2023概率习题答案(王旭吾)

[1]随机事件·样本空间·事件的关系与运算一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【C】1.在电炉上安装了四个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度，电炉就断电，以表示“电炉断电”，而为四个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件等于．．．．【D】2.设事件表示“甲种产品畅销而乙种产品滞销”，则事件表示“甲种产品滞销而乙种产品畅销”．“甲、乙两种产品均畅销”．“甲种产品滞销”．“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．【B】3.设是某随机试验中的三个事件，表示“只有发生”，则．．．．【D】4.对于任意二事件和，与关系式不等价的是．．．．二、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数．设事件表示“出现偶数点”，事件表示“出现的点数能被3整除”．(1)写出试验的样本点及样本空间；(2)把事件及分别表示为样本点的集合；(3)事件分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．【解】（1）设表示“出现点”，则样本点为，样本空间为（2）,;（3），表示“出现奇数点”；，表示“出现的点数不能被3整除”；，表示“出现的点数能被2或3整除”；，表示“出现的点数能被2和3整除”；，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”.三、一盒中有只外形完全相同的电子元件（分别标有号码），一次从中任取只，记录所取元件的号码．(1)写出随机试验的样本点及样本空间；(2)用样本空间的子集表示下列事件：“最小号码为”；“号码之和为”．【解】(1)设表示“出现号码为”，则(2)四、设为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件：(1)发生,与都不发生；【解】；(2)都发生；【解】(3)中至少有两个发生；【解】或(4)中至多有两个发生．【解】或或[2]概率的古典定义·概率加法定理一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1.号码由七个数字组成，每个数字可以是中的任一个数（但第一个数不能为），则号码是由完全不同的数字组成的概率为．2.把本书任意地放在书架上，则其中指定的本书放在一起的概率为．3.将个球队任意分成两组（每组个队）进行比赛，则最强的两个队恰好分在不同组内的概率为．4.一盒中有张奖票（其中只有张有奖），现有两人依次从盒中各抽一张奖票．第二人抽奖时不知道第一人是否中奖，则第二人中奖的概率为．5.一批产品共有件,其中有件次品．任取件产品恰有件是次品的概率为;任取件产品没有次品的概率为;任取件产品中次品不少于件的概率为．6.在区间内随机地取两个数，则所取两数之和不超过概率为．二、一批产品共有件，其中一等品件，二等品件．现从这批产品中任取件，求取出的产品中恰有件等级相同的概率．【要求：使用互不相容情形的加法定理】【解】设取出的产品中恰有件等级相同的概率为则三、在到共一百个正整数中任取一个数，求这个数能被或整除的概率．【解】设这个数能被或整除的概率为则四、设，求三事件中至少有一个发生的概率．【解】因为,所以，从而,可推出,所求为.[3]条件概率·概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设是随机事件，，，，则．2．设是随机事件，已知，，，则．3．设是随机事件，，，，则．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【D】1．已知事件发生必导致事件的发生，且，则．．．．【B】2．已知，则．．．．【A】3．已知事件与满足条件，且，则．．．．三、某人忘记了号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求此人拨号不超过两次而接通所需的概率．【解】设=“拨通”，则,故；四、试卷中的一道选择题共有个答案可供选择，其中只有个答案是正确的．某考生如果会做这道题，则一定能选出正确答案；若该考生不会做这道题，则不妨随机选取一个答案．设该考生会做这道题的概率为．（1）求该考生选出此题正确答案的概率．（2）已知该考生答对了此题，求该考生确实会解此题的概率．【解】设A:{该考生选出此题正确答案},B:{该生会做此题}，则（1）（2）五、盒中放有个乒乓球，其中有个是新的．第一次比赛时从盒中任取个来用，比赛结束后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取个，求第二次比赛时取出的都是新球的概率．【解】设A:{第二次比赛时取出的都是新球},:{第一次比赛时取出i个新球}，[4]随机事件的独立性·独立试验序列一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．两射手独立地向同一目标各射击一次，假设两射手的命中率分别为和，则目标被击中的概率为．2.设事件与独立，，则．3.一射手对同一目标独立地进行次射击，假设每次射击命中率相同，若至少命中次的概率为，则该射手的命中率．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【C】1．已知与相互独立，且，则下面命题不正确的是．．．．【D】2．