oct)，从而使频域能量重要集中在主瓣内，我们便可得到接近于真实频谱的信号。事实上，能同时具有以上三个指标的抱负窗函数是不存在的，但对窗函数进行选择时应满足以下基本规定：时域为改善截断处的不连续状态（由于吉布斯现象而产生的振荡）；频域为窗谱的主瓣规定窄而高，以提高分辨率，旁瓣应小，正负交替接近相等以减小泄漏和假频。但同时也应注意到，不管是加任何窗函数还是增长采样长度（即增长窗的宽度）都只也许在一定限度上克制泄漏误差和栅栏效应，将误差减小到可以接受的限度，而不能完全消除由时域截断和离散化带来的误差。迄今为止，许多学者设计了多种性能优良的窗函数。矩形窗（Rectangular）时域：窗普函数（频域）：由于：所以：指标：Hanning窗Hanning窗函数是余弦平方函数，又称为升余弦窗，它的时域形式可以表达为：窗普函数（频域）：由于：所以：其中指标：Hamming窗Hamming窗可以由Hanning加以改善得到，因此称为改善的升余弦窗，其时域形式为：窗普函数（频域）：其中指标：Blackman窗为了更进一步克制旁瓣，对升余弦窗再加上二次谐波的余弦分量，便得到了Blackman窗，也称之为二阶升余弦窗，它的时域形式为：窗普函数（频域）：其中指标：Blackman-Harris窗对Blackman窗再加上三次谐波的余弦分量，便得到了Blackman-Harris窗，也称之为三阶升余弦窗，它的时域形式为：窗普函数（频域）：其中指标：三角窗（又称Bartlett窗）Bartlett窗函数的时域形式可表达为：它的窗谱函数表达式为：指标：以上窗函数都具有这样的特点：只要选取观