无穷限反常积分

关于无穷限反常积分22.03.20231第一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.2023210.1无穷限的反常积分

([积分区间无限]无穷积分)10.2无界函数的反常积分

([被积函数无界]瑕积分)第十章反常积分(广义积分)第二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.20233

引例一、无穷积分的概念二、无穷积分的性质

三、无穷积分与数项级数的关系四、无穷积分收敛性判别法第三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.20234

引例：问题：0xy1b即这是积分区间为[1，+∞）的积分。解：由于这个图形不是封闭的曲边梯形,而在x轴的正方向是开口的，第四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.20235显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，则所求曲边梯形的面积为1.第五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.20236一、无穷积分的概念.

定义:设函数

f(x)在区间[a,+)上连续,任取b>a,如果极限存在,则称此极限为函数

f(x)在无穷区间[a,+)上的广义积分,记作(1)第六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.20237这时记号

不再表示数值了。

例如：oyxb1这时也称广义积分

收敛;若上述极限不存在,就称广义积分

发散,第七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.20238

类似地,

设函数f(x)在区间(,b]上连续,取a<

b,如果极限存在,(2)

这时也称广义积分

收敛;若上述极限不存在,就称广义积分

发散.即f(x)在无穷区间(,b]上广义积分,记作则称此极限为函数第八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.20239设函数f(x)在区间(,+)上连续,

都收敛,则称上述两个广义积分之和为函数f(x)在区间(,+)上广义积分.(3)如果广义积分

记作即第九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202310

这时,也称广义积分收敛;

否则就称广义积分发散.

上述三种广义积分统称为:

无穷限的广义积分（无穷积分）.第十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202311解：注:为方便起见,把aboxy第十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202312第十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202313解:加第十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202314证:

当

p=1时当

p1时第十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202315结论类似于p级数第十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202316练习1.确定下列无穷积分是否收敛，若收敛算出它的值.解：第十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202317第十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202318第十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202319作业1：下列无穷积分是否收敛？若收敛，算出它们的值.作业2：求下列无穷积分：第十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202320二、无穷积分的性质（1）、对于无穷限积分也有换元法则.（2）、（3）、（4）、第二十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202321Cauchy收敛原理(准则)：

和无穷级数类似，反常积分也有绝对收敛和条件收敛的概念：第二十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202322定理：绝对收敛的反常积分一定收敛，但收敛的却不一定绝对收敛.(见例题8)第二十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202323三、无穷积分与数项级数的关系二者有密切的联系:由函数极限与数列极限的关系知：并且有同一极限值.海涅定理第二十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202324分析:第二十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202325第二十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202326oyx12345第二十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202327四.无穷积分收敛的判别法1.比较判别法:则有:第二十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.2023282.极限形式:则:第二十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202329３.柯西判别法:第二十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.2023304.极限形式:第三十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202331例4：解：参考函数第三十一页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202332例5：解：第三十二页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202333解：加.

讨论的收敛性，根据比较判别法第三十三页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202334例6：解：故由柯西判别法极限形式第三十四页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202335※第二中值定理（作用相当于级数中的阿贝尔变换）有阿贝尔判别法判别法与狄利克雷判别法两种判别法证明需要用如下中值定理第三十五页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202336特别地利用第二中值定理可以证明A-判别法和D-判别法第三十六页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202337*.阿贝尔判别法了解内容第三十七页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202338例8：证明：∴由A-判别法知，所讨论级数收敛.第三十八页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202339*.狄利克雷判别法了解内容第三十九页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202340例7：证明：先证明此积分收敛第四十页，共四十四页，编辑于2023年，星期一22.03.202341再证明此积分收敛非绝对收敛第四十一页，共