历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

校自行填写，山备课组长保管，考前30分钟再发给考生。

四、考号安排

学校厦门一中双十中学厦门六中外国语学校科技中学厦门二中湖滨中

学考号安排

10001——1060010601——1120011201——1180011801——1240012401—13000

13001—1320013201—13400学校考号安排松柏中学13401—13600厦门三

中13601——13800华侨中学13801—14000禾山中学14001——14200大同中学

14201—14400康桥中学14401——14600

集美中学20001——20400英才学校20401——20600灌口中学20601——28000乐

安中学20801——21000

同安一中30001——30600启悟中学30601——30800第二外国语学校

30801——31000翔安一中40001——40400新店中学40401——4060040601——40800

诗扳中学

40801----41000

厦门十中杏南中学海沧中学海沧实验中学

东山中学五显中学国祺中学21001——2140021401——2160021601——21800

21801——2200031001——3120031201——3140031401——31600

五、考务：

有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。

六、奖项：

按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者；预赛成绩为本区第一名经省数学会审核

无误后也可以直接参加复赛。

另外，符合下列条件之一者可直接进入复赛：

（1）2008年、2009年全国高中数学联赛（福建赛区）一、二等奖获得者；（2）2010

年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者；（3）2010年福建省高一数学竞赛（省）

前十五名获得者；（4）2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。

复赛试卷经省数学会评定后，评出（省级）全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、、省

教育厅审定，获得（省级）全国一、二、三等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合

颁发获奖证书。注意：一等奖、二等奖和三等奖均按联赛与加试的总分评定。

省数学会评出《2009年福建省高中数学竞赛》一、二、三等奖后，我市在省奖之外再评出

市一等奖、二等奖、三等奖，以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数学联赛的积极性,

研究决定：按报名人数给学校不低于10%的市级（以上）获奖名额，鼓励学生。

厦门市教育科学研究院基础教育研究室厦门市教育学会数学教学专业委员会

2010年5月13日

（注：报名表的指导教师栏请认真填写，赛后不得更改）

1992年全国高中数学联赛试卷

第一试

选择题（每小题5分，共30分）

1.对于每个自然数n,抛物线y（n+n&（2n+l）x+l与x轴交于An,Bn两点，以|AnBn|

表示该两点的距离，则

2

2

+|A2B2|++|A1992B1992|的值是（）

-9-

（A）（B）（C）（D）

2.已知如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一部分，则这•曲线的方程是（）

（A）（x+（C）（x+

y2)(y+x2)=0(B)(xy2)(yx2)=0y2)(yx2)=0(D)(xy2)(y+x2)=0

(Si)

i14

3.设四面体四个面的面积分别为SI,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记=

(A)2<丰4(B)3<<4(C)2.5<丰4.5(D)3.5<<5.5

/S,则一定满足()

，都是方程logx=log(4谢的根,4.在4ABC中，角A,B,C的对边分别记为a,b,c(b1),

且则^ABCX)

b

(A)是等腰三角形，但不是直角三角形(B)是直角三角形，但不是等腰三角形(C)是等腰

直角三角形(D)不是等腰三角形，也不是直角三角形

5.设复数zl,z2在复平面上对应的点分别为A,B,且|zl|=4,4zl2zlz2+z2=0,0为坐

标原点，则AOAB的面积为()

(A)8

2

2

(B)4(C)6(D)12

6.设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系f(10+x)f(10x),f(20x)'f(20

+x),则f(x)是

(A)偶函数，又是周期函数(B)偶函数，但不是周期函数(C)奇函数，又是周期函

数(D)奇函数，但不是周期函数

二.填空题(每小题5分共30分)

,,xyz成等差数列，则zx的值是.

1.设x,y,z是实数，3x,4y,5z成等比数列,且

2.在区间［0,］中，三角方程cos7xcos5x的解的个数是.

3.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是

异面直线，则k的最大值是

z4.设z,z都是复数，且|z|=3,|z|=5忆+z|=7,贝Ijarg(l)的值是.

3

1

2

1

2

1

2

5.设数列al,a2,,an,满足ala21,a32,且对任何自然数n,都有anan+

lan+21,Xanan+lan+2an+3an+an+1

+an+2+an+3,则al+a2++al00的值是____.

6.函数f(x尸

x43x26x13x4x21的最大值是.

80

1617

k1三、(20分)求证:.

