圆锥曲线的地相关结论192条

实用标准文案结1过圆

2

2

2a

2

上任意点P作x

2

2

2

的两条切线，则两条切线垂直．结2：圆

222

上任意点P作

xyab

22

（b0

的切线，则两条切线垂直．结3过圆

2ya2b2

（

ab0

）上任意点曲线

xyab

22

1

的两条切线，则两条切线垂直．结4过圆

2

2

2

上任意不同两点

，

作圆的切线，如果切线垂直且相于

，则动点P的轨为：

2

2

2a

2

．结：椭

xyab

22

1（b0

）上任意不同两点AB椭圆的切线，如果切线垂直且相交于

，则动点

的轨迹为圆

2

2

2

2

．结：双

xyab

22

1

（

ab0

）上任意不同两点

A

，

B

作双曲线的切线，如果切线垂直且相交于

，则动点

的轨迹为圆

2

2

2

2

．结7点

M

（

0

，

0

）在椭圆

x2yab

22

1

（

ab0

）上，过点

M

作椭圆的切线方程为

xy00a2

1

．结8点

M

（

0

，

0

）在椭圆

x2yab

22

1

（

ab0

）外，过点

M

作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，切弦的线方程为

xy00a2

1

．结8（充点

M

（

0

，

0

）在椭圆

xyab

22

1

（

ab0

）内，过点

M

作椭圆的弦

（不过椭圆中心

A

作椭圆的切线，则两条切线的交

的轨迹方程为直线：

xy00a2

1

．精彩文档

2222实用标准文案2222结9点M（x，y）双曲线0xxy001切线方程为．ab2

xyab

22

1（0

）上，过点M双曲线的结10点M（，y）双00

xyab

22

1（0

）外，过点M作双曲线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为

xy00a2

1

．结10补）

M

（

0

，

0

）在双曲线

xyab

22

1

（

a

）内，过点

M

作双曲线的弦不过双曲线中双曲线的切线，则两条切线的交点

的轨迹方程为直线：

xxy00ab2

1

．结11：M（，y在抛物线00yp(xx．程为00

2（p0

）上，过点M作物线的切线方结12：

（

0

，

0

）在抛物线

22

（

p0

）外，过点

作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，切弦的线方程为

yp(xx．0结12补）M（x，y）在物线00

2（p0

）内，过点M作物线的弦

，分别过

A

作抛物线的切线，则两条切线的点

的轨迹方程为直线：yp(xx．00结13点

（

0

，

0

）在椭圆

xmynab

2

1

上，过点

作椭圆的切线方程为

0

mxm)0a2

yb2

1

．结14：

（

0

，

0

）在双曲线

xmynab2

2

1

上，过点

作双曲线的切线方程为

x0

mxy0a2

nynb2

1

．精彩文档

2222实用标准文案2222结15：x，y）抛物线00

y

2x

上，过点作抛物线的切线方程为

0

nx0

2m

．结16点

（

0

，

0

）在椭圆

xmynab2

2

1

外过点

作椭圆的两条切线，切点分别为A，则切点弦AB的方程为

0

mxm)0a2

yb2

1

．结17：（x，y）双线0

xmynab2

2

1外，M作线的两条切线，切点分别为，B，切点弦AB的直线方程为x0

m0a2

nynb2

1

．结18：

（

0

，

0

）在抛物线

y2p

外，过点

作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

的直线方程为0

nx0

2m

．结16补）（x，）椭圆00

xmynab2

2

1，过点M椭圆的弦

（不过椭圆中心

A

作椭圆的切线，则两条切线的交

的轨迹方程为直线：

0

mxm)0a2

yb2

1

．结17补）（x，）双曲线00

xmynab2

2

1内过点M双曲线的弦

（不过双曲线中心

A

作双曲线的切线，则两条切线的点

的轨迹方程为直线：

x0

mxy0a2

nynb2

1

．结18补）

（

0

，

0

）在抛物线

ynpm

内，过点

作抛物线的弦

，分别过

A

作抛物线的切线，则两条切线的点

的轨迹方程为直线：0

nx0

2m

．结19：过椭圆准线上一点M椭圆两条切线，切点分别为A，B则切点弦的线必过相应的焦点F，直切点弦结20：过双曲线准线上一点

作双曲线的两条切线，切点分别

，

，则切点弦

精彩文档

2实用标准文案2的直线必过相应的焦点F，MF垂切弦．结21：过抛物线准线上一点M抛物线的两条切线，切点分别为AB则切点弦

的直线必过焦点

，且

垂直切点弦

．结22:

为椭圆的焦点弦，则过

，

的切线的交点

必在相应的准线上．结23:结24:

为双曲线的焦点弦，则过为抛物线的焦点弦，则过

，，

的切线的交点的切线的交点

必在相应的准线上．必在准线上．结25:椭准线与长轴的交点，过点M作的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB就径．结26:点M是线准线与实轴的交点点作曲的条线点为A，

，则切点弦

就是通径．结27:

为抛物线的准线与其对称轴的交点

作抛物线的两条切线分别

，

，则切点弦

就是其通径．结：抛物线

2

（

p0

）的对称轴上任意一点

M(m0

）作抛物线的两条切线，切点分别为

，

，则切点弦

所在的直线必过点

N

．结29过椭圆

xyab

22

1

（

ab0

）的对称轴上任意一点

M

作椭圆的两条切线，切点分别为

，

．（1）

n0，a

时，则切点弦AB在的直线必过点

a2P(m

；（2）

m0

，

nb

时，则切点弦

AB

所在的直线必过点

bQ)n结30过双曲线

x2yab

22

1（0

）的实轴上任意一点

Mma

）作双曲条切线分为

A

B

点弦

AB

所在的直线必过点

a2Pm

．结31过

2（

p0

意M作抛物线的两条线分为，弦的为N则直线MN必与其对称轴平行．结32若椭

xyx2y1ab0双曲线abmn

22

1（m0，0

）共焦点，则在它们交点处的切线相垂直．结33过椭圆外一定点作一线，交点为A，B则满

APBQAQBP的动点

Q

的轨迹就是过

作椭圆两条切线形成的切点弦所的直线方程上．结34过曲外一定点P作条割线B足精彩文档

APBQAQBP

实用标准文案的动点

Q

的轨迹就是过

作双曲线两条切线形成的切点弦在的直线方程上．结35过物外一定点

作其一条割线

B

足

APBQAQBP的动点Q轨迹就是过P作抛物线两条切线形成的切点弦所在的线方程上．结36过双曲线外一点作其一条割线，交点为A，B过A，分别作双曲线的切线相交于点

Q

点

Q

的轨迹就是过

作双曲线两条切线形成的切点弦在的直线方程上．结论37：椭圆外一点

作其一条割线，交点为

，

，过

，

分别作椭圆的切线相交于点Q则动点Q轨迹就是P作两条切线形成的切点弦所在的直线方程上．结38过抛物线外一点

作其一条割线，交点为

，

，过

，

分别作抛物线的切线相交于点

Q

点

Q

的轨迹就是过

作抛物线两条切线形成的切点弦在的直线方程上．结39：椭

xyab

22

1（b0

）的右焦点向椭圆的动切线引垂，则垂足的轨迹为圆：

2

2

2

．结40从

xyab

22

1a，b0

）的右焦点向双曲线的动切线引线，则垂足的轨迹为圆：

222

．结41：

是椭圆

（）个焦点，

是椭圆上任意一点，则焦半径结42：

．是双曲线（）的右焦点，

是双曲线上任意一点．（1）点（2）点

在双曲线右支上，则焦半径在双曲线左支上，则焦半径

；．结43：是线=

（点

是抛物线上任意一点半结：圆上任一点精彩文档

处的法线平分过该点的两条焦半的夹角（或者说

处的切线

实用标准文案平分过该点的两条焦半径的夹角外角圆学性质．结：曲线上任一点

处的切线平分过该点的两条焦半的夹角（或者说

处的法线平分过该点的两条焦半径的夹的外角曲光学性质．结46：物任一点亦即抛物线的光学性质．