一种零件的加工由两道工序完成，已知第一道工序的废品率为，第二道工序的废品率为，则该零件加工的成品率为．．．【D】3．某人向同一目标独立重复射击，每次命中的概率为，则此人次射击恰好命中次的概率为．．．．三、一个工人看管三台车床，在一小时内车床需要工人照管的概率：第一台等于，第二台等于，第三台等于．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率．【解】设A:{一小时内第一台车床需要工人照管},:{一小时内第二台车床需要工人照管}:{一小时内第三台车床需要工人照管}，:{一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管}，则四、电路由电池与两个并联的电池及串联而成．设电池损坏的概率分别是，求电路发生间断的概率．【解】设:{电池a损坏}，:{电池b损坏}，:{电池c损坏}，:{电路发生间断}，则五、某机构有一个人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是．现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作出正确决策的概率．【解】设:{任何一人贡献正确意见}，则于是所求概率为[5]离散随机变量·三个重要的离散分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设离散随机变量的概率分布为，则常数．2．某段高速公路每周发生交通事故的次数服从参数为的泊松分布，则该段高速公路每周发生次交通事故的概率为．（取）3．自动生产线在调整以后出现废品的概率为．生产过程中出现废品时立即进行调整．则在两次调整之间生产的合格品数的概率分布为：二、已知一批产品共个，其中有个次品．（１）不放回抽样：抽取个产品，求样品中次品数的概率分布．（２）放回抽样：抽取个产品，求样品中次品数的概率分布．【解】（1）设随机变量维取出的样本中的次品数，则，即的概率函数为从而的概率分布为01234（2）设随机变量为取出的样本中的次品数,则,的概率函数为从而的概率分布为0123456三、一批零件中有个合格品与个废品．安装机器时从这批零件中任取个．如果每次取出的废品不再放回去，设表示在取得合格品以前已取出的废品数，求的概率分布．【解】设随机变量为在取得合格品以前已取出的废品数，则可能取值为0,1,2,3，即0123四、总机为个用户服务．在一小时内每一用户使用的概率等于，求在一小时内有个用户使用的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算）．【解】（1）设随机变量为一小时内使用的用户数，则,（2）用泊松分布计算相对误差为[6]随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【C】1.若函数是某个连续随机变量的分布函数，则．．．．【B】2.若函数是某个连续随机变量的概率密度，则．．．．【A】3.设与分别为随机变量与的分布函数，若函数是某随机变量的分布函数，则必有．．．．【B】4.设随机变量的概率密度为已知，则．．．．二、一批零件中有个合格品与个废品．安装机器时从这批零件中任取个．如果每次取出的废品不再放回，求在取得合格品之前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形．【解】设随机变量为在取得合格品以前已取出的废品数，则可能取值为0,1,2,3，即0123故的分布函数为其图形见下：三、设连续随机变量的分布函数为．（1）求系数及．（2）求落在区间内的概率．（３）求的概率密度．【解】(1)由，，解得即．(2)(3)的概率密度为，．四、设随机变量的概率密度为．（1）求系数．（2）求落在区间内的概率．（3）求随机变量的分布函数．【解】(1)由，得，解得，即有(2)(3)，，[7]均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过分钟的概率．【解】设随机变量表示乘客的候车时间，则，其密度函数为于是有二、已知某种电子元件的使用寿命（单位：）服从指数分布，概率密度为任取个这种电子元件，求至少有个能使用以上的概率．【解】设“至少有１个电子元件能使用1000h以上”；分别表示甲、乙、丙元件能使用1000h以上．则由加法公式及的独立性有【另解】设“3个电子元件中至少有１个能使用1000h以上”，“3个电子元件中每个都不能使用1000h以上”，任一元件不能使用1000以上的概率为故三.设随机变量服从二项分布，求下列随机变量函数的概率分布：（1）；（2）．【解】,其概率函数为的概率分布为0123（1）的概率分布为1即1（2）的概率分布为0110即01四、设随机变量的概率密度为求随机变量的概率密度．【解】对任意实数，的分布函数

所以随机变量函数的概率密度为，即.[8]二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次，设随机变量表示第一次出现的点数，随机变量表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量的联合概率分布及的边缘概率发布．【解】的可能取值的可能取值时，；时，；时，；时，；时，二维随机变量的联合概率分布为的边缘概率分布为1二、设二维随机变量的联合分布函数．（1）求系数．（2）求的联合概率密度．（3）求的边缘分布函数及边缘概率密度．【解】（1）由，得解得，（2）因为，所以（，）的联合概率密度为（3）及的边缘分布函数分别为，，及的边缘概率密度分别为（）（）三、设的联合概率密度为（1）求系数．（2）求的联合分布函数．（3）求的边缘概率密度．