-10-

四、(20分)设1,m是两条异面直线，在1上有A,B,C三点，且AB=BC,过A,B,C

分别作m的垂线AD,BE,CF,垂足依次是D,E,F,已知AD=,BE=2CF=,求1与m的

距离.

pinlxx五、(20分)设n是自然数，fn(x)(x0,1),々y=x+x.

1.求证:fn+1(x)=yfh(x)fh—1(x),(n>l)

2.用数学归纳法证明：

fn(x)=yCy.(l)Cy,(l),(i1,2,„n为偶数)nlnlnln2iin2i,n为奇

数)yCy.(l)Cy.(l)C,(i1,2,,nlninlnln2nliinin2in2

1993年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

选择题(每小题5分，共30分)

1.若乂={/，y)||tgy|+sinx0},N={(x,y)|x+y*2},则MN的元素个数是()

222

(A)4(B)5(C)8(D)9

2.已知f(x)=asinx+b+4(a,b为实数)，且f(lglog310)5,则f(lglg3)的值是()

(A)5(B)3(C)3(D)随a,b取不同值而取不同值

3.集合A,B的并集AB={al,a2,a3},当AB时，(A,B)与(B,A)视为不同的

对，则这样的(A,B)对的个数是()

(A)8(B)9(C)26(D)27

4.若直线x=被曲线C：(x-arcsina)(x—arccosa)+(y—arcsina)(y+arccosa)=0所载的弦

长为d,当a变化时

d的最小值是()(A)(B)(C)(D)

sincos22的值5.在AABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c,若2a等于AC边

上的高h,则

是()

(A)l(B)2(C)(D)l

-11-

(A)(B)(C)(D)

6.设tn,n为非零复数，i为虚数单位，zC,则方程|z+ni|+|z-mi|=n与z+ni|一|z

一mi|=-m在同一复平

面)

二.填空题(每小题5分，共30分)

1.二次方程(l-i)x+(+i)x+(l+i)=0(i为虚数单位，R)有两个虚根的充分必要

条件是的取值范围为

________.2

,min_.2.实数x,y满足4x—5xy+4y=5,设S=x+y,则max22223.若

zC,arg(z4)=62,arg(z+4)=3,则z的值是_.2

934.整数103的末两位数是.

logxO1993logx11993logx21993

5.设任意实数x0>xl>x2>x3>0,要使

最大值是123klogxO1993m3恒成立，则k的

6.三位数（100,101,,999）共900个，在卡片上打印这些三位数，每张卡片上打印一

个三位数，有的卡片所印的，

倒过来看仍为三位数，如198倒过来看是861；有的卡片则不然，如531倒过来看是，

因此，有些卡片可以一卡二用，于是至多可以少打印

张卡片.

三.（本题满分20分）

三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为

AB的中点，作与SC平行的直线DP.证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为

D，则D为三棱锥S-ABC的外接球球心.

四.（本题满分20分）

设0<a<b,过两定点A（a,0）和B（b,0）分别引直线1和m,使与抛物线y=x有四个不同

的交点，当这四点共圆时，求这种直线1与m的交点P的轨迹.2

-12-

五.（本题满分20分）

设正数列aO,al,a2,,an,满足nn2nln22anl(nm2)且a=a=1.求｛a｝的通项公式.Oln

1994年全国高中数学联赛试题

第一试

选择题(每小题6分，共36分)

1.设a,b,c是实数，那么对任何实数x,不等式asinxbcosxc0都成立的充要条件是

(A)a,b同时为0,且c>O(B)a2b2c(C)a2b2c

(D)a2b2c

2.给出下列两个命题：

(1)设a,b,c都是复数，如果a2b2c2,则a2b2c20；

,b2c20,则a2b2c2.(2)设a,b,c都是复数,如果a

那么下述说法正确的是2

(A)命题(1)正确，命题(2)也正确(B)命题(1)正确，命题(2)错误

(C)命题(1)错误，命题(2)也错误(D)命题(1)错误，命题(2)正确

3.已知数列{an}满足3anl

的最小整数n是.an4(n1),且al9,其前n项之和为Sn,则满足不等式|S而6|1125

(A)5(B)6(C)7(D)8

0b1,0a

4.已知

小关系是logbsinay(cosa)logbcosa,z(sina)logbcosa的大4,则下列三数：x(sina),

(A)x<z<y(B)y<z<x(C)z<x<y(D)x<y<z

5.在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是(

(A)n2nln2nl,)(,)(0,)(,)nnn2(D)n(B)(C)

-13-

|xy||ky|12a2b6.在平面直角坐标系中，方程(a,b是不相等的两个正数)所代表的曲线是

(A)三角形(B)正方形

(C)非正方形的长方形(D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分，共54分)

1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为4，1)和(2,2),若直线1：x+my

+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是—_.

x3sinx2a0x,y[,],aR34ysinycosya0,贝cos(x2y)=.442.已知且

55A{(x,y)|(x3)2(y4)2()2}B{(x,y)|(x4)2(y5)2()2)223.已知点集,,则点集AB

中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为.

sin(lcos)024.设，则的最大值是.

