【步步高】高中数学北师大版必修5练习：2.2三角形中几何计算(含答案解析)

§2三角形中的几何计算课时目标1.可以运用正弦定理、余弦定理办理三角形中的计算问题.2.可以运用正弦定理、余弦定理进行平面几何中的推理与证明．1．正弦定理和余弦定理abc(1)正弦定理：sinA＝sinB＝sinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)；(2)余弦定理：a2＝____________________或cosA＝______________(其他形式略)2．在△ABC中，有以下常用结论：(1)a＋b>c，b＋c>a，c＋a>b；(2)a>b?______?____________；A＋BπC(3)A＋B＋C＝π，2＝2－2；(4)sin(A＋B)＝__________，cos(A＋B)＝____________________________________，sinA＋B＝______________，cosA＋B＝___________________________________.223．三角形常用面积公式(1)S＝____________(ha表示a边上的高)；1(2)S＝2absinC＝____________＝______________；abc(3)S＝4R(可由正弦定理推得)；(4)S＝2R2sinAsin·Bsin·C(R是三角形外接圆半径)；1(5)S＝2r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．一、选择题1．△ABC

的两边长分别为

2,3，其夹角的余弦值为

1，则其外接圆的直径为3

(

)92

92

92A.

2

B.

4

C.

8

D．922．在△ABC

中，AB＝7，AC＝6，M

是

BC

的中点，

AM＝4，则BC等于(

)A.21

B.106

C.69

D.1543．在△ABC

中，a，b，c分别为角

A、B、C

的对边，假如

a、b、c成等差数列，∠

B＝30°，△ABC的面积为3，那么b等于()2A.1＋32＋3D．2＋32B．1＋3C.24．平行四边形中，AC＝65，BD＝17，周长为18，则平行四边形面积是()1A．16B．172C．18D．18.535．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝6，cosA＝7，则△ABC的面积S为()815815A.2B.15C.5D．635，sinB＝3，则cosC的值为()6．在△ABC中，已知cosA＝1351656A.65B.6516和5616C.6565D．－65二、填空题7.如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．8．若平行四边形两邻边的长分别是43和46，它们的夹角是45°，则这个平行四边形较长的那条对角线的长是________．9．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面积为103，则其周长为________．10．已知等腰三角形的底边长为6，一腰长为12，则它的内切圆面积为________．三、解答题11．在△ABC

中，AC

边上的角均分线

BD

交

AC

边于点

D.求证：

BA＝AD.BCDC12．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圆内接四边形ABCD的面积．能力提高13．一条直线上有三点A，B，C，点C在点A与B之间，P是此直线外一点，设∠APC＝α，∠BPC＝β求.证：sin(α＋β)sinαsinβ＝PB＋PCPA.14．如下图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ的取值．解三角形宽泛应用于解各样平面图形，如平行四边形、梯形、扇形及一些简单的不规则图形．办理时，可增添适合的协助线结构三角形，将问题归入到某个三角形中，再选择正、余弦定理加以解决．第二章解三角形§2三角形中的几何计算答案知识梳理1．(2)b2＋c2－2bccosAb2＋c2－a22.A>BsinA>sinB(4)sinC－cosCcosC2bc2sinC1(2)1acsinB1bcsinA23.(1)aha222作业设计1．B[设另一条边为x，则x2221＝2＋3－2×2×3×，3∴x2＝9，∴x＝3.设cosθ＝1，则sinθ＝223＝3＝92.]33.∴2R＝sinθ2243a2．B[设BC＝a，则BM＝MC＝2.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，即2122a×4·cos∠AMB.①7＝a＋4－2×42在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC即2212a·cos∠AMB.②6＝4＋a＋2×4×42222212①＋②得：7＋6＝4＋4＋a，∴a＝106.]23．B[∵2b＝a＋c，S＝12acsinB＝32，∴ac＝6.b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2accosB－2ac.b2＝4b2－63－12，b2＝23＋4，b＝1＋3.]4．A[设两邻边AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，则a＋b＝9，a2＋b2－2abcosα＝17，a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.解得：a＝5，b＝4，cosα＝3或a＝4，b＝5，cosα＝3，∴S?ABCD＝absin＝α16.]555．A[由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，2227即6＝4c＋c－4c·.∴c＝2，进而b＝4.8∴S△ABC111－72＝15＝bcsinA＝×2×4×8.]222π6．A[∵cosA＝13，0<A<2，sinA＝1213.∵sinA>sinB，进而a>b，故A>B，∴cosB＝45，16∴cosC＝－cos(A＋B)＝sinAsinB－cosAcosB＝65.]7．8π分析∵2R＝AB＝4＝42，∴R＝22.∴S＝πR2＝8π.sin∠ACBsin45°8．415分析较长的对角线长为：(43)2＋(46)2－2×43×46×cos135°＝415.9．20分析设AB＝8k，AC＝5k，k>0，12则S＝AB·AC·sinA＝103k＝103.2∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：222221BC＝AB＋AC－2AB·AC·cosA＝8＋5－2×8×5×＝49.2BC＝7，∴周长为AB＋BC＋CA＝20.27π10.5分析不如设a＝6，b＝c＝12，由余弦定理得：222222＝7，cosA＝b＋c－a＝12＋12－62bc2×12×128∴sinA＝1－72＝1588.11315.由(a＋b＋c)·r＝bcsinA得r＝52227πS内切圆＝πr＝5.11．证明如下图，在△ABD中，利用正弦定理，AB＝sin∠ADB.①ADsin∠ABD在△CBD中，利用正弦定理，BC＝sin∠BDC②CDsin∠DBC∵BD是角B的均分线，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠ADB＋∠CDB＝180°，∴sin∠ADB＝sin∠CDB，因此①＝②，得AB＝BC.即BA＝AD建立.ADCDBCDC12．解连结BD，则四边形面积11S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sinA＋BC·CD·sinC.22A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.1S＝2(AB·AD＋BC·CD)·sinA＝16sinA.由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cosC＝52－48cosC，20－16cosA＝52－48cosC.1又cosC＝－cosA，∴cosA＝－2.∴A＝120°.∴四边形ABCD的面积S＝16sinA＝83.13．证明S△ABP＝S△APC＋S△BPC，111β∴PA·PBsin(＋αβ)＝2PA·PCsin＋αPB·PCsin22两边同除以1sin(α＋β)sinαsinβ＝PB＋2PA·PB·PC，得PCPA.14．解

(1)△ABD

的面积11S1＝2×1×1×sinθ＝2sin

θ，因为△BDC

是正三角形，则△BDC

的