多元函数的极限与连续

第五章多元函数微 多元函数的极限与连yyx 设点Pxy),PxyR2 (xx0)2((xx0)2(yy0{(x,

y)x称为点P0的邻域 记为U(y)x 邻域为点P的空心邻Uˆ 二、内点、外点、边界点、聚内设D是平面点集.如果存在点的某一邻yDOxU(P1,D，则称yDOx2如果点P的任一邻域内既有222的点,也有不属于的点(点P本身可以属于D,也可以不属于D),则称P为的边界点22点集的边界点的集合称为的边界外点设P3D,并且存在P3的一个邻域UP3,yDOx使U(P3,D,则称PyDOx0聚点:如果在点P0x0y0的任何邻域U(P,)总含有中非的点.则称点P0是D的一个聚点.0点集D的聚点可以属于D，也可以不属于注1内点一定是聚点(2)边界点不一定是聚点三、开

设D是平面点集 如果点集中每一个都是D的内点，则称D为开集 Dx,y1x2y24即为开集区 点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称开集D是连通的开集连通的开集称为区域或开区开区域连同其边界称为闭区域y例如{(xy|1x2y24}为闭区域 对于一个区域DM0,使得D内任何点到原点的距离都小于M,则称这个区域为有界区域,否则称 区域 x x有界区 区在 Rn中的推设两点为P(x1,x2 ,xn),Q(y1,y2 ,ynPQ (yx)2

x)2 (yx)2

邻域：U(P0,P类似地,可以定义n

,PRn中的内点、边界点四、多元函数的定义1设D为R2的非空子集(平面点集),R为实数集,f为D到R的一个映射,即对于D中的每一点(x,y),f,在Rz与之对应,f为定义在D上的二元函数,f:DR2或zf(x, (x,y)其中xy称为自变量,z称为因变量Df的定义域,记为DfZf

zf(x, (x,y)Dff当n2时,n元函数统称为多元函数.n元函数简记为ufx1x2,,xn).其中xx,,xDRn n元函数f(x,x ,x)本质上就是Rn 子集D到R的一当n时,叫做一元函数;当n23时,分别叫做二元,三元函数{(x,y,z)zf(x, (x,y)Df称为二元函数zf(x, (x,y)D的图象z在几何上通常表示一张曲面zx2的图象是旋转抛物 例 求f(x,y)

arcsin(3x2y2

xxx2y2

2x2y2解 xy2 所求D{(x,y)|2x2y24,xy2

x 五、等值zf(x,y)的图象在R3为一曲面，若在定义域Df上f(x,y)=C（常数）的点集：{(x,y)f(x,y)C,(x,y)Df,C是xoy平面上的曲线，则将 曲线称为二元函数z=f(x,y) 等值线 当C取一系列值C

C时， x六、多元函数的极定义2设函数zfx,y)的定义域为DfP0x0y0为Df的聚点,若存在常数A0,当0

PP0

,且PD时((xx)2(yy00fxy

成立,则称为函数zfx当PxyP0x0y0时的极限记为limf(x,y) xy

f(x,y)(x,y)(x0,y0注（1）PP0的方式是任意的limfxxy二元函数的极限运算法则与一元函数类似极限概念的推广设n元函数ufx1x2,xn)简记为ufP).定义3设nfP)的定义域为Df,P0为Df的聚点.若存在常数A,使得0,0,当0PP0,且PDf时,f(P)A则称A为nf(P当PP0时的极限(又称为n重极限记为limfP)AfPA(PPP 例2设fxy)

x2y2

,讨论limfxy)解当点Pxy)ykx趋于(0,0) f(x,

, ,ykx0

x0

k 1当Pxy)沿不同的ykx趋于(0,0)时,f有不同的极限.limfxy)

(x,y)例3

f(x,y)x2y4 (x,y)试讨论limfxy)是否存在Pxy)ykx趋于(0,0)时,k2 f(x,y)

ykx0

x0

kk2

x01k4x2若点Pxy)沿抛物线xy2趋于(0,0)时,y4y f(x,y)

1xy2

y4 所以,极限limfx,y)不存在例4证明x0证取ykx3

x36

不存在

x36

2

x3 2ykx3

x0

k

1其值随k的不同而变，故极限不存在11x2x例 求lim 2

x0时

x2 x2

1x2由无穷小与有界函数之1x2x1xlim

x2

例 求lim(xy

y2)e(x2y2)x2y2u,xy

y2)e(x limueu

lim1 u xy1xy1 解原式12

xy1

xyxy1xy1 xy2例 求lim1x

x2 2

xy2 1

xy

lim1

xyxyx

x

y2

e4

七、多元函数的定义4设二元fxy)的定义域为DfP0(x0,y0)是Df的聚点,且P0Df 如limf(x,y)f(x0,y0xyfxy)在P0x0y0处连续.定义5设n元函数f(P)的定义域为点集 为其聚点且P0D,如果 f(P)f(P则称nf(P)在点P0处连续设P0fP)定义域的聚点,fP)在点P0处不连续，则称P0fP)的间断点.例9讨论

f(x,y)

x2

,x2y2解取ykx

0,x2

y2ykx0

x2

x0

2k2x22

1kz

x2y2在圆周x2y21上各点都间如果函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内每一点连续f(xy)在D内连续.f(xy)xy,ln(x2y2等都是二元初1 zln(1x2y2在开圆域x2y2z 1x2y2x2y21上连续limf(P)f(P0一般地，求limf(P)f(P)是初等函数P连续，于是limf(P)f(Pz

P

3y23y2(1,