处的切线平分该点的焦半径与该向准线所作的垂线的夹角，结47：圆线上任一点结48：曲准线上任一点

处的切点弦处的切点弦

过其相应的焦点过其相应的焦点

，且，且

⊥⊥

．．结49：物准线上任一点

处的切点弦

过其焦点，且

⊥

．结50：圆一点

处的切线交准线于

，

与相应的焦点

的连线交椭圆于

，则必与该椭圆相切，且结：曲线上任一点

⊥．处的切线交准线于

，

与相应的焦点

的连线交双曲线于，则

必与该双曲线相切，且

⊥．结52：物任一点

处的切线交准线于

，

与焦点

的连线交抛物线于，必与该抛物线相切，且⊥．结53焦点轴的椭圆（或焦在

轴）上三点，，

的焦半径成等差数列的充要条件为，，

的横坐标（纵坐标）成等差数列结54焦点轴的双曲线（或点在

轴）上三点，，

的焦半径成等差数列的充要条件为，，

的横坐标（纵坐标）成等差数列结55焦轴抛物线（或焦点在

轴）上三点，，

的焦半径成等差数列的充要条件为，，

的横坐标（纵坐标）成等差数列结56椭圆上一个焦点

关于椭圆上任一点

处的切线的对称点为直线

必过该椭圆的另一个焦点结57双曲线上一个焦点必过该双曲线的另一个焦点精彩文档

关于双曲线上任一点．

处的切线的对称点为直线

实用标准文案结58椭一点非顶点

的切线和法线分别与短轴相交于，有，，

及两个焦点共于一圆上．结59双曲任一点

（非顶点

的切线和法线分别与短轴相交于，有，，

及两个焦点共于一圆上．结60椭圆上任一点，则必得到以

（非顶点）处的切线与过长轴两顶点，为直径的圆经过该椭圆的两个焦．

的切线相交于结61双线任一点（顶点切线与过实轴两个顶点

，切线相交于，则必得到以

为直径的圆经过该双曲线的两个点．结62：以圆的任一焦半径为直径的内切于以长轴为直径的圆．结63：以曲线的任一焦半径为直径圆外切于以实轴为直径的圆．结64：以物线的任一焦半径为直径圆与非对称轴的轴相切．结65焦点在轴椭圆（或焦在轴）上任一点

（非短轴顶点）与短轴的两个顶点

的连线分别交轴或

轴）于

，，

（或结66焦点在轴双曲线（或点在上）上任一点

（非顶点）与实轴的两个顶点

的连线分别交

轴（或轴）于

，，

（或

结67：为点在轴的圆任非顶点相切的旁切圆与轴切于右顶（或左顶点

与边（

）结68：为在轴上的双曲线右或左支任相切于右顶点（或左顶点

的内切圆与轴结69：

是过椭圆（焦点

的一条非通径

的中垂线交轴，则=．结70：精彩文档

是过双曲线）点

的一条弦（非通径，且为

实用标准文案单支弦结71：

的中垂线交轴是过抛物线

，则．）的焦点

的一条弦（非通径

的中垂线交轴于

，则=．结72：

为抛物线的焦点弦，分别过

，

作抛物线的切线，则两条切线的点

在其准线上．结73：

为椭圆的焦点弦，分别过

作椭圆的切线，则两条切线的交

在其相应的准线上．结74：

为双曲线的焦点弦，分别过，

作双曲线的切线，则两条切线的点

在其相应的准线上．结75：结：

为过抛物线焦点为过椭圆焦点

的焦点弦，以的焦点弦，以

为直径的圆必与其准线相切．为直径的圆必与其相应的准线相（当然与另一条准线更相离结：

为过双曲线焦点

的焦点弦，以

为直径的圆必与其相应的准线相，截得的圆弧度数为定值，且为结78以圆线的焦点弦为抛物线．结79以圆线的焦点弦为椭圆．结80以圆线的焦点弦

．为直径作圆，若该圆与其相应的线相切，则该曲线必为直径作圆，若该圆与其相应的线相离，则该曲线必为直径作圆，若该圆与其相应的线相交，则该曲线必为双曲线，此时截得的圆弧度数定值，且为

