18学年高中数学直线多边形圆1第二课时平行线分线段成比例定理学案北师大版4-1180224294

PAGEPAGE1。。。内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯内部文件，版权追溯第二课时平行线分线段成比例定理[对应学生用书P5]eq\a\vs4\al([自主学习])1．平行线分线段成比例定理及推论定理内容符号语言平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例如图，若a∥b∥c，则eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例如图，若a∥b∥c，则eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)2．三角形内角平分线定理定理内容符号语言三角形内角平分线定理三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例如图，AD为∠A的平分线，则eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC)eq\a\vs4\al([合作探究])1．平行线分线段成比例定理的条件是什么？提示：定理的条件应给出一组平行线，至少三条，可以推广到多条但要注意对应成比例．2．线段的比与比例线段有何异同？提示：线段的比是两条线段而言的，而比例线段是对四条线段而言的．线段的比有顺序性，a∶b与b∶a通常是不相等的．比例线段也有顺序性，如线段a，b，c，d成比例，与线段a，c，b，d成比例不同．3．三角形内角平分线定理中能否写成AB·DC＝BD·AC?提示：可以．但要注意其对应成比例不变．[对应学生用书P5]利用定理证明比例式[例1]如图，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE＝AF，求证：eq\f(EP,FP)＝eq\f(AC,AB).[思路点拨]本题主要考查利用平行线分线段成比例定理证明比例式．解答此题时，可考虑过C作CM∥EF，补一个平行四边形求解．[精解详析]如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N.∵AE＝AF，∴AM＝AC.∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.延长AD到G，使得DG＝AD，则四边形ABGC为平行四边形．∴AB＝GC.∵CM∥EF，∴eq\f(EP,MN)＝eq\f(FP,CN)＝eq\f(AP,AN)，∴eq\f(EP,FP)＝eq\f(MN,CN).又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB，∴eq\f(MN,CN)＝eq\f(AM,GC)＝eq\f(AC,AB).∴eq\f(EP,FP)＝eq\f(AC,AB).1．利用平行线分线段成比例定理证明比例式时，当不能直接证明要证的比例成立时，常把线段的比转化为另两条线段的比．2．当题中没有平行线条件而必须转移比例时，常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的．1．AD为△ABC的中线，过C作任一直线交线段AB及中线AD于F，E.求证：eq\f(AE,ED)＝eq\f(2AF,FB).证明：作FK∥AD交BC于点K，则有eq\f(AF,FB)＝eq\f(DK,BK).又eq\f(FK,AD)＝eq\f(BK,BD)，eq\f(ED,FK)＝eq\f(CD,CK)，CD＝BD，两式相乘，得eq\f(ED,AD)＝eq\f(BK,CK)，即eq\f(AD,ED)＝eq\f(CK,BK)，∴eq\f(AE＋DE,ED)＝eq\f(CD＋DK,BK)＝eq\f(BD＋DK,BK)＝eq\f(BK＋2DK,BK)，∴eq\f(AE,ED)＝eq\f(2DK,BK)，又eq\f(DK,BK)＝eq\f(AF,FB)，∴eq\f(AE,ED)＝eq\f(2AF,FB).利用定理证明乘积式[例2]如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.[思路点拨]本题只需证eq\f(AE,EC)＝eq\f(FA,FB)即可．由于eq\f(AE,EC)与eq\f(FA,FB)没有直接关系，因此必须寻找过渡比将它们联系起来．因此考虑添加平行线构造过渡比．[精解详析]过A作AG∥BC，交DF于G点，如图所示．∵AG∥BD，∴eq\f(FA,FB)＝eq\f(AG,BD).又∵BD＝DC，∴eq\f(FA,FB)＝eq\f(AG,DC).∵AG∥BD，∴eq\f(AG,DC)＝eq\f(AE,EC).∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(FA,FB)，即AE·FB＝EC·FA.证明乘积式时先转化为比例式，再利用平行线分线段成比例定理证明，必要时添加辅助平行线．2．如图已知，点E是▱ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：OB2＝OE·OF.证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，AD∥BC.由AB∥CE，得eq\f(OB,OE)＝eq\f(OA,OC).由AF∥BC，得eq\f(OA,OC)＝eq\f(OF,OB).所以eq\f(OF,OB)＝eq\f(OB,OE)(等量代换)．即OB2＝OE·OF.定理的应用[例3]如图所示，∠A＝∠E，eq\f(AB,BE)＝eq\f(1,2)，BD＝8，求BC的长．[思路点拨]本题主要考查利用平行线分线段成比例定理求线段长．解此题时，由于BC和BD是对应线段，因此只需得出AC∥DE即可．[精解详析]∵∠A＝∠E，∴AC∥DE，∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(AB,BE)，∴eq\f(BC,8)＝eq\f(1,2)，∴BC＝4.在列比例式求线段的长时，应尽可能将需求的线段写成比例式的一项，以减少比例变形，减少错误．3.如图，EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，EF＝1.5，AB＝2.5，FB＝2，BD＝6，求CD的长．解：由EF⊥FD，AB⊥FD，CD⊥FD，得EF∥AB∥CD.过E作EH⊥CD于H，交AB于G，则EH∥FD，则EF＝GB＝HD，EG＝FB，GH＝BD，AG＝AB－EF＝2.5－1.5＝1，eq\f(AG,CH)＝eq\f(EG,EH)＝eq\f(FB,FD)＝eq\f(1,4)，所以CH＝4，所以CD＝CH＋HD＝4＋1.5＝5.5.本课主要考查平行线分线段成比例定理，难度较低，属中低档题．