5.已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则sin=_

6.已知95个数al,a2,a3,,a95,每个都只能取+1或1两个值之一，那么它们的两两之

积的和

ala2ala3.a94a95的最小值是_

1995年全国高中数学联赛

第一试

选择题(每小题6分，共36分)

1.设等差数列{an}满足3a85a13且al0,Sn为其前项之和，则Sn中最大的是()

(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21

-14-

2.设复平面上单位圆)

(A)4(B)5(C)10(D)20

3.如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如

果某人不亚于其他99人，就称

他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有()

(A)l个(B)2个(C)50个(D)100个1995,Z21995,1995,Z20所

4.已知方程反2nlk(nN)在区间(2n-l,2n+l]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是

()

(A)k0(B)0k11k2nl(C)12nl(D)以上都不是

5.logsin1cos1,logsin1tg1,logcos1sin1Jogcos1tg1的大小关系是()

logsin1cos1logcoslsinllogsinItgllogcosltgl

logcoslsinllogcosltgllogsin1cos1logsinItgl

logsinItgllogcosltgllogcoslsinllogsin1cos1

logcosltgllogsinItgllogsin1cos1logcoslsinl(A)(B)(C)(D)

6.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S,与PA,

PB的延长线分别交于Q,R,则和式11JPQPRPS

(A)有最大值而无最小值(B有最小值而无最大值

(C)既有最大值又有最小值，两者不等(D)是一个与面QPS无关的常数

二、填空题(每小题9分，共54分)

1.设，为一对共物复数，若|~|23,且2

为实数，贝山|.

2.一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为.

-15-

3.用冈表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x[lgx]20的实根个数是.

y3xxy3xy1004.直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是.

5.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜

色可使用，那么不同的染色方

法的总数是.

6.设乂={1,2,3,”，1995},A是M的子集且满足条件:当xA时，15xA,则A中

元素的个数最多是,一九九六年全国高中数学联合竞赛

-、选择题(本题满分36分，每小题6分)

22221.把圆x+(y-1)=1与椭圆9x+(y+1)=9的公共点，用线段连接起来的图形是

(A)线段(B)不等边三角形(C)等边三角形(D)四边形

2.等比数列｛an｝的首项al=1536,公比是q=

(A)T9(B)T11(C)T12(D)T1312.用Tn表示

它的前n项之积，则Tn(nN)最大的是

3.存在在整数n,使是整数的质数p

(A)不存在(B)只有一个(C)多于一个，但为有限个(D)有无穷多个pnn

1

4设x(-2,0).以下三个数：l=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+l)的大小关

系是.

(A)3<2<1(B)1<3<2(C)3<1<2

(D)2<3<1

225.如果在区间［1,2］上,函数f(x)=x+px+q与g(x)=x+()在同一点取相同的最小值,

那么f(x)在该区间上的最大值是.4(A)

6.高为8的圆台(B)2(C)3(D)4

二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

1.集合国-1log()10<-,xN｝的真子集的个数是

.11512442412422(B)(C)(D)以上答案都不对

1

2.复平面上非零复数zl、z2在以i为圆心1为半径的圆上，zlzl的实部为零，zl的辐角

主值为6,则z2=

3.曲线C的极坐标方程是=1+cos，点A的极坐标是(2,0).曲线C在它所在的平面

内

绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是.

4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六

面体，并且该六面体的最短棱的长为2,则最远的两个基本点顶点的距离是.

5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种

颜色，每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有种.

(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、

左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同).