．结81：

为过抛物线=．

（焦点

的焦点弦，，（，结82：精彩文档

为过椭圆（

的焦点弦，（，（，

实用标准文案=．结83：

为过双曲线

（

）焦点

的焦点弦，

（，（

，

为单支弦，则

=

；若

为双支弦，则=结84：则平分

为抛物线的焦点，的外角．

，

是抛物线上不同的两点，直线

交其准线于，结85：

为椭圆的一个焦点，，是圆不的点

交其相应的准线于，则

平分

的外角．结86：

为双曲线的一个焦点，，曲线上不同的两同一支上

交其相应的准线于

，则

平分

的外角．结87：为线的一个焦点，，是线上不同的两右各一点交其相应的准线于，

平分．结88：

是椭圆

（

过焦点

的弦点

是椭圆上异于的任一点，直线

、

分别交相应于焦点

的准线于

、

，则点

与点

的纵坐标之积为定值，且为．结89：

是双曲线

（）点

的弦，点

是双曲线上异于

的任一点，直线

、

分别交相应于焦点

的准线

、

，则点

与点

的纵坐标之积为定值，且为

．结90：

是抛物线

（

焦

的弦

是抛物线上异于

的任一点，直线

、

分别交准线于，

与点

的纵坐标之积为定值，精彩文档

实用标准文案且为．结91：

，

为椭圆（的长轴顶点，

为椭圆任一点（非长轴顶点，

分别交直线（），则

为定值，且有．结92：

，

为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，

分别交直线

于，则结93：

，

为定值，且有=．为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，

分别交直线

于，则结94：

，

为定值，且有=．为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，

分别交直线

于，则结95：

，

为定值，且有=为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，精彩文档

分别交直线

于

实用标准文案，则结96：

，

为定值，且有=．为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，

分别交直线

于，则结97：

，

为定值，且有=．为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，

分别交直线

于，则结98：

，

为定值，且有=为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，

分别交直线

于，则结99：

，

为定值，且有=．为双曲线（）顶，，，（，，

为双曲线上任一点（非实轴顶点为定值，且有

分别交直线

于结100：

，

为双曲线（）顶点，，（

为双曲线上任一点（非实轴顶点

分别交直线

于精彩文档

实用标准文案，，结101：

，

为定值，且有为双曲线（）顶点，，（

为双曲线上任一点（非实轴顶点

分别交直线

于，，结102：

，

为定值，且有为双曲线（）顶点，，（

为双曲线上任一点（非实轴顶点

分别交直线

于，，结103：

，

为定值，且有为双曲线（）顶点，，（

为双曲线上任一点（非实轴顶点

分别交直线

于，，结104：

，

为定值，且有为双曲线（）顶点，，（

为双曲线上任一点（非实轴顶点

分别交直线

于，，结105：

，

为定值，且有为双曲线（）顶点，，（

为双曲线上任一点（非实轴顶点

分别交直线

于精彩文档

实用标准文案，，结106：

，

为定值，且有=．为双曲线（）顶点，，（

为双曲线上任一点（非实轴顶点

分别交直线

于，，

为定值，且有=．结107

，

为椭圆（）的长轴顶点，

为椭圆任一点（非长轴顶点线，

分别交直线

于，，

为定值，且有=．结108

，

为椭圆（）的长轴顶点，

为椭圆任一点（非长轴顶点线，

分别交直线

于，，

为定值，且有==结109

，

为椭圆（）的长轴顶点，

为椭圆任一点（非长轴顶点线，

分别交直线

于，，

为定值，且有=．结110：

，

为椭圆（）长轴顶点，