[考题印证]如图，设D是△ABC的边AB上的一点，D点沿着平行于BC的方向移动到AC边上的E点，再由E点沿着平行于AB的方向移动到BC边上的F点；再由F点沿着平行于CA的方向移动到AB边上的G点……这样每沿着平行于某边的直线移动到另一边算作一次，那么最多n次，D点可回到原出发点，则n的值为．[命题立意]本题主要考查平行线分线段成比例定理的应用．[自主尝试]当D点是AB边的中点时，只需3次；当D点是AB边上除中点外的任一点时，由平行线分线段成比例定理得eq\f(AD,BD)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(BG,AG)＝eq\f(CH,AH)＝eq\f(CK,BK)＝eq\f(AM,BM)，∴eq\f(AD＋BD,BD)＝eq\f(AM＋BM,BM)，即eq\f(AB,BD)＝eq\f(AB,BM)，∴BD＝BM，可知D点与M点重合，∴n＝6.答案：6[对应学生用书P7]一、选择题1．如图，已知AA′∥BB′∥CC′，AB∶BC＝2∶1，那么下列等式成立的是()A．AB＝A′B′ B．AB∶AC＝2∶3C．A′C′＝2BC D．CC′＝2AA′解析：选B∵eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,1)，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2).∴eq\f(BC＋AB,AB)＝eq\f(1＋2,2).∴eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,2)，即eq\f(AB,AC)＝eq\f(2,3).2．如图，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为()A．2∶1 B．3∶1C．4∶1 D．5∶1解析：选C过D作DG∥AC交BE于G，∴DG＝eq\f(1,2)EC，又AE＝2EC，∴AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶eq\f(1,2)EC＝4∶1.3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是()A．∠AEF＝∠DEC B．FA∶CD＝AE∶BCC．FA∶AB＝FE∶EC D．AB＝DC解析：选B对于A，根据对顶角相等，此结论正确；对于B，分析可得FA∶FB＝AE∶BC，所以此结论错误；对于C，根据平行线分线段成比例定理得，此结论正确；对于D，由平行四边形性质知，正确．4．如图，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)的值为()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2解析：选C过点D作DG∥AB交EC于G，则eq\f(DG,BE)＝eq\f(CD,BC)＝eq\f(CG,EC)＝eq\f(1,3)，而eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,3)，即eq\f(AE,BE)＝eq\f(DG,BE).∴AE＝DG.∴AF＝DF，EF＝FG＝CG.∴eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)＝eq\f(EF,2EF)＋eq\f(AF,AF)＝eq\f(1,2)＋1＝eq\f(3,2).二、填空题5．如图，正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于中点N，交CB的延长线于点P.若MN＝1，PN＝3，则DM的长为．解析：∵AD∥BC，AN＝NB，∴eq\f(DN,PN)＝eq\f(AN,NB)＝1.∵PN＝3，∴DN＝3.∵MN＝1，∴DM＝DN－MN＝2.答案：26．(广东高考)如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝.解析：由CD∥AE，得△CDF∽△AEF，于是eq\f(△CDF的面积,△AEF的面积)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,AE)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,AE)))2＝9.答案：97．如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是m.解析：由题意得1.6∶1.2＝旗杆的高度∶9.所以旗杆的高度为12m.答案：128．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，直线AE交BC于F，则eq\f(BF,FC)的值为．解析：过点D作DM∥AF交BC于点M，∵点E是BD的中点，∴在△BDM中，BF＝FM.∵点D是AC的中点，∴在△CAF中，CM＝MF.∴eq\f(BF,FC)＝eq\f(BF,FM＋MC)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)三、解答题9.已知线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图，当OA＝OB，且D为OA中点时，求eq\f(AP,PC)的值．解：过D作DE∥CO交AC于E，因为D为OA中点，所以AE＝CE＝eq\f(1,2)AC，eq\f(DE,CO)＝eq\f(1,2)，因为点C为OB中点，所以BC＝CO，eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PE,PC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(1,2)，所以PC＝eq\f(2,3)CE＝eq\f(1,3)AC，所以eq\f(AP,PC)＝eq\f(AC－PC,PC)＝eq\f(\f(2,3)AC,\f(1,3)AC)＝2.10．如图，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥EF∥CD，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,BD)，eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BD)，∴eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,BD)＋eq\f(BF,BD)＝eq\f(DF＋BF,BD)＝eq\f(BD,BD)＝1，∴eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).11．已知▱ABCD的对角线交于点O，点P是直线BD上任意一点(异于B，O，D三点)，过P点作平行于AC的直线，交直线AD于E，交直线BA的延长线于F.(1)若点P在线段BD上(如图所示)，试