第二章水静力学

第二章水静力学静水压强及其特性重力作用下静水压强分布规律作用于平面上的静水总压力第二节第三节第一节作用于曲面上的静水总压力第四节水静力学是研究液体平衡规律及其工程实际应用的学科。液体平衡状态静止状态：质点间没有相对运动，液体整体相对于地球也没有运动。相对静止状态：液体相对地球虽有运动，但液体与容器之间及液体质点之间都不存在相对运动。处于平衡状态液体，液体质点之间不存在相对运动，因此不产生内摩擦力，粘滞性不显现。工程应用：挡水坝水压力计算、闸门水压力计算及各种测量仪表的工作原理。主要任务计算静水中的点压强静水压强分布规律作用于平面和曲面上静水总压力计算第一节静水压强及其特性一、压强的定义压强的定义：单位面积上所受的压力公式AFppADD=®D0lim平均压强点压强单位：N/m2（Pa）静水压力：指平衡液体内部相邻两部分之间相互作用的力或者指液体对固体壁面的作用力。Fp表示，单位：N

、kN。△Fpm△A证明：取一处于静止或相对平衡的某一液体ⅠⅡFpnFpFptPNNAB二、静水压强的特性第一特性：静水压强方向垂直指向作用面。FpxFpzFpyABCDFpnXYZOxyz第二特性：静止液体中任一点处各个方向的静水压强大小相等，与作用面的方位无关。pnsFpn·D=pzyxFpz·D·D=21pyxzFpy·D·D=212pxzyFpx·D·D=1相应面上的总压力为DFPxFPzABCFPnxyZOFPy四面体的体积DV为6yxDV·D·D=1zD总质量力在三个坐标方向的投影为四面体的质量DFPxFPzABCFPnxyZOFPy按照平衡条件，所有作用于微小四面体上的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零第一式中zypnD·D·=21xnsxnpFnPn·D·=),cos(),cos(AxpnD·=DFPxFPzABCFPnxyZOFPy0),cos(=+-FFFxpnpxxn代入第一式则：整理后,有当四面体无限缩小到A点时，xD0因此：pnpx=同理，我们可以推出：pnpy=pnpz=和这样我们可以以得到：pypx=pnpz==上式表明任一一点的静水压压强p是各向等值的的，与作用面面的方位无关关。第二特性性得到证明。。DFPxFPzABCFPnxyZOFPy第二节重力力作用下静水水压强的分布布规律一、基本方程程圆柱上表面的的静水压力圆柱下表面的的静水压力小水柱体的重重力力的平衡方程程00▽▽12h2h1△hz1z2Gp0p1p2p0Gph（a）（b）00▽▽12h2h1△hz1z2Gp0p1p2p0Gph（a）（b）（2-1）上式表明，在在仅有重力作作用的静水中中，任意两点点的静水压强强关系为：下面一点点的压强等于于上面一点的的压强加上水水容重与两点点之间的水深深差的乘积。。00▽▽12h2h1△hz1z2Gp0p1p2p0Gph（a）（b）如把小圆柱向向上移至上表表面于水面上上，如图b，式（2-1）可写成（2-2）式（2-2）为静水压强基本本方程式，该式表明，，仅在重力作作用下的静水水中任一点的的静水压强，，等于水面压压强加上液体体的容重与该该点水深的乘乘积。（2-4）当液体表面的的压强时时，式中的按按0计，即静水压强方程程式可写为：：（2-3）00▽▽12h2h1△hz1z2Gp0p1p2p0Gph（a）（b）例1：求水库中水水深为5m、10m处的静水压强强。解：因水库表表面压强为大大气压，故水深5m处水深10m处二、静水压强强方程的意义义（一）几何意意义0012paapz1z2通常称z为位置水头，为压强水头，为测压管水头。因液面上为大大气压，故容容器内1、2点的压强分别别为：h1因此，1、2点的测压管水水面上升高度度为（2-5）式（2-5）也表明了连连通器原理理：均值、、连通的静静止液体中中，水平面面必是等压压面，即显然，图中中当0-0基准面确定定后，水表表面到0-0基准面的距距离是不变变的。因此此，式（2-4）的几何意义义在于：仅仅在重力作作用下，静静止液体内内任何一点点的测压管管水头等于于常数，即即0012paapz1z2h1（二）物理理意义的能量意义义是单位重重量液体所所具有的位位置势能，，称为单位位位能。0012paapz1z2h1物理学中，，质量为m的物体在高高度为z的位置，具具有的位置置势能为mgz。同理，质质量为m的液体在距距离0-0基准面高度度为z1的位置上，，也具有位位置势能mgz1。单位重量的的液体在某某点所具有有的位置势势能（单位位位能）：：0012paapz1z2h1液体除具有有位置势能能外，压力力也具有做做功的本能能，称为压压力势能。。