为椭圆任一点（非长轴顶点线

，

分别交直线

于，，

为定值，且有精彩文档

实用标准文案结：

，

=．为椭圆（）的长轴顶点，，（为圆轴点，，则为定值，且有=

分别交直线

于结112：

，

为椭圆）轴顶点，，，（为圆轴点，，则为定值，且有=

分别交直线

于结113：

，

为椭圆（）任一直径（中心弦

为椭圆上任一点（不与，

点重合

为定值，且有==结114：

，

为椭圆

（）一弦（不过点且不与对称轴平行

为弦

的中点，若

与

均存在，则

为定值，且有结115：

==为椭圆（的任一弦（不与对称轴平行于的弦的中点的轨迹为直线，==．结116过椭圆（意点是其顶椭圆的切线，精彩文档

实用标准文案则有=．结117：圆（）点

的弦的端点为，过点，

分别作直线

的垂线，垂足分别为

，，与轴于，直线

与

恒过

的中点，且有

．结118：椭定点±

任作一条弦

为椭圆上任一点，连接

，

，且分别与准线

相交于则有=

．结119椭圆（定任作一条弦，

为椭圆上任一点，连接，且分别与直线

相交于，，则有=．结120为曲顶

为双曲线上任一实轴顶点线

分别交直线（），，

为定值，且有=．结121为曲顶

为双曲线上任一实轴顶点线值，且有=

，．

分别交直线（），

为定精彩文档

实用标准文案结122为曲顶

为双曲线上任一实轴顶点线，

分别交直线（），

为定值，且有．结123为曲顶

为双曲线上任一实轴顶点线，

分别交直线（），

为定值，且有．结124：

，

为双曲线（）顶点，，（，，

为双曲线上任一点（非实轴顶点为定值，且有=．

分别交直线

于结125：

，

为双曲线（）顶点，，（，，

为双曲线上任一点（非长轴顶点为定值，且有=．

分别交直线

于结126

为双曲线（）任一直径，

为双曲线上任一点（不与

点重合

为定值，且有==结127：精彩文档

为双曲线（的任一弦（不过原点且不与对称轴

实用标准文案平行

为弦

的中点

与

均存在

为定值=．结128

为双曲线（的任一弦（不与对称轴平行行于

的弦的中点的轨迹为直线，==．结129：双（上意一不是其顶双的切线，==．结130曲线（定

或的弦的端点为

，

，别作直线

的垂线别

，与轴于

，则直线

与

恒过

的中点，且有

．结131：曲）及定点±

任作一条弦

，

为双曲线上任一点，连接

，，且分别与准线

相交于，则有

=结132曲线（定

或任作一条弦，，则有

为双曲线上任一点，且分别与直线=．

相交于，结133：物

（）点

的弦的端点为

，，过

分别作直线

的垂线，垂足分别为

，

，直线

与

轴相交精彩文档

实用标准文案于，直线

与

恒过

的中点，且有．结134：物

（

）及定点

任作一条弦

，为抛物线上任一点

，

与准线

相交

，

=

．结135抛物线

（

）及定点

任作一条弦

，为抛物线上任一点，别线

相交，=结136过抛

（

）的焦点，0）弦（点弦）与抛物线相交于，过

作直线

与

轴平行，且交准线于

，则直线

必过原点（即其准线与轴交点

与焦点

的线段的中点结137

为椭圆（）点

的弦，其相应的准线与轴点为均过线段

，轴的平行线与其相应的线分别相交于的中点．

，直，结138

为双曲线

（的焦点

的弦，其相应的准线与轴交点为

，过

作

轴的平行线与其相应的准线分别交于

，，线均过线段

的中点．结139过圆曲线（可以是非标准状态下）焦点弦的一个端点向其相应的准作垂线，垂足与另一个端点的连线必经过点到相应的准线的垂线段的中点．结140AB为于椭圆

长轴上的动弦准与轴相交于

，则直线AF与BQ（或BF与AQ）交点必椭圆上．结141AB为双曲线

实轴的动弦准与轴，则直线AF（线AQ的交点M也在该双曲线上．精彩文档

实用标准文案结142AB为直抛物线

对称轴的动弦准线与相交于

，则直线AF与BQ（线BF与AQ）交点也该抛物线上．结143AB垂直于圆曲线的长轴（椭圆双曲线）或对称轴（抛物线）的动弦，其准线与相交于，直AFBQ直线AQ）的交点M恒在该圆锥曲线上．结144：曲线的焦点弦AM（通径，双曲线则为单支弦x轴有且只有一点Q．结145：F任作圆锥曲线的一条弦AB（若曲线则为单支弦AB作线l垂线（