【解】（1）由，有，解得（2）的联合分布函数为（3）及的边缘概率密度分别为四、设二维随机变量在抛物线与直线所围成的区域上服从均匀分布．（1）求的联合概率密度．（2）求概率．【解】(1)设的联合概率密度为则由解得．故有(2)．[9]随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、已知二维随机变量的联合概率密度为试问随机变量和是否独立？请说明理由．【解】,故随机变量和独立.二、设与是两个相互独立的随机变量，在上服从均匀分布，的概率密度为(1)求的联合概率密度．（2）求概率．【解】(1)的概率密度为，的联合概率密度为（注意相互独立）（2）三、设随机变量与独立，且的概率密度分别为，求随机变量的概率密度．【解】的概率密度为，由独立，故的概率密度，令，则(1)时,；(2)时，；(3)时，；(4)时，；(5)时，,.综上有的密度函数为.四、假设一电路装有三个相同的电子元件，各元件工作状态相互独立且它们无故障工作时间都服从参数为的指数分布．已知三个元件都无故障时电路正常工作，否则整个电路不能正常工作．试求该电路正常工作时间的概率分布．【解】由题设，知的分布函数为先求各个并联组的使用寿命的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第个并联组才停止工作,所以有从而有的分布函数为设随机变量表示仪器使用寿命，因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有.从而有的分布函数为故的概率密度为[10]随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有个合格品与个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差．【解】设随机变量为取得合格品以前已取出的废品数，则的可能取值为，即有0123故的分布为0149故从而有二、一工厂生产的某种设备的寿命（以年为单位）服从参数为的指数分布．工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利元，调换一台设备厂方需花费元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利．【解】由题设，概率密度为则进而有设表示厂方出售一台设备获得的净赢利，则的概率分布为01000从而有厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为元．三、设随机变量的概率密度为求的数学期望与方差．【解】四、设随机变量的概率密度为，求的数学期望与方差．【解】（亦可分部积分计算）[11]随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量服从二项分布，求的数学期望与方差．【解】的概率分布为0123的概率分布为0110即01的分布为01于是有二、设随机变量的概率密度为求随机变量的数学期望与方差．【解】三、游客乘电梯从电视塔底层到电视塔顶层观光．电梯于每个整点的第分钟从底层起行．假设一游客在上午八点的第分钟到达底层候梯处，且在上均匀分布，记为该游客的等候时间．（1）写出与的函数关系．（2）不求的概率分布，直接利用（1）的结果求游客的等候时间的期望．【解】（1），（2）=30四、设随机变量相互独立，并且服从同一分布，数学期望为，方差为．求这些随机变量的算术平均值的数学期望与方差．【解】因为，，且随机变量相互独立．所以有，.[12]二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设的联合概率分布如下：（1）求的数学期望,，方差，．（2）求的协方差与相关系数．【解】（1）的边缘分布分别为0101（2）.二、设二维随机变量的联合概率密度为（1）求的数学期望,，方差，．（2）求的协方差与相关系数．【解】（1）,,,,故,.（2）,,三、利用切比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率．【解】,则.四、为了确定事件的概率，进行次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件在次试验中发生的频率作为事件的概率的近似值时，误差小于的概率．【解】设随机变量表示事件在次独立重复试验中发生的次数，则，且，，，，故有.[13]正态分布的概率分布与数字特征一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设随机变量，则．2．设随机变量，则．3．设随机变量，若则，则．二、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【A】1．设，，，，则对任意实数，都有．对任意实数，都有．对任意实数，都有．对任意实数，都有．【C】2．设，，若，则必有．．．．【C】3．设，则随的增大，概率若单调增大．单调减少．保持不变．增减不定．三、已知一批机械零件的直径(单位：服从正态分布，规定直径在范围(单位：之间为合格品，求这批机械零件的不合格率．【解】设表示这种机械零件的不合格品率，则．而故．四、假设某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩（百分制）近似服从正态分布，已知平均成绩为分，分以上的人数占考生总数的.试估计成绩在分至分之间的考生人数占考生总数的比例.【解】设某高校学生在一次高等数学统考中的考试成绩，则．已知五、设随机变量与独立，且，；(1)求随机变量函数数学期望与方差，其中为常数．(2)求随机变量函数数学期望与方差．【解】由题设，有；．从而有(1)；．