质量为m的液体在2点所受的静静水压强为为在p2作用下液体体上升高度度压力势能为为单位重量的的液体在某某点所具有有的压力势势能（单位位压能）：：的能量意义义是单位重重量液体所所具有的压压强势能，，称为单位压压能。之和代表了了单位位能能与单位压压能之和，，称单位总总势能。1、压强的表表示方法：：⑴绝对压强：以设想没没有大气存存在的绝对对真空状态态作为零点点计算的压压强。用Pabs表示。⑵相对压强：在实际工工作中，一一般建筑物物表面均作作用着大气气压强，这这种以当地地大气压强强Pa为零算起的的压强为相相对压强。。用P表示。绝对压强与与相对压强强关系用公公式表示：：三、绝对压压强、相对对压强、真真空P00PaPaPabs<PaPabs>Pa绝对压强相对压强为负值（真空）Pabs相对压强PaPabs绝对压强永永远为正值值，最小值值为零。相对压强可可正可负，，当Pabs<Pa时，相对压压强P<0,工程上把负负的相对压压强叫做““真空”。。Pv表示。真空高度表表示(3)真空及真空空度P00PaPaPabs<PaPabs>Pa绝对压强相对压强为负值（真空）Pabs相对压强PaPabs例3一封闭水箱箱如图，自自由面上气气体压强P0为85KPa，当地大气气压Pa为98KPa。求液面下下淹没深度度h为1m处点C的绝对压强强、相对压压强和真空空度。CP0h解：C点绝对压强强为C点相对压强强为相对压强为为负值，说说明C点存在真空空。真空度为四、等压面面的应用在重力作用用下，静止止均质液体体中的等压压面是水平平面。需要强调指指出，这一一结论只能适用于互相连通通的同一种液体，对于于互不连通通的液体则则不适用。。定义：在互相连连通的同一一种液体中中，由压强强相等的点点所组成的的面称为等等压面。阀门水水非等压面（a）水等压面油非等压面（b）（1）U形水银测压压计（2）压差计空气12ay△h水Ba△h水银12倾斜压差计计水银压差计计例4有一水塔如如图，为了了量出塔中中水位，在在地面上装装置一U形水银测压压计，测压压计左支用用软管与水水塔相连通通。今测出出测压计左左支水银面面高程为502m，左右两支支水银面高高差h1为116cm，试求此时时塔中水面面高程。解：h1h2高程处相对对压强为测压管右支支一、静水压压强分布图图的绘制由可可知知，压强与与水深呈线线性关系，，把受压面面上压强与与水深的这这种函数关关系表示成成图形，称称为静水压压强分布图图。原则:⑴、按一定定比例，用用线段长度度代表该点点静水压强强的大小。。⑵、用箭头头表示静水水压强的方方向，并与与作用面垂垂直。第三节作作用于平面面上的静水水总压力具体做法：：可选受压面面最上和最最下两点，，用算算出其大大小，再定定性绘出两两点的箭杆杆长度（压压强小，箭箭杆短；压压强大，箭箭杆则长；；压强相等等，箭杆等等长），然然后连接箭箭杆尾端，，标注两点点压强大小小，图形内内部再画若若干箭头，，即得静水水压强分布布图。简化为：选两点、求大大小、画箭杆、、连箭尾、标数数字、画中间。。例1BAhC解：选两点：A点和B点求大小：画箭杆：A点箭杆长度为0，B点箭杆垂直并指指向AB面，长度为连箭尾：连接AB两点箭杆尾端标数字：标注B点箭杆所表示的的压强数据画中间：图形内部画若若干箭杆表示各各点压强分布hhh1h2例2BAh1h2例3为一折面的静水水压强分布图h2h1CABh1h2DE例4为两种和的液体作用于平面AC先做AB面再做BC面则ADEC即为所求压强分分布图二、作用于任意意平面上的静水水总压力——解析法对于一个平面作作用面，静水总总压力的作用方方向必然垂直压压向这个作用面面。需要解决的的问题是它的大大小和作用点。。解析法是根据力力学和数学的分分析方法，来求求平面上静水总总压力的一般计计算公式。A:面积；hc：受压面形心在在水下的深度；；yc：受压面形心沿沿y轴的距离；C：受压面形心点点；D：总压力作用点点；hD：总压力作用点点在水下的深度度；yD：总压力作用点点沿y轴的距离；：受压面与水面面的交角。yxbaCyhαychcdAAyDhDD1、总压力的大小小和方向在面积A上任取一微小面面积dA，设中心点纵坐坐标为y，水深为h，由图可见yxbaCyhαychcdAAyDhDD（2-21）（2-20）yxbaCyhαychcdAAyDhDD上式表明，作用用于任意平面上上的静水总压力力，等于平面形形心点上的静水水压强与平面面面积的乘积。2、静水总压力的的作用点静水总压力在平平面上的作用点点叫做压力中心心。工程中受压面常常为具有纵向对对称轴的对称平平面，静水总压压力的作用点必必位于对称轴上上，一般无须计计算xD，所以求得yD后就可确定作用用点的位置。根据理论力学的的合力矩定理推推求yD（合力对任一轴轴的力矩等于各各分力对该轴力力矩的代数和））。(2-26)压力中心的位置置必然低于形心的位置，只只有当平面呈水水平时，总压力力的作用点才与与面积的形心相相重合。Ic：惯性矩对于圆形受压平平面：对于矩形受压平平面：r—圆的半径；b—受压面宽度；L—受压面长度。平面形状惯性矩