是其相应准线与的交点为

，则直线

与直线

都经过QF的点K，即

及

三点共线．结146：AM是曲线过点F关于长轴（椭圆）对的两条动轴（双曲线）或对称轴（抛物线如图5，则四线

共点于．结147

，

分别为椭圆（）右点左点

为椭圆任一点（非长轴顶点

分别交直线

于，，线段

为直径的圆必过二个定点，且椭圆外点为（）及椭圆内定点为（，0结148

，

分别为双曲线（的右顶点和左顶点，

为双曲线上任一（实轴顶点，

分别交直线（，则以线段

为直径的圆必过二个定点，且双线内定点为（及双曲线外定点为（，0精彩文档

实用标准文案结149过直线（上但在椭圆）外一点

向椭圆引两条切线，切点分别为，则直线

必过定点，且有．结150：直

（上但在双曲线（

）外（即双曲线中心所在区域）一点，且有

向双曲线引两条切线，切点分别．

，，线

必过定点结151：直

（

）上但在抛物线

（外（即抛物线准线所在区域）一点

向抛物线引两条切线，切点分别

，

，则直线

必过定点，且有结：点

．是圆锥曲线的准线上一点（不在曲线的渐近线上

向圆锥曲线引两条切线，切点分别为结：过

，则直线上但在椭圆

必过准线对应的焦点，且（）点

⊥．向椭圆引两条切线，切点分别为，

，则直线

必过定点

．结154过直线

上但在双曲线

（

）外（即双曲线中心所在区域）一点

向双曲线引两条切线，切点分别

，

，则直线

必过定点．结155：直

（上但在抛物线

）外（即抛物线准线所在区域点

向抛物线引两条切线点

，直线

必过定点精彩文档

实用标准文案．结156

，是椭圆（

右

是直线（

，）上的一个动点（

不在椭圆上

及

分别与椭圆相交于

，

，则直线

必与相交于定点结157是双

（

是直线（

，）上的一个动点（

不在双曲线上

及

分别与双曲线相交于

，

，则直线

必与相交于定点

．结158

，

是抛物线

（

）上异于顶点

的两个动点，若直线

过定点（

，0

⊥

，且

，

的横坐标之积及纵坐标之积均为值．结159

，

是抛物线

（

）上异于顶点

的两个动点，若⊥，则直线

必过定点

（

，0

，

的横坐标之积及纵坐标之积均为值．结160

，

是抛物线

（

）上异于顶点

的两个动点，若

⊥，过

作

⊥

，则动点

的轨迹方程为

（

结161

，

是抛物线

（

）上异于顶点

的两个动点，若

⊥，则

=

．结162过抛线则

（

）上任一点（，）作条弦，⊥

的充要条件是直线

过定点

（

结163过抛线（上任一点

（，

）作两条弦，则精彩文档

=（）充要条件是直

过定点，

实用标准文案结164：椭（任一点（，两，则⊥

的充要条件是直线

过定点（

，

特别地

为左、右顶点时，即

=，

=0时⊥

的充要条件是直线

过定点（，（2当

为上下点时即

=0，

时，⊥

的充要条件是直线过定点，结165：双（，任点（，两弦，，则⊥特别地，当

的充要条件是直线为左、右顶点时，即

过定点，

（=0时

，的充要条件是直线过定点（，0结166次曲线：

（

，，，，常数，

）上任一点（，）两弦

，若

⊥，直线

恒过定点．值得注意的是：在结论中（1）

，

，

，

就是结论159（2）

，

，

就是结论；（3）（4）

，，

，，

就得到结论；就得到结论精彩文档

实用标准文案结：则结：

，，

是椭圆）不的个点若⊥，+=．是椭圆）不的个点若⊥，则有+=，+=．结169

，

是双曲线（）上不同的两个动点（在同一支上若⊥，有+结170：抛物

（

=．）的对称轴上存在一个定点，过该点的任意弦

恒有．结171：椭）的长轴上存在定点使得过该点的任意弦