数学分析6.1拉格朗日定理和函数的单调性(练习)

,<≤1111<,<≤1111<3n32n2k-12k-1第章分值理其用1格日理函的调练题111x；(2)f(x)=|x|,=0x解[0,在(可，πππ使π[且

使又

>0点2为数不可能有程，p,q为实数n为当n为奇数时至多有三个实根。证记，若在[根，则又(但根+px+q(n，p,q为)当时若根，设a<b<c，12，即112212

2k-1np2k2knfbf(a)fbf(a)fb2k-1np2k2knfbf(a)fbf(a)fbf(a)又||fbfa|sinxsinx2112又在R上严格增，矛盾，可得论1：当n为偶，x根.当时若若设即x2k+1

=0论1矛盾，论2：当n为奇，x根.3数f和g在区I上且间I上即f(x)=g(x)+c证在I且设即∴f(x)=g(x)+c.4数f在[可导f(b)数[且|M|M；数都|||.121212证在[可导

使；ba又

ba

m在[存在；baM

ba

M，M法：当x时，结论成立；x≠x时，1212在R连续且可导x，x<x，1221∴存(1xx

2

.

1212121212<ln<hbba<<，∴<ln<h2<2h322x1212121212<ln<hbba<<，∴<ln<h2<2h322x1214x11111又(

sinx|xx

1，||.1212设x<x，有||x.121221∴对x都|||x|.121212法2：利用结1，∴对任意数x都||5babbabaa

,其中0<a<b1+h

2

证，∵lnx在在(a∴存ξ

.bababababbabξabaa

.[可导，∴存1+

ξ

.hh1+h21+

ξ

，∴1+h262x

x；(4)f(x)=.x解当在[增，(的定(=x

2x

1

.当222在(上递减[.22

3xπ2xπ22xx332222π3πxsinxπ(x)cosxππ2πsin，∴2<xx13xπ2xπ22xx332222π3πxsinxπ(x)cosxππ2πsin，∴2<xx1x2222x2x22x+x的定[

1x2xx

2

.当x=1时，在[递增，[减.

x

2x

1

′=x

1x

′

1x2

在(7,；(2)<sinx<x,33π2

x2

x2(1+x)

,证记>0，33(内严格增处连续，且，3当0<x<，3

.则x2x2

.令，x则，(22又在且，∴g(x)<0.(严.2sinxsinx2xlimxxπ2f(x)=ln(1+x)-(x)=ln(1+x)-x+>0.221+x1+x(递增且，即.2记2(1+x)

2(1+x)

1=22x212121211122122121f122121)1=22x212121211122122121f122121)则g1+x

2+2x1+x(2x+x2(1+x)2

2

)11+x

x+2x+22(1+x)2

=2(1+x)

2

在(递.处，，即

x2(1+x)

.8以(，试.a证bx

11若连续，(可导，1则在(且a又a1

1fb=f02证9设f[的二阶可导函数，∈

，得，证点证理知：点使

ξξξξ

+0-0+0-0000000r+0-0+0-0000000rr-1(x)1i01111221nn1i2i112112221(n-1)1n2i设(可导证一x，必存x)000界+00又有上-00

lim

lim

3

0

+

0lim+lim+设为多项式a的r：a必P证中≠0Px=a是根.个程=0至少有一根证n+1个相异实根为：x<<x<…<x,则012n

且x<x<<…<<x,得在，且<<<<…<ξ<,得如此n次后

(n)(n-1)1(n-1)2(x)3323tanxxπsinxx2sinx2sinx2sinx2sinx22x+cosx121ππππ2πsinx(n)(n-1)1(n-1)2(x)3323tanxxπsinxx2sinx2sinx2sinx2sinx22x+cosx121ππππ2πsinxtanxx2π点ξ<,使得∴方程=0

设，x不存在根.证则，R上严格单调.意有∴方程根.>xsinx