Ic形心点距下底的距离矩形圆形半圆形三角形梯

形几种常见平面的的Ic及形心点位置的的计算式sclbds(式中)hscbcshnmcs例5一垂直放置的圆圆形平板闸门，，已知闸门半径径R为1m，形心在水下的的淹没深度hc为8m，求作用于闸门门上静水总压力力的大小及作用用点位置。hDhcFp解：计算总压力作用点D应位于纵向对称称轴上，故仅需需求出D点在纵向对称轴轴上的位置。采用图解法时，，须先绘出压强分布图，然后根据压强强分布图形计算算总压力。cphbACDBa、压强分布图1、静水总压力的的大小铅直矩形平面ABCD，其顶边与水面齐平，高高为h，宽为b，用解析法求平面面静水总压力为为三、作用在矩形形平面静水压力力——压力图法hDhChb、剖面图上式表明，矩形形平面上的静水水总压力的大小小等于作用在平平面上的压强分分布图的体积。式中正正好是静水水压强分布图的的面积（用表示），因此上上式可写成（2-27）这一结论适用于于矩形平面与水水面倾斜成任意意角度的情况。。矩形平面上静水水总压力的作用用线通过压强分分布图形体积的的重心，垂直指指向作用面，作作用线与矩形平平面的交点就是是压心D。2、求作用点三角形：压力中心的位置置用压力中心D至受压面底边缘缘的距离e表示：he梯形:a—受压面长度；h1、h2—受压面上、下边边缘的水深。矩形受压平面静静水总压力的图图解步骤：（1）绘出静水压强强分布图；（2）求静水总压力力的大小；；（3）确定压力中心心的位置e。例6如图所示，为一一单宽矩形闸门门，只在上游受受静水压力作用用，如果该闸门门绕中心轴旋转转某一角度α，试问：⑴闸门上任意意一点的压强有有无变化？为为什么？⑵板上的静水水总压力有无变变化?为什么？答：（1）压强有变化因为任意一点的的深度在不断变变化（中心轴除除外）（2）静水总压力无无变化因为，，在本题中中，形心点的深深度即为旋转轴轴处于水下的深深度，该深度不不随闸门的旋转转而变化，而γ、A为常量，故压强强无变化。例7：如图一矩形平板板闸门，已知h1=3m，h2=6m，闸门宽b=2m，长L=5m，求闸门所受静水水总压力。解：h2eh1例2.6某渠道进口有一底底孔饮水洞，如图图所示，引水洞进进口处设矩形平面面闸门，其高度a=2.5m。闸门前水深H=7.0m闸门倾角为60°，求作用于闸门上上的静水总压力的的大小和作用点。。Hh闸门60°ap解:（1）用解析法计算（2）用压力图计算例8：如图所示一混凝凝土重力坝，为了了校核坝的稳定性性，试计算作用于于1m长坝体上水平方向向的水压力及垂直直水压力。26m8m4m水平方向静水压力力：垂直方向静水总压压力：解：第四节作用于曲曲面上的静水总压压力x0zPCBAFxdAh一、静水压力的水水平分力和垂直分分力将曲面看作无数微微小面积所组成，，而作用在每一微微小面积上的压力力可分解成水平分分力和垂直分力，，这样就把求曲面面总压力的问题也也变成求Fpx和Fpz的合力的问题。dFpzdFpαdFpxαFE(dA)x(dA)zD则：式中，为为曲曲面在铅垂平面上上的投影面的面积矩。hc为投影面积Ax形心c对应的水深。X方向的总压力为dFpzdFpαdFpxαFE(dA)x(dA)z1、水平分力同理：式中V就是图中以AB为代表的曲面及自自由水面（或水面面的延续面）之间间的柱体体积，该该柱体体积称为压压力体。dFpzdFpαdFpxαFE(dA)x(dA)z式中2、垂直分力画图步骤：第一步：画曲面线线本身；第二步：由曲面壁壁的上、下边缘向向水面线或其延长长线做垂线；第三步：由水面线线或水面线的延长长线将图像封闭；；第四步：压力体的的方向是曲面上部部受压，方向向下下；下部受压，方方向向上。3、压力体图绘制方方法总结为：第一步：画曲曲面；第二步：做做垂线；第三步：：水平封闭；第四四步：判方向。当曲面为凹凸相间的复杂柱面时，可可在曲面与铅垂面面相切处将曲面分开，分别绘出各部分分的压力体，并定定出各部分垂直水水压力的方向，然然后合成起来即可可得出总的垂直压压力的方向。ABCDABCDCABCD压力体只是做为计计算曲面上垂直压压力的一个数值当当量，它不一定是是由实际水体所构构成。例1试画出下列图中各各曲面上的压力体体图。ABABABABABADBC二、总压力的作用用点总压力Fp的作用线应通过FPX与FPY的交点K,过K点沿FP的方向延长交曲面面于D，D点即为总压力FP在曲面AB上的作用点。HBAFpz静水总力大小为了确定总压力FP