数学思维导图案例

数学思想导图(2012山东高考·满分12分)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.求证：BE＝DE；若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.[教你迅速规范审题]1．审条件，挖解题信息取BD中点O察看条件―→△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD―――――→CO⊥BD连结EO，COEC∩CO＝C―――――→BD⊥平面EOC2．审结论，明解题方向需证明△BDE是等腰三角形应证明EO⊥BD察看所证结论―→求证BE＝DE―――――――――――→3．建联系，找解题打破口O为BD中点EC⊥BDOE?平面EOCBD⊥OECB＝CD―――――→CO⊥BD―――→BD⊥平面EOC――――――→△BDE是―――――→BE＝DE等腰三角形1．审条件，挖解题信息察看条件

―→

△ABD为正三角形∠

BCD＝120°，M是AE的中点取AB的中点N，―――――――→MN∥BE，DN⊥AB，CB⊥AB连结DM，DN，MN2．审结论，明解题方向需证面面平行察看所证结论―→DM∥平面BEC――――――→或线线平行平面DMN∥平面BEC或DM平行于平面BEC内的一条线3．建联系，找解题打破口联合法一条件由面面平行推证线面平行与图――→证明平面DMN∥平面BEC――――――――――→DM∥平面BEC形法二利用线面平行的判断――→在平面BEC内作协助线EF∥DM――――――――→DM∥平面BEC[教你正确规范解题]如图，取BD的中点O，连结CO，EO.因为CB＝CD，所以CO⊥BD.(1分)又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC?平面EOC，所以BD⊥平面EOC.(2分)所以BD⊥EO.又O为BD的中点，所以BE＝DE.(3分)法一：如图，取AB的中点N，连结DM，DN，MN.因为M是AE的中点，所以MN∥BE.(4分)又MN?平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.(5分)又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°.(6分)又CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.(7分)所以DN∥BC.又DN?平面BEC，BC?平面BEC，所以DN∥平面BEC.(9分)又MN∩DN＝N，所以平面DMN∥平面BEC.(10分)又DM?平面DMN，所以DM∥平面BEC.(12分)法二：如图，延伸AD，BC交于点F，连结EF.(4分)因为CB＝CD，∠BCD＝120°，所以∠CBD＝30°.(5分)因为△ABD为正三角形，所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°.(7分)1所以∠AFB＝30°，所以AB＝2AF.(9分)又AB＝AD，所以D为线段AF的中点．(10分)连结DM，由点M是线段AE的中点，得DM∥EF.又DM?平面BEC，EF?平面BEC，(11分)所以DM∥平面BEC.(12分)函数实质应用题答题模板[典例](2011山东高考·满分12分)某公司拟建筑如下图的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两头均为半球形，依据80π设计要求容器的容积为3立方米，且l≥2r.假定该容器的建筑花费仅与其表面积相关．已知圆柱形部分每平方米建筑花费为3千元，半球形部分每平方米建筑花费为c(c>3)千元．设该容器的建筑花费为y千元．写出y对于r的函数表达式，并求该函数的定义域；求该容器的建筑花费最小时的r.[教你迅速规范审题]1．审条件，挖解题信息察看中间为圆柱形，左右两头均为半球形的容器，可依据体积公式―→――――――→条件球的半径为r，圆柱的母线为l，以及容器的体积成立关系式3利用表面积公式24πr＋πr2l＝80π―――――――→S球＝4πr，33求球及圆柱的表面积S＝2πrl圆柱2．审结论，明解题方向察看所求对于r的函数表达式，求y对于r的函数表达式，结论―→求y并求该函数的定义域求总造价y，应求出球形部分球形部分的造价为4πr2c，――――――――――→圆柱型部分的造价为2πrl×3及圆柱形部分各自的造价3．建联系，找解题打破口总造价y＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，应消掉l2―――→即y＝4πrc＋2πrl×3只保存r由4πr32l＝80π，解得l＝80－4r故可得160π2＋4πcr23＋πr33r23――――→y＝r－8πr建筑花费由l≥2r可求r的范围―――――――→即定义域0<r≤2―→问题得以解决1．审条件，挖解题信息察看条件―→错误!2．审结论，明解题方向建筑花费最小，即y最小察看所求结论―→求该容器的建筑花费最小时的r――――――――――→问题转变为当r为什么值时，y获得最小值3．建联系，找解题打破口可利用导数剖析函数特色：含分式函数―――――――→研究函数的最值160π8π[(c－2)r3－20]求导数为零