(2)；．[14]二维正态分布·正态随机变量的线性性质·中心极限定理一、设二维随机变量服从二维正态分布，已知，，，求的联合概率密度．【解】已知，，．从而，．按公式可得的联合概率密度为．二、设随机变量与独立,且，，求随机变量的概率密度．【解】由题设，有，，，．且有,,且，故随机变量的概率密度为．三、两台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量（单位：）表示轴的直径，随机变量（单位：）表示轴衬的内径，已知，，显然与是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．【解】由题设，知随机变量与是独立的，且，．设,则有．由题意,当时，轴与轴衬可以配套使用．故所求概率为．四、已知台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的，求：（1）任一时刻有70台车床在工作的概率．（2）任一时刻有台以上车床在工作的概率．【解】设随机变量表示任一时刻正在工作的车床数，则,,．（1）（2）．[15]总体与样本·统计量·统计学中的几个常用分布一、填空题(将你认为正确的答案填在题中的横线上)1．设总体，是来自该总体的简单随机样本，则统计量．2．设总体，是来自该总体的简单随机样本，已知统计量服从自由度为的分布，则．3．设抽样得到总体的100个观测值如下：观测值123456频样本均值；样本方差．二、设是来自总体的一组简单随机样本，与分别是这组样本的样本均值与样本方差，证明与的如下关系式：．【解】由样本方差公式有三、设总体的均值与方差分别为与，是来自该总体的简单随机样本，与分别是这组样本的样本均值与样本方差，求．【解】,,四、设总体与相互独立且均服从正态分布，和分别为来自与的简单随机样本，求统计量的分布．【解】因为，,所以.于是有推得,即分布．．[16]正态总体统计量的分布一、设总体~，从该总体中抽取容量为的样本，求概率．【解】，于是二、设总体~，样本容量至少为多大时，才能保证？【解】，得查表得由此得三、从正态总体中抽取容量为的样本，求概率．【解】查表得，于是四、设总体~，~，从总体中抽取容量为的样本，从总体中抽取容量为的样本，求概率．【解】于是从而查表得，于是[17]参数的点估计一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【A】1．设总体，为来自该总体的一组简单随机样本，假设是未知参数的无偏估计，则．．．．【C】2．设总体，是来自该总体的简单随机样本，则的一个无偏估计量是．．．．【A】3．设是来自于总体的简单随机样本，且，则未知参数的下列无偏估计中最有效的是．．．．二、设总体服从“”分布：．如果取得样本观测值，求参数p的矩估计值与最大似然估计值．【解】（１）总体的一阶原点矩为；样本均值为令，得的矩估计量为，进而矩估计值为．（２）似然函数为．两边取对数，有．两边对求导，有．令，得，解得．故的最大似然估计值为．三、设总体的概率密度为是取自该总体的一组简单随机样本，为样本观测值，求参数的最大似然估计值．【解】似然函数为．两边取自然对数，有．令，得最大似然估计值为．四、设总体的概率密度为是取自该总体的一组简单随机样本,为样本观测值.（1）求参数的最大似然估计量.（2）你得到的估计量是不是参数的无偏估计，请说明理由.【解】似然函数为．两边取自然对数，有．令，得最大似然估计值为．[18]正态总体参数的区间估计·两个正态总体均值差及方差比的区间估计一、设总体，若样本观测值为6.548.206.889.027.56求总体均值的置信水平为的置信区间．假定：（1）已知；（2）末知．【解】二、测得个零件的长度（单位：）如下：12.1512.1212.0112.0812.0912.1612.0312.01

12.0612.1312.0712.1112.0812.0112.0312.06设零件长度服从正态分布，求零件长度的标准差的置信水平为的置信区间．如果：（1）已知总体均值；（2）未知总体均值．【解】三、从甲、乙两个生产蓄电池的工厂的产品中分别抽取一些样品，测得蓄电池的电容量（单位：）数据如下：甲厂：144141138142141143138137；乙厂：142143139140138141140138142136.设两个工厂生产的蓄电池的电容量分别服从正态分布及，求：（1）电容量的均值差的置信水平为的置信区间（假定）．（2）电容量的方差比的置信水平为的置信区间．【解】四、设总体，已知，要使总体均值的置信水平为的置信区间的长度不大于，问需要抽取多大容量的样本？【解】[19]假设检验的基本概念·正态总体参数的假设检验一、选择填空题(在每题的四个备选答案中选择唯一正确的答案填在题号前的方括号中)【A】1．在显著性假设检验问题中，显著性水平的意义是：原假设成立，经检验被拒绝的概率．原假设成立，经检验不能拒绝的概率．原假设不成立，经检验被拒绝的概率．原假设不成立，经检验不能拒绝的概率．【B】2．考虑对正态总体的均值进行双侧假设检验，如果在显著性水平下接受原假设，则在显著性水平下必然拒绝．必然接受．接受的概率为．拒绝的概率为．二、某切割机正常工作时，切割的金属棒的长度服从正态分布．从该切割机切割的一批金属棒中抽取根，测得它们的长度（单位：）如下：99101961031009810295971041019910297100.若已知总体方差不变，检验该切割机工作是否正常，即总体均值是否等于（取显著性水平）；（2）若不能确定总体方差是否变化，检验总体均值是否等于（取显著性水平）．【解】三、已知全国高校男生百米跑成绩服从均值为(秒)的正态分布．为了比较某高校与全国高校男子百米跑水平，现从该校随机抽取男生人进行测试，测得他们的百米跑平均成绩为(秒)，标准差