6.在直角坐标平面上，以(199,0)为圆心，以199为半径的圆周上，整点(即横、纵坐

标皆为整数的点)的个数为

-16-

1997年全国高中数学联合竞赛试卷

(10月5日上午8:0010:00)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.已知数列｛xn｝满足xjilxnxnl(n=2),xa,xb,记Sx+x++x,则下列结论

正确的是nnl212

(A)xlOO=-a,S100=2b-a(B)xlOO=-b,S1002b-a

(C)xl00=-b,S100=b-a(D)xl00=-a,SlOO=b二a

2.如图，正四面体ABCD中，E在棱AB匕F在棱CD上，使得

B

(C)

(D)

(0.),记f(),其中表示EF与AC所成的角，表示EF

与BD所成的角，则f()在。)单调增加f()在。)单调减少(A)(B)f()在(0,1)单调

增加，而在(1,+)单调减少f()在(0,+)为常数

23.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为97,则这样的数

列共有

(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个

4.在平面直角坐标系中，若方程m(x2y22yl)(x2y3)2

表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为

(A)(0,1)(B)(l,+)(C)(0,5)(D)(5,+)

5.设

(A)

(C)

arctg,arccos(),arcctg()f(x)xx,arcsin,，则2f()f()f()氏)

(B)f()f()f()f()f()f()f()f()(D)f()f()f()f()

6.如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有

(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条

-17-

二、填空题(每小题9分，共54分)

(xl)31997(x1)'13(yl.)1997(yl)1,则x+y.设x,y为实数，且满足

y2

x1过双曲线的右焦点作直线1交双曲线于A、B两点，若实数使得|AB|的直线1

恰有3条，则=.2

|2z|1已知复数z满足，则z的幅角主值范围是

已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形，SA=SB=SC=2,AB=2,设S、

A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为.

设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之

一.若在5次之种.设algz+lg[x(yz)+1],blgx+lg(xyz+1),clgy+lg[(xyz)+

1],记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为.Ill

一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷

(10月11日上午8:00—10:00)

一、选择题(本题满分36分，每小题6分)

1.若a>l,b>1且lg(a+b)=lga+lgb,则lg(al)+lg(bl)的值

(A)等于lg2(B)等于1(C)等于0(D)不是与a,b无关的常数

2.若非空集合A={x|2a+1壬x丰3&5},B={x|3壬x丰22},则能使AAB成立的所有a的集合

是()

(A){a|l*a*9}(B){a|6壬a壬9}(C){a|a*9}(D)

3.各项均为实数的等比数列{an}前n项和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于()

(A)150(B)200(C)150或200(D)400或50

abcab2c24.设命题P：关于x的不等式ax+bx+c>0与ax+bx+c>0的解集相同；命

题Q：222

111222c则命题Q

(A)是命题P的充分必要条件(B)是命题P的充分条件但不是必要条件

(C)是命题P的必要条件但不是充分条件

(D)既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件

5.设E,F,G分别是正四面体ABCD的棱AB,BC,CD的中点，则二面角CFGE的大小是

()(A)arcsin3(B)2arccos32

2B

D(C)2(D)6.在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中

心共27个点中，共线的三点组的个数是()

(A)57(B)49(C)43(D)372'arcctg

二、填空题(本题满分54分，每小题9分)

1.若f(x)(xR)是以2为周期的偶函数，当x[0,1]时，

的排列是.f(x)xl,则98101104f()f()f(19,17,15由小到大

2.设复数z=cos.isin(0美*180),复数z,(l+i)z,2z在复平面上对应的三个点分别

是P,Q,R，当P,Q,R不

共线时，以线段PQ.PR为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S到原点距离的最大

值是.

3.从0,1,2,345,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取

法有种.

4.各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方与其余各项之和不超过100,这样

的数列至多有项

-18-

5.若椭圆x?4(ya)24与抛物线x22y有公共点,则实数a的取值范围是.

6.△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AC=2,M是AB的中点，将△ACM沿CM折

起，使A,B两点间的距离为2

.2,此时三棱锥ABCM的体积等于

CB三、(本题满分20分)

已知复数2=[$沦+icos(2),求z的共朝复数z的辐

角主值。

四、(本题满分20分)

设函数

f(x)ax28x3(a<0),对于给定的负数a,有一个最大的正数1(a),使得在整个区间[0,l(a)]

上,不等式|f(x)|丰5都成立。

问：a为何值时1(a)最大？求出这个最大的1(a),证明你的结论。

五、(本题满分20分)

22(ab0,b2pa),M是抛物线上的点，设直线AM,BM与抛物线y2pxA(a,b)已知抛

物线及定点,B，a,0),

的另一交点分别为Ml,M2.

求证：当M点在抛物线上变动时(只要Ml,M2存在且M1/M2),直线M1M2恒过一个定

点，并求出这个定点的坐标。

1999年全国高中数学联合竞赛

选择题(满分36分，每小题6分)

1.给定公比为q(qrl)的等比数列{an},设bl=al+a2+